2022年时间序列模型课件

1、Econometrics计量经济学攸频南开大学经济学院数量经济研究所第十二章 时间序列模型12.1 时间序列定义12.2 时间序列模型的分类 12.3 时间序列模型的建立12.4 时间序列模型的识别12.5 时间序列模型的估计12.6 时间序列模型的检验12.7 时间序列模型的预测12.8 案例分析12.9 回归与ARMA组合模型 时间序列分析方法由Box-Jenkins (1976) 提出。 这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。 注意序列的平稳性。如果时间序列非平稳，应先通过差分使其平稳后，再建立时间序列模型。估计ARMA模型方法是极大

2、似然法。 对于给定的时间序列，模型形式的选择通常并不是惟一的。在实际建模过程中经验越丰富，模型形式选择就越准确合理。ARIMA模型的特点让数据自己说话（第3版282页）当代计量经济模型体系12.1 时间序列定义一、随机过程与时间序列二、平稳性三、非平稳性四、补充：差分算子与滞后算子五、两种基本的随机过程：白噪声和随机游走随机过程：随时间由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，用xt，tT表示，简记为xt或xt 。时间序列：随机过程的一次观测结果(一次实现),时间序列中的元素称为观测值。时间序列也用xt，tT表示，简记为xt或xt 。 假设样本观测值 来自无穷随机变量序列 那么这个无穷随机序列

3、称为随机过程。 一、 随机过程与时间序列（第3版282页） 随机过程与时间序列的关系 协方差平稳过程（covariance stationary process） 如果一个随机过程xt满足以下性质， (1) 均值： E(xt) = (常数) (2) 方差： var(xt) = 2 (常数) (3) 自协方差：k= E(xt -) (xt+k -) = k 2（一种更为简便的方法是用自相关系数来描述自协方差，即通过自协方差除以方差进行标准化后而得到k=rk /r0。） 这时称xt是协方差平稳过程，也称宽平稳或弱平稳过程。 平稳过程指随机过程的统计规律不随时间的推移而发生变化。 直观上，平稳的时间

4、序列可看作一条围绕均值上下波动的曲线。二、平稳性（stationary） 单整过程（unit root process）三、非平稳性（non-stationary）非平稳过程指随机过程的统计规律随着时间的推移而发生变化。这些非平稳的时间序列经过差分变化以后，可以转变为平稳的。 对于随机过程，如果必须经过d次差分之后才能变换成为一个平稳的过程，而当进行d-1次差分后仍是一个非平稳过程，则称此随机过程具有d 阶单整性，记为 检验时间序列的平稳性是建模的基础！差分指时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算。 一阶差分可表示为： xt - xt -1 = xt = (1- L) xt = xt - L

5、 xt 其中 称为一阶差分算子；滞后算子： 用L表示 定义一阶滞后算子为：Lxt=xt-1 k阶滞后算子定义为：Ln xt = xt - n 四、补充：差分算子与滞后算子1. 白噪声（white noise）过程 若随机过程xt(tT ) 满足以下条件则称为白噪声过程 (1) E(xt) = 0 (2) Var (xt) = 2 , tT (3) Cov (xt, xt - k) = 0, (t - k ) T , k 0五、两种基本的随机过程 a. 由白噪声过程产生的时间序列 b. 日元对美元汇率的收益率 白噪声是平稳的随机过程 经典线性回归对残差的要求是一个白噪声过程（第3版283页）2.

6、 随机游走（random walk）过程 对于xt=xt -1+ut，若ut 为白噪声过程，称xt 为随机游走过程。 随机游走过程的均值为零，方差为无限大。 xt = xt -1 + ut = ut + ut-1 + xt -2 = ut + ut-1 + ut-2 + (1) E(xt) = E(ut + ut-1 + ut-2 + ) = 0, (2) Var(xt) = Var(ut + ut-1 + ut-2 + ) = 随机游走过程是非平稳的随机过程。对随机游走进行一阶差分，可将其转化为平稳过程。 xt= xt- xt-1= ute. 由随机游走过程产生时间序列 f. 日元对美元汇率

