相似图形提高讲义全

1、图形相似线段的比、黄金分割及形状相同的图形知识要点要点1 线段的比(1)线段的比：在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。a c(2)成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即一 一，b da b那么这四条线段成比例线段，当b = c时，有一 一，称b为a与d的比例中项。b d(3)比例尺：比例尺=图上距离：实际距离(4)两条线段被一组平行线所截的线段成比例。说明：判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。要点2 比例的性质比例的基本性质：acab.2-ad bc a、b、c、d 0 ,-bac

2、a、b、c、d 0bdbc要点3 黄金分割 ACBC 概念：若点C把线段AB分成两条线段 AC、BC (AC BC),若，我们称线段 ABAB AC被点C黄金分割，C点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段(或较长线段与原，一 .5 1线段)的比叫做黄金比 0.618。2说明：(1)一条线段有两个黄金分割点。黄金分割比是两个线段的比，没有单位；(2) 一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：若AB=1,则AC BC22专业word可编辑相似多边形相似三角形及三角形相似的条件知识要点相似多边形要点1各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的

3、比叫做多边形的相似比。说明：（1）相似多边形的定义既可以看作是相似多边形的性质，又可以看作相似多边形的判定；（2）判定相似的两个条件，一个是各角对应相等，另一个是各边对应成比例；二者 缺一不可。相似三角形要点2三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。说明：（1）相似三角形的各角对应相等，各边对应成比例；（2）两个三角形的相似比为1时，这两个三角形就是全等三角形，故全等三角形是相似三角形的特殊情况；（3） AABC与Nb/q7相似和 ABCsA/B/C/的含义有所不同，前者没有指明这两个相似三角形的对 应关系，而后者表明了对应关系。要点3三角形相似的判别方法 TOC o 1-

4、5 h z 方法1 :平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.方法2:两角对应相等的两个三角形相似：方法3 :三边对应成比例的两个三角形相似;方法4 :两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。专业word可编辑引申直角三角形除了具有以上3种判别方法，还有以下方法：一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似；斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。说明：（1）相似三角形判定的三种判别方法中，角角“边边边”用的最广泛。在用边角边”时要注意，必须是夹角”的两边对应成比例；（2）要找准对应边，一般对应角所对的边是对应边，最长的边或最短的边是对应边，公共边一般

5、不是对应边。在找对应角时，公共角、对顶角一般是对应角。相似形的应用、相似多边形的性质、图形的放大与缩小知识要点要点1测量旗杆高度的三种方法（1）方法1:利用阳光下的影子（如图1）（还可利用结论：同一时刻某物体的实际高度 它的影长被测物体的实际高度被测物体的影长（2）方法2:利用标杆；（如图2,本方法主要注意人与标杆及被测旗杆应都与地面垂直，故三者平行，由此构造相似三角形）（3）方法3:利用镜子反射（如图3,本方法用镜面反射，由反射角等于入射角，人与被测旗杆与地面垂直）专业word可编辑说明：在测量旗杆高度的三种方法中，都是利用三角形相似的知识解决，根据实际情 TOC o 1-5 h z 况，构

6、造相似三角形，通过测量三角形的边，利用对应边成比例计算出要求的目标。要点2相似三角形与相似多边形的性质相似三角形的性质：(1)相似三角形对应高的比等于相似比；(2)相似三角形对应角平分线的比等于相似比；(3)相似三角形对应中线的比等于相似比；(4)相似三角形周长的比等于相似比；(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方。说明：这里的高线、角平分线、中线必须是对应的。相似多边形的性质：(1)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似多边形中，对应的三角形相似，相似比等于原多边形的相似比。要点3位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么

7、这样的两个图形叫做位似图形。每组对应点所在的直线都经过的点叫位似中心。在已确定的两位似图形中，只有一个位似中心，两位似图形可在位似中心的同侧，也可在位似中心的两侧。两个位似图形的相似比又称为位似比。如图(1)、(2)、(3)、(4)、(5)。位似图形的性质：(1)对应边的比等于位似比；(2)周长的比等于位似比，面积的比等于 位似比.的平方(3).,位似图形上任意不对对应点到位似史心的距离之比等壬位似比.，*专业word可编辑说明：（1）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；（2）判断两个图形是位似图形，先判断两个图形相似，再看它们的对应点的连线或其延长线是否经过同一点；（3）将一

8、个图形放大或缩小时，位似中心可以在图形内或边上，也可以在图形的顶点上。例题精讲：abcq a b变形1 : 已知一一一，求345 c专业word可编辑x 3y z工例2 已知x： y： z= 1 ： 3 : 5,求的值。x 3y z变形 1:若 4x= 7y+5z, 2x+y=z,那么 x： y： z=()A. 2 : 1 : (-3)B. 2: 1 : 3 C. 2 : (-1): 3 D. 3 : 2 : 1x 3 y 1 z 2变形 2：右 ,且 x+y+z=18,求 x, y, z。234例3若点C是线段AB的分割点(ACBC) , AB =16,则AC= BC=如果D是线段AB的另一

