断裂力学讲义第三章弹性力学的平面问题

1、 第3章弹性力学的平面问题任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。在平面问题中，我们以x,y,z表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w表示相应的位移分量，而以XX、 yy和xx、 yy分别表示相应的应力分量和应变分量。 3.1平衡方程与变形协调方程在平面冋题里，所有位移量都只是x, y的函数，与z无关，因而所有应变和应力分量也都只是x, y的函数，与z无关。平衡方程（2.40）可简化为xxxyfx 0 xyxyyyfy0 xy(3.1)变形协调方程（2.63）只余下222xxyy2xy22yxxy(3.2)3.2.1平面应力问题3.2平面应力与平面应变平面应力问

2、题是指：发生在物体某一方向（z方向）的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中， 即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有 外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。根据这些前提条件，在物体的两个端面（上下底面）上，进而整个物体内，zz 0,其它应力分量中平面应力的 应变分量，根据虎克定律（2.95）式，有,zzzxzy 0。0yzzxzzxxyy)(3.3)利用（2.95）式，虎克定律 可以写成xxyyxy1i(1!(12xxyyxyyy )xx )xy(3.4)3.2.2平面应变问题平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向（z方向）的尺度远大于其余

3、两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy平行的平面内，物体的变形都是相同的。此外，由于z方向尺度极大，不能产生z方向的位移，即 w 0，因此，物体内的变形yz zx只发生在与xoy平行的平面内。这类弹性力学问题称之为平面应变问题。由应变与位移的关系直 接得出zz 0，其它应变分量中，yz zx 022 平面应变的 应力分量，根据虎克定律(3.15)式，有zzXXyzyy )zx(3.5)利用(2.95)式，虎克定律 可以写成XXyyXy1 2甘1E122-(XyXXyyyy)3.2.3虎克定律的统一形式引入符号:11EXX )(3.6)Xy2)(平面应变

4、) (平面应力) 代入(3.4)和(3.6)式，虎克定律 可以统一写成台1 2-EE/(1E/(1(平面应变)(平面应力)(3.7)XXyyXyXXyyXy以应力表示的变形协调方程为:2XX2y也可改写为:2(yy )XX )(3.8)其中2yy2Xyy2XXXyy )(11 Exy2XX2X2(12Xy)x y(3.9)fX(3.10) 为二维直角坐标系中的拉普拉斯算符。 y由(3.7)还可以得到一个常用的关系式：在后面我们还经常用到一个材料常数3(31E,它的定义是 (平面应变)/(1)(平面应力)(3.11)(3.12)利用弹性常数之间的关系式(2.97)，还可以得到常用的关系式丄2E1

5、E(3.13) 3.3 Airy应力函数应力函数有许多种。本节只介绍平面问题中常用的Airy应力函数。在(3.10)中引入体力的势函数V,满足 fx-Vx，fyVy(3.14)和Airy函数U(x, y)使2U 、，2U2Uxx- V，yy2Vxy(3.15)yxx y则平衡方程自动满足，代入协调方程，得到2U) 4u1 2V(3.16)式中44442(2)42-2 24(3.17)xx yy当体力势为零时，U满足双调和方程4U0(3.18)应力分量与Airy函数的关系成为2U2U2Uxx2，yy2xy(3.19)yxx yAiry函数可以取多种形式，例如多项式、三角函数等。这里只介绍一些矩形

6、的平面问题，并取应力函数为多项式的形式。由(3.18)可知，U必须是二次以上的多项式。因为一次多项式只能使应力为零。在以下例子中,我们都假定V 0。表3.3.1列出了取二次和三次多项式中的一项为应力函数时的应力分布。各应力函数相应的矩形板的边界条件如表 3.3.1第4列显示。表 3.3.1当U是一个高于三次的多项式时，则不能任取一项。此多项式的系数必须满足某种关系时,才能取为应力函数。 3.4极坐标系中平面问题的基本方程应力 根据 2.1的应力张量坐标变换的方法，可以得出极坐标中应力分量与直角坐标系中应 力分量的转换关系：rr2xx COs2yySin2 xySincos2 xxSin2yy

7、COs2 xySincosr(yyxx)sincosxy (cos2 sin)反过来xx2rr COs2 sin2 r sincosyy2 Si n2 cos2 r sincosxy(rr)sincosr (coS22 sin)由(3.20)还可以得到下面的关系式：rrxxyy(rr2i r)(yyxx2i 2ixy)e极坐标的位移分量ur ,u与直角坐标系中的位移分量间有如下关系:(3.20)(3.21)(3.22)上式也可表示为应力应变关系统一写成Urcossinuusin cos v(Ur iu ) (u iv)ei(3.23)(3.24)其中E,参见(3.7)式。平衡方程rrr1 (3