7、（第3版291页）12.2 时间序列模型的分类一、自回归过程AR(p)二、移动平均过程MA(q) 三、自回归移动平均过程ARMA(p,q）四、单整自回归移动平均过程ARIMA(p,d,q )一、自回归过程AR(p) 1. p阶自回归过程 AR (p) xt=1xt -1+2 xt -2+p xt -p+ut 其中：i , i = 1, p 是自回归参数，ut 是白噪声过程。 xt是由它的p个滞后变量的加权和以及ut相加而成。 上式用滞后算子表示为：(1-1L-2L2-pLp)xt =L)xt=ut L)=1-1L-2L2-pLp 称为特征多项式或自回归算子平稳性： 若特征方程 z)=1-1z-

8、2z2-pzp=(1G1z)(1G2z).(1Gpz)=0 的所有根的绝对值都大于1，则AR(p)是一个平稳的随机过程。自回归过程的变量xt ，仅仅依赖于它的各个前期的值再加上一个误差项。 之所以称之为特征方程，是因为它的根决定了过程 xt的特征。（第3版284页）（第3版284页）2. AR(1)过程分析 xt=1xt-1+ut 平稳性的条件是特征方程 (1-1L)=0根的绝对值必须大于1，满足 |1/1| 1，也就是 |1| 1 xt=ut +1ut-1+12xt-2=ut+1ut-1+12ut-2+（短记忆过程） 因为ut 是一个白噪声过程，所以对于平稳的AR(1)过程： E(xt) =

9、 0 Var (xt) = u2 + 12 u2 + 14u2 + = 上式说明若保证xt平稳，必须保证 | 1| 1。中国旅游人数差分序列（第3版284页）在Equation specification对话框输入：D(Y) C AR(1)（第3版286页）习 题1为了验证这一性质，首先将yt-1用滞后算子表示Lyt yt=Lyt +ut yt-Lyt =ut （1-L） yt=ut 特征方程为：1-z=0其中有根z=1落在单位圆上，而不是单位圆之外。该过程是非平稳的，它是随机游走过程。 下面的模型是平稳的吗？ yt =yt-1+ut xt=1xt-1+2xt-2+ut 平稳性的条件是特征方程

10、1-1L-2L2=0的两个根在单位圆外： 3. AR(2)过程分析 2 + 1 1 2 - 1 1 | 2 |1解得：（第3版286页） 4. AR(p)的平稳性条件 (1) AR(p)平稳性的必要条件是(p个自回归系数之和小于1 )： 1+ 2+ p1, 或| 1| 1。 当|1| 1时，MA(1)过程应变换为 ut=(1+1L)1xt =(1-1L+12L2-13L3+) xt 这是一个无限阶的以几何衰减为权数的自回归过程。 对于MA(1)过程有 E(xt)=E(ut)+E(1ut-1)=0 Var(xt)=Var(ut) +Var(1ut1)=(1+12)u2（第3版288页）（第3版2

11、87页） 不同参数的移动平均过程：4. 自回归与移动平均过程的关系(1) 一个平稳的AR(p)过程： (1-1L-2L2-pLp)xt=ut 可以转换为一个无限阶的移动平均过程： xt=(1-1L-2L2-pLp)-1ut= L)-1ut (2) 一个可逆的MA(p)过程： xt=(1+1L+2L2+qLq)ut= L)ut 可以转换成一个无限阶的自回归过程： (1+1L+2L2+qLq)-1xt= L)-1xt=ut(3) 对于AR(p)过程只需考虑平稳性问题，条件是 L)=0的根（绝对值）必须大于1。不必考虑可逆性问题。(4) 对于MA(q)过程只需考虑可逆性问题，条件是L)=0的根（绝对

12、值）必须大于1，不必考虑平稳性问题。自回归移动平均（autoregressive moving average）过程:其平稳性依赖于自回归部分: (L) = 0的根全部在单位圆之外。其可逆性依赖于移动平均部分： (L) = 0的根全部在单位圆之外。实际中最常用的是ARMA(1, 1)过程: xt-1xt-1=ut+1ut-1 (1-1L)xt=(1+1L)ut只有当 1 1 1和 1 1 1时，上述模型才是平稳的，可逆的。 xt=1xt-1+2xt-2+pxt-p+t-1t-1-2t-2 -qt-q三、自回归移动平均过程ARMA(p,q)（第3版288页）四、单整自回归移动平均过程ARIMA(