9、个黄金分割点，则CD=变形：如果线段上一点 P把线段分割为两条线段 PA, PB.当PA2=PBAB时，则称点P是线段AB的黄金分割点,现已知线段 AB=10,点P是线段ABAP B的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为（）A. 6.18 B. 0.382 C. 0.618 D. 3.82例4、如图，D, E分别为4ABC的边AB, AC上一点，HAADEAABC, F为AD上一点，且 AAEFs AACD, （1） AD2=AFAB 吗？请说明理由。（2）若 AF = 4, AB=9,求 AD。变形：如图所示，已知梯形 ABCD, AD/BC,若EF/ZBC,且所分成的梯形 AEFD和

10、梯形专业word可编辑EBCF 相似，AD = 4, BC=9,求 EF 的长。例5、如图XS11所示，在4ABC中，AD，BC于D, DEAB于E, DFAC于F,试证AE AB= AF AC。AB变形1:如图XS11-1, ABC中，BEAC AB 5AC , CB 5 , D 为 AB 上一点,若 BDEEC AC 3八八ABsBAC,则BD变形 2:如图 XS11-2, AOBsCOD,ZA=ZC,下列各式正确的有（）个AB CD AB CDOB AD AO BO一 一：BO CO AO ODOC OD CO ODXS11-1A. 1 B. 2 C. 3D. 4例6、如图ZJ26,兴趣

11、小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.4m,同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2m , 一级台阶高为0.3m ,如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4m ,则树高为（）D. 12.25mA. 11.5m B. 11.75m C. 11.8m一、选择题ZJ26专业word可编辑1 .梯形两底分别为m、n,过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为)(A)(B)mn2mnm n(C)mn(D)m n2mn2 .如图，在正三角形 ABC中，D , E分别在AC,

12、AB上，且=一AC 3有）（AE= BE,则(A) AAED ABED(B) AAED ACBD ( C) AAEDAABD(D) A BADABCD. P是RtABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截AABC,使截得的三角形与 ABC相似，满足这样条件的直线共有 （）（A） 1 条（B） 2 条 （C） 3条 （D） 4 条.如图，/ABD=/ACD,图中相似三角形的对数是 （）（A） 2（B） 3（C） 4（D） 5.如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出4ABP与4ECP相似的是）（(A) /APB= /EPC(B) /APE= 90 C

13、) P 是 BC 的中点(D) BP： BC= 2 ： 3AD6.如图， ABC中，ADXBC于D,且有下列条件ZB+ZDAC=90CD AC(3) = ；AD AB/B= /DAC;(4) AB2=BD BC其中一定能够判定 ABC是直角三角形的共有（A） 3 个（B） 2 个（C） 1 个(D) 0 个7.如图，将4ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90 ,得4人8巳 连结EF交AB于H,则下列结论)(中错误的是专业word可编辑(A) AEXAF(B) EF： AF= 22 ： 1(C) AF2=FHFE(D) FB： FC=HB : EC.如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一

14、点，则有4ABE的周长十CDE的周长= BCE的周长4ABE的面积十4CDE的面积=4BCE的面积AABEADECAABEAEBC11题.如图，直线 a/b, AF ： FB= 3 ： 5, BC ： CD=3 ： 1,则 AE ： EC为().(A) 5 ： 12(B) 9 ： 5(C) 12 ： 5(D) 3 ： 2110.如图，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE= AB,连结EM并延长，父BC的延4长线于D,此时BC : CD为()2 ： 1(B) 3 ： 2(C) 3 ： 1(D) 5 ： 2DE的长和折痕EF的长分别为(A) 4 cm、(C) 4 cm、11.如图，矩

15、形纸片ABCD的长AD=9 cm,宽AB= 3 cm ,将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后()5 cm、 ,10 cm(D) 5 cm、2 J3 cm、填空题12 .已知线段 a= 6 cm , b = 2 cm 项是 cm.则a、b、a+b的第四比例项是cm, a+ b与a b的比例中# a b13.若ca c =m2,则 m =bC.如图，在4ABC中，AB=AC= 27, D 在 AC上，且 BD = BC= 18 , DE/BC交 AB于 E,贝U DE=1 一.如图，DABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF= FD,2EF交 AC 于 G,贝U AG : AC=16题.如图，已知ABC, P是AB上一点，连结CP,要使ACRc ABC,只需添加条件 （只要 写出一种合适的条件）.如图,AD是4ABC的角平分线,DE/AC, EF/BC, AB= 15 , AF= 4 ,则 DE的长等于.如图，4ABC 中，AB=AC, ADBC 于 D, AE= EC, AD=18, BE= 15,则 ABC的面积是、证明题专业word可编辑1、如图，在4ABC中，AB= AC,延长BC至D,使得CD= BC, CE，BD交AD于E,连结BE交AC于F, 求证AF=FC.2、如图，/ABC= ZCDB=90 ,AC= a,