8、.25)Errrrrr2rrr rfr 0f 0(3.26) 3.5应力函数的复变函数表示弹性力学的复变函数解法由Muskhelishvili(1953)等系统研究，并形成了一套完整的解法。这些方法在断裂力学中也得到广泛应用。在以下讨论中，我们假定体力为零。在 量满足(3.13),从而使U成为双调和函数,3.3节，我们已经引进了应力函数U(x, y)使各应力分4U 0。进一步，我们选择解析函数(z)和g(z)，将U表示为U Rez (z) g(3.27)记 (z) g (z)。可以验证yyyyxxxx 2ixy4Re (z)2z(z)(z)(3.28)上式称为柯洛索夫公式。利用虎克定律求出应变

9、 xx和yy，然后利用应变与位移的关系作积分， 得到位移的复变函数表示为2 (u iv) (z) z- 飞(3.29)其中-(z)和(z)分别表示 (z)和(z)的共轭函数，的定义参见(3.12)式。利用坐标变换可以得出，在极坐标系中，柯洛索夫公式可以表示为rrrr 2i r2 (uriu )4Re (z)(3.30)2z (z)(z)e2i(z) z (z)(z)e将上式中的第一式减第二式得到另一个相当有用的公式：rr i r艺e(3.27)的另一种写法为1 _ U - z (z) z (z) g(z) g(z) 2称之为古莎公式。 3.6边界条件的复变函数表示3.6.1力的边界条件通常给定

10、物体边界上应力矢量Tx，Ty。利用Cauchy公式(2.9)Txxx m yx,Tyxyyy -(3.31)(3.32)(3.33)l cos(N,x) dy/ds，m图3.1由图(3.1)可知cos(N,y) dx/dsTxU dy2 一x ydxdsUy ydy dsxUydxdsyds所以dUdUTxTydsydsx再利用(3.19)式，将应力用应力函数表示，得到参照柯洛索夫公式，我们用应力矢量的复数表达式(3.34)TxiTydds.d U i - ds.d U i -ds x.Ui-y利用古莎公式(3.32), uUxUy记(z)g(z)，得到1z212(z)因此得(z)z (z)z

11、 (z)TxiTy，有(z)z (z)z (z)z (z)g(z)g(z)g(z) g(3.35).di -ds(z)或者i(Tx将上式沿物体边界对弧长积分，例如从Bi aiTy) d (z) z7)dsA到B(图3.1),则得iTy)ds (z)zp厉B(3.36)(3.37)BX iY ,其中X,Y分别为AB段上上式中i A(Tx iTy)ds等于在边界上AB段内应力矢量的主矢量 应力矢量得主矢 R在x,y方向上的投影。B点为边界上的任意点(动点),则zB记为乙而式如果选定A点为边界上的某一基点(定点),(3.37)可写成BA(Tx(z) z (z)(z) i可以证明(参见尹祥础，1995

12、),如果取(z) z (z) 并不影响应力和位移，因而可以使(3.38)简化为(z) z 帀 上式就是用 (z)、 (z)表示的力的边界条件。其中 (x,y)。同理可得iTy)ds(z)zza(z) z (z)zz”BA(TxiTy)ds(z) iA点为边界上的某一固定点z (z) zz (z)A 其中M ab表示作用在边界 AB段上所有外力对原点的合力矩。M ab Reg(z)(3.38)(3.39),B点代表动点(3.40)3.6.2位移的边界条件对于边界上的位移给定为 u u(x, y) 的情况，按柯洛索夫公式，可立即得到其边界条件为(z) z- 帀 2 u(x,y) iv(x, y)v

13、 v(x, y)(3.41) 3.7用复变函数方法解弹性力学平面问题的若干实例3.7.1均匀应力场2 取复应力函数HzHz(3.42)其中H, H 为复常数，H B iC其中B, BC, C为实常数。按柯洛索夫公式H B iC由上式可得yyxx4Re(z)4Byyxx2i xy2z(z)(z)2H 2(B iC)2B Bxxyy2BBxy C(3.43)可以得到不同的应力状态。 另外,可见，应力函数(3.42)代表均匀应力场。适当地选择各常数的值, 由(3.43)可知，C的值对应力值不起作用，故取C 0。1.沿X方向的单向拉伸，拉应力为 !。远场边界条件为 xx !， yy xy 0，代入(3

14、.43)得B J4, B 此复应力函数为i /2, C 0。因(Z) iZ/4,iZ/2(3.44)2.沿x,y两个方向双向拉伸，拉应力分别为i和2远场边界条件为xx1,yy2,xy00代入(3.43)得到B(12)/4 ,B ( 21)/2, C0,因此复应力函数为(z)12z/4,(z)21z/2(3.45)3.纯剪，剪应力为0远场边界条件为xxyy05xy0,类似地得到B B 0, C 0 ,复应力函数为(z)0,(z) i z(3.46)3.取般的情况。主应力为1， 2 01与x轴的夹角为。由柯洛索夫公式yyxx1 2 4Byyxx2i xy(12)e2i2(B iC)解之得B12,B