13、p,d,q )根据ARMA特征方程(L) = 0的根取值不同，分为三种情形：(1) 若全部根取值在单位圆之外，则该过程是平稳的；(2) 若某个根或全部根在单位圆之内，则该过程是强非平稳的。 例如， xt = 1.3 xt-1 + ut （特征方程的根 = 1/ 1.3 = 0.77） 上式两侧同减 xt-1得： xt = 0.3 xt-1 + ut （仍然非平稳）。(3) 如果特征方程的若干根取值恰好在单位圆上，则这种根称为 单位根，这种过程也是非平稳的。定义： 假设一个随机过程含有d个单位根，其经过d次差分之后可以变换为一个平稳的自回归移动平均过程。则该随机过程被称为单整自回归移动平均过程A

14、RIMA(p,d,q ) 。（第3版290页） 考虑随机过程的一般表达式： (L)d yt = (L) ut 其中(L) 是平稳的自回归算子， (L) d为广义自回归算子， (L)是可逆的移动平均算子。 若取xt = d yt ，则上式可表示为: (L) xt = (L) ut 即yt 经过d 次差分后，可用一个平稳的、可逆的ARMA过程xt 表示,称yt 为单整(单积)自回归移动平均过程ARIMA (p, d, q)。 当p 0, d = 0, q 0 时，当d = 0 , p = 0, q 0 时当d = 0 , p 0, q = 0 时，当 p = d = q = 0时，ARIMA变成A

15、RMA (p, q)过程;ARIMA变成MA (q)过程;ARIMA变成 AR (p)过程;ARIMA变成白噪声过程;几种常见的非平稳随机过程 (1) ARIMA(0,1,0)过程 yt=ut 其中 p = q =0, d = 1 (L) = 1 - 1 L , (L) = 1 (2) ARIMA (0, 1, 1)过程 yt=ut+1ut1= (1+1L) ut 其中p = 0 , d = 1, q = 1, (L) = 1, (L) = 1+ 1 L (3) ARIMA(1, 1, 0)过程 yt-1yt 1=ut 其中 p = 1, d = 1 , q = 0 , (L) = 1 - 1

16、 L , (L) = 1 (4) ARIMA(1,1,1)过程 yt-1yt-1=ut+1ut-1 或 (1-1L) yt= (1+1L) ut 其中 p = 1, d = 1, q = 1, (L) = 1 - 1 L, (L) = 1+ 1L建立时间序列ARIMA (p,d,q)模型流程图12.3 时间序列模型的建立（第3版302页）（第3版302页）（第3版301页）12.3 时间序列模型的建立与预测1、如何识别？ 估计结果为：Dyt = 0.1429 + 0.6171 (Dyt-1 - 0.1429) + vt (8.7) (5.4) R2 = 0.38, Q(10) = 5.2, Q

17、 (k-p-q) = Q0.05 (10-1-0-1) = 15.52、如何估计？ 因为Q(10) = 5.2 0 （经济问题中常见） 图b. -1 1时，kk = 0。所以AR(1)过程的 偏自相关函数特征是在k = 1出现峰值（11 = 1）然后截尾。图a. 11 0 图b. 11 p时，kk = 0。 偏自相关函数在滞后期p以后有截尾特性，此特征可用来 识别AR(p)过程的阶数。注意 对于MA(1)过程：xt = ut + 1 ut-1 整理： 1/(1+1L)xt=ut ， (1-1L+12L2-)xt=ut , xt=1xt-1-12xt-2+13xt-3-+ut 当1 0时，自回归

18、系数的符号是正负交替的； 当1 0时，自回归系数的符号全是负的。因为MA(1) 过程可以转换为无限阶的AR过程，所以其 偏自相关函数呈指数衰减特征。3. 移动平均过程的偏自相关函数 图a. 1 0 图b. 1 0因为任何一个可逆的MA(q) 过程都可以转换成一个无限阶的系数按几何递减的AR过程，所以： MA(q) 过程的偏自相关函数呈缓慢衰减特征。ARMA( p, q) 过程的偏自相关函数也是无限延长的，其表现形式与MA(q)过程的偏自相关函数相类似。根据模型中移动平均部分的阶数q以及参数i的不同， ARMA( p, q) 过程的偏自相关函数呈指数衰减和（或）正弦衰减混合形式。4.偏相关图（P

