普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(一)及答案

1、普通高等学校招生全国统一考试仿真卷一、选择题：本大题共 要求的。理科数学12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 TOC o 1-5 h z .已知集合 A = x y = J9x2 , 8=*至2,若人|8=人，则实数a的取值范围是（）A.-：, -3B.-：, -3 C . -二,0D.二2.已知1+i是关于x的万程ax +bx+2 = 0 （a, bw R）的一个根，则a+b=（）A. -1B. 1C. -3D.3.已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为 2瓜焦点到渐近线的距离为 J2,则双曲线的方程为（） HYPERLINK l bookmark118 o Cur

2、rent Document 2222“ x 2,2 y ,2 x ,y 2,a. - y = 1 b . x - =1 c . y - =1 d . - - x =12222sin 2x4.函数y = s的部分图象大致为（）1 cosxA. 3cm3 B . 5cm3C. 4cm3 D. 6cm36.按照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是(A. 67.设向量b满足a=2,A. 18.将函数C=1,且b _1_ (a +b ),则向量b在向量a + 2b方向上的投影为(f (x )=2sin 2x + - i的图象向左平移 上个单位，再向下平移6121个单位，得到g(x)的图象，若g(x

3、 )g(X2 )=9 ,且 x1,x2 w I-2n,2n,则 2x1 x2的最大值为(55 二A1253 二25 二17二129.我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为:1第一步：构造数列1,2第二步：将数列的各项乘以n,得数列(记为)a?a3, 2 n -110.在ABC中，内角AB,C的对边分别是ac,若心4 =工且 a + c = 2，贝UABC则 a1a2 +a2a3 +111 +anan等于()a. n n -1周长的取值范围是(A.2,3 1. 3,4.4,51.15,62 X11.已知双曲线 2a2 y b2= 1(a 0,b02抛物线= 2

4、px( p 0)有相同的焦点F,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点MF、153-一，则双曲线的离心率为(2A 2A.212.若对于函数f (x )= 1n (x +1 )+ x2图象上任意一点处的切线11,在函数 g (x )= asin xcosx - x 的图象上总存在一条切线% ,使得li H2,则实数a的取值范围为(B本卷包括必考题和选考题两部分。第(13卜(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22卜(23) 题为选考题，考生根据要求作答。、填空题：本大题共4小题，每小题 5分。13.已知等差数列 QJ满足：a1=2,且a1, a2, a5成等比数列，则数列an的通项

5、公式为 .x - y - 0.若满足条件x + y -2 E0的整点(x, y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的y -a值为.已知正方形的四个顶点 A(1,1B(-1,1卜0(-1,-1卜D(1,1)分别在曲线y = x2和y = Ji-x2 -1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 .x16.在底面是边长为 6的正方形的四棱锥 P-ABCD中，点P在底面白射影 H异面直线PB与AD所成角的正切值 为5 ,则四棱 锥P-ABCD的内切球3为正方形 ABCD的中心,与外接球的半径之比为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程

6、或演算步骤。317.已知函数f (x)=J3cos cox +sin切xcoscox9 0)的取小正周期为2(1)求函数f(x)的单调递减区间；-2右f (x ),求x取值的集合.218.某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1, 2, 3,，8,其中X25为标准A , X 23为标准B.已知甲车间执行标准 A,乙车间执行标准 B生产该产品，且两个车间的产品 都符合相应的执行标准.(1)已知甲车间的等级系数 Xi的概率分布列如下表，若 Xi的数学期望E(Xi ) = 6.4,求a , b的值;Xi5678P0.2ab0.1(2)为了分析乙车间的等级系数 X2,从该车间

7、生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数X2的概率分布列和均值；(3)从乙车间中随机抽取 5根火腿，利用(2)的结果推断恰好有三根火腿能达到标准A的概率.19.如图，在梯形 ABCD 中，AB/ CD , AD = DC =CB =2,/ABC =60电，平面 ACEF _L 平面 ABCD ,四边形ACEF是菱形，/CAF =60.(1)求证：BF J_AE ；(2)求二面角 B EF D的平面角的正切值.

8、22x y.已知椭圆E：F+0 = 1(abA0)上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍，且点a bP 3 |在在椭圆E上.2(1)求椭圆E的方程；(2)过点M(1,1井作一条直线l , l与椭圆E交于不同于P点的A , B两点，l与直线m:3x + 4y12 = 0交于C点，记直线PA、PB、PC的斜率分别为k1、k2、k3 .试探究k1+卜2与k3的关系，并证明你的结论.已知函数 f (x ) = (gex+a |ex (a+1 )x .(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围.请考生在 22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分

9、。x轴正半轴方向,.在极坐标系中，已知圆 c的极坐标方程为 p = 4cose ,以极点为原点，极轴方向为1 +信x = 一 十t利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为2 2(t为参数)yWt2(1)写出圆C的直角坐标方程和直线 l的普通方程；已知点M 1 1,0 ,直线l与圆C交于A、B两点，求| MA MB|的值.23.选修4-5 :不等式选讲已知函数 f (x )= x +m| +|2x-1 .(1)当m = -1时，求不等式 f(x)W2的解集；一 一 -3 1,(2)右f (x 2x +1的解集包含 ,2 i,求m的取值氾围.142018年普通高等学校招生全国统一考试

10、仿真卷理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 TOC o 1-5 h z .已知集合 A = x y = J9x2 , 8=*至2,若人|8=人，则实数a的取值范围是()A.( q,3 B .(,_3)C . (-,0 D.13*)【答案】A【解析】由已知得A = 4,3 ,由A0| B = A，则A=B ,又B = la,依卜所以a M 3 .故选A.2.已知1+i是关于x的万程ax +bx + 2 = 0 (a, bw R )的一个根，则a+b=()A. -1B.1C. -3D. 3【答案】A2【斛析】 由1 +i是关

11、于x的方程ax +bx+2 = 0 (a, b = R)的一个根，a(1+i)+b(1+i)+2 = 0,r2ab = 0 TOC o 1-5 h z 即a(2i)+b(1+i)+2=(2a+by+2+b=0,得|,曰 a 二 1一，解得* ，则