15、12 cos2C 12 sin2(3.47)422相应的复应力函数为(3.48)2ize位移：将式(3.42)代入位移的柯洛索夫公式(3.29)，将实部与虚部分开得到:1u尹B(1)BxC(1)Cy21(3.49)vC(1)CxB(1)By3.7.2无限大平板中有一圆孔，孔壁受均匀压力p(图3.2)取(z) 0, /z(3.50) 按柯洛索夫公式，rrrr2i r解之得Ur利用孔壁内边界条件：在孔壁上r R,2 (Urrr在岩体中钻孔后施加压力/(2rriu )4Re (z)02z (z)(z)e2i(z) z- /r2，rrr)，时， pR2/r2, pR2/r2, 00.rr2( 2P,即

16、P,只要能测出在P,得2 e2i 面e， /r图3.2无限大介质中, 圆孔受均匀内压 问题/r2，pR ,最后得到2ur pR / 2 ru 0(3.51)pp作用下孔壁的径向位移 ur |r R ,就可求出(3.52)3.7.3带圆孔无限大平板受到单向拉力的问题如图3.3所示，在无限大平板中有一圆孔，半径为R.在无限远处受到单向拉力的作用,并取此方向为X轴。取如下的解：(3.53)其中A, B, C均为实常数。本问题的边界条件为r R时,rr可求出2R2，R2，R4.(3.54)最后得1rrR22 rR22 r2R2r23R4r4R2r3R4rsin 2和断裂力学直接相关的是孔边的周向应力型

17、 cos2rcos2(3.55)|r R，在式(3.55)中第二式中令r=R, 得|r R当 之比）。当 特别当90 （图3.4中A、B两点）,30时,0时,maxi （12 cos2 ）3 i,即应力集中系数i 0为压应力时，在（3.56）为3（最大应力与平均应力30范围内为拉应力。与i异号。这意味着当AR图3.48 urr2R(12 cos 2)-1R 1Rr8 u2r2R彳R21sin 2R 1Rrr再将式（3.53）、（3.54）代入柯洛索夫公式中，可求得位移为1R2cos2(3.57)孔壁的径向位移Ur Ur |r R也有特别重要的意义。将r R代入上式即可得Ur(3.58)3.7.

18、4带圆孔无限大平板受到双向拉力的问题当沿x方向作用主应力孔壁径向位移分别为沿y方向作用主应力2时，利用叠加原理，可得到其应力分布及rrUr2( 12( 12(12）2)2）R2rR22 r2R2r2(2(3R4)212在式（3.59）中第二式中令R(12 1 23max1|r R190 （图3.5中A、B两点）时,2）2)4R22r3R42)cos2cos2.cos2 ,(3.59)图3.5(3.60)当 0或 180 （图3.5中C、D两点）时，i 3 2（3.61）当1、2均为压应力时，若记 1、2为绝对值，则上述各式中1、2换为 1、2。 3.8地应力和地应力的测量地壳中的应力场是地学中

19、的基本课题之一。它与地学中的许多重大课题（诸如地震的孕育与预报，构造物理学等）密切相关。一般认为，地应力的三个主应力方向分别沿水平方向和垂直方向。 其中垂直方向记为z v，水平方向的两个主应力按绝对值大小记为Hmax和H min。当然，也有些地区不满足上述假设，这些地方的主应力与垂直向或水平向成某种角度。最简单的地应力状态是没有构造应力的地壳上部应力场。22.7g/cm0。代入（2.94）式，有为岩石密度（例如花岗闪长岩的 形，即xxyyxyxxyy得到H maxxxyy为深度,H minyyzzv gh ,其中 g为重力加速度。假定水平方向没有变在这种情况下,gh(3.62)地应力状况分几种

20、类型。如令3 |，则按照绝对值可划分为:1垂直向为中间主应力（即2垂直向为最大主压应力（3垂直向为最小主压应力（H maxv ,3H min ),H max ,3H min ),2H min ,3v )。地应力的测量方法分为绝对测量与相对测量两大类。前者是指测量地壳中某处（某点）的实际应力状态。后者则是测量该处应力的变化。一般来说前者比后者更困难些。绝对测量法中较常用 的是应力解除法与水压致裂法。3.8.1应力解除法如图3.6所示，在岩石表面垂直钻一圆孔，半径为 R,直径为D。利用套钻或其它方法在此孔的周围挖成一个环形槽，从而使孔R周围岩体中原来所受到的应力H max和ymin被解除。应力解除过程是应力加载的拟过程，在孔中安置仪器，测量应力解除后孔壁的径向位移Ur。实际操作常常是测量半径 D的变化 D，而Ur/R D/D。至少需要测量三个角度1, 2, 3上的Ur（如图3.7）。角度差3221 ,通常取为60或45。按式（3.57）,Ur1D1(1)(H maxH min )2(RD8UR2D2(1)(H maxH min )2(RD8UR3D3(1)(H maxH min )2(RD8H maxH min ) C0S2 1H maxH min )