19、artial Correlogram） 对于时间序列数据，偏自相关函数通常是未知的，可以用样本估计偏自相关函数。 因为AR过程和ARMA过程中AR分量的偏自相关函数具有截尾特性，所以可利用偏相关图估计自回归过程的阶数p。实际中对于偏相关图取k = 15就足可以了。 ACF和PACF估计值的方差近似为T-1。所以在观察相关图和偏相关图时，若ACF和PACF估计值的绝对值超过2 T-1/2（2个标准差），就被认为是显著不为零。 用EViews计算估计的自相关函数和偏自相关函数。点击View选correlogram功能。虚线表示到中心线2个标准差宽度：特征总结自回归过程的特点：自相关函数呈几何衰减；

20、其偏自相关函数的非零个数就等于AR模型的阶数。移动平均过程的特点：其自相关函数的非零个数等于MA模型的阶数；偏自相关函数呈几何衰减。自回归移动平均过程的特点：自相关函数呈几何衰减；偏自相关函数呈几何衰减。 AR(1) 实根 AR(2) 实根 AR(2) 复根MA (1) MA (2) MA (2) AR(1) AR(2) AR (2)MA (1) 实根 MA (2)实根 MA (2) 复根AR(1)序列与相关图MA(1)序列与相关图 （第3版304页）ARIMA模型识别举例习 题Yt的差分变量Yt的自相关图和偏自相关图如下，Yt有可能是个什么形式的过程？写出Yt的表达式。能事先说出参数的符号吗

21、？12.4 时间序列模型的估计对于时间序列模型，一般采用极大似然法估计参数。 需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中，ARMA(p,q)模型中均未包含常数项（漂移项）。 如果包含漂移项，该漂移项并不影响模型的原有性质，因为通过适当的变形，可将包含漂移项的模型转换为不含漂移项的模型。 （第3版293页） Wold分解定理 （第3版第293页） Wold分解定理 （第3版第293页） Wold分解定理 Dyt = 0.1429 + 0.6171 (Dyt-1 - 0.1429) + ut (8.7) (5.4) 在Equation specification对话框输入：D(Y) C

22、AR(1)注意：EViews输出结果表示的是对序列(Dyt -0.142862)估计AR(1)模型 Dyt = 0.0076 + 0.2627 (Dyt-1 - 0.0076) + 0.2767 (Dyt-3 - 0.0076) + ut (7.4) (3. 0) (3.2) 在Equation specification对话框输入：D(Y) C AR(1) AR(3) dLnyt = 0.0271 + ut +0.5963ut-1 (2.1) (5.6) 在Equation specification对话框输入：D(Y) C MA(1)Dyt=0.0367+0.7230(Dyt-1-0.03

23、67)+ut+0.4758 ut-1 (0.7) (6.7) (2.8)在Equation specification对话框输入：D(Y) C AR(1) MA(1) 习题习题 12.5 时间序列模型的检验估计完模型后，应对估计结果进行诊断与检验。估计的模型是否成立主要从以下几个方面检查： 模型参数估计量必须通过t检验； 模型的残差序列必须通过Q检验 ； 模型的全部特征根的倒数都必须在单位圆以内（ 自回归、移动平均两部分满足平稳性和可逆性）。 同时也要尽量做到：模型结构应当尽量简练；参数稳定性要好；预测精度要高。 残差序列的Q检验Q检验的零假设是 H0：1 = 2 = = K = 0即模型误差

24、项的K阶自相关系数全为零，误差项是一个白噪声过程。 Q统计量定义为：其中，T表示样本容量，rk 表示用残差序列计算的自相关系数值，K表示自相关系数的个数，p 表示模型自回归阶数，q表示移动平均阶数。计算Q统计量的值。显然若残差序列不是白噪声，残差序列中必含有其他成份，自相关系数不等于零，则Q值将很大。反之Q值将很小。判别规则是： 若Q 2 ( K - p - q) ，则拒绝H0。因为Q(10) = 5.2 20.05( 10-1-0) = 16.9可以认为模型误差序列为非自相关序列。 设对时间序列样本xt, t = 1, 2, , T，所拟合的模型是ARMA(1,1) xt = 1 xt-1

25、+ ut + 1 ut-1 则理论上T + 1期xt的值为：xT+1 = 1 xT + uT+1 + 1 uT 上式中 1, 1和uT 用其估计值代替, uT+1未知，但E(uT+1) = 0， 故取uT+1 = 0， 那么，xT+1的实际预测式为： 理论上xT+2的预测式是：xT+2 = 1 xT+1 + uT+2 + 1 uT+1 ，此时仍取uT+1 = 0 uT+2 = 0，则 xT+2的预测式是： 与此类推， xT+3的预测式是： 随着预测期的加长，预测式中移动平均项逐步淡出预测模型，预测式变成了纯自回归形式。12.6 时间序列模型的预测 对于MA (q) 过程，当预测期超过q 时，预

26、测值等于零。 若上面所用的xt 是一个差分变量，设 yt = xt ，则得到的 预测值相当于 , (t = T +1, T +2 , )。因为 yt = yt -1 + yt所以原序列 T+1期预测值应按下式计算其中 是相应上一步的预测结果。file:li-12-1file: 5arma07案例1（中国人口时间序列模型） 从人口序列图可以看出，我国人口总水平除在1960和1961年出现回落外，其余年份基本上保持线性增长趋势。51年间平均每年增加人口1423.06万人，年平均增长率为16.8。由于总人口数逐年增加，实际上的年人口增长率是逐渐下降的。把51年分为两个时期，即改革开放以前时期和改革开

27、放以后时期，则前一个时期的年平均增长率为20，后一个时期的年平均增长率为12.58。从人口序列的变化特征看，这是一个非平稳序列。 中国人口序列 中国人口一阶差分序列（第3版310页）人口序列yt的相关图，偏相关图人口差分序列Dyt的相关图和偏相关图表达式是 Dyt = 0.1429 + 0.6171 (Dyt-1 - 0.1429) + ut (8.7) (5.4) R2 = 0.38, Q(10) = 5.2, Q (k-p-q) = Q0.05 (10-1-0) = 16.9（1）t检验通过；（2）Q检验通过；（3）特征根倒数在单位圆之内EViews估计结果是(Dyt -0.1429)的A

28、R(1)过程估计结果，而非Dyt的AR(1)过程估计结果。其中0.1429是用AR(1)模型估计的序列Dyt的均值，其含义是51年间平均年增加人口数是1428.62万人。用样本计算的均值是0.1431。Q(10) = 5.2。因为 Q(10) = 5.2 Q0.05 (k-p-q) = Q0.05 (10-1-0) = 16.9，所以模型的随机误差序列也达到了非自相关的要求。特征根倒数在单位圆之内差分序列Dyt中的常数，在原序列yt中是斜率。 （1）在打开工作文件的基础上，从EViews主菜单中点击Quick键，选择Estimate Equation功能。会弹出Equation specifi

29、cation对话框。输入1阶自回归时间序列模型估计命令如下：D(Y) C AR(1) 其中C表示漂移项。点击OK键。（2）模型中若含有移动平均项，EViews命令用MA(q)表示。（3）点击时间序列模型估计结果窗口中的View键，选Residual Tests, Correlogram-Q- statistics功能，在随后弹出的对话框中指定相关图的最大滞后期，比如选15，点击OK键，即可得到模型残差序列的相关与偏相关图以及Q统计量。（4）点击时间序列模型估计结果窗口中的Forcast键，在随后弹出的对话框中做出适当选择，就可以得到yt和Dyt的动态、静态、结构、非结构预测值。附录：用EViews估计时间序列模型的方法点击时间序列模型估计结果窗口中的Forcast键，在随后弹出的对话框中做出适当选择，就可以得到yt和Dyt的动态和静态预测值，结构预测和非结构预测值。12.788EViews 7案例2 天津市GDP模型（1978-2008）2009年天津GDP的预测值为：7859.987亿元2009年天津GDP的预测值为：7983.388亿元用1872-1994年的日本人口数（Y，单位：亿人）序列的差分序列（记作：DY）得估计模型和模型残差序列的相关图。写出模型的估计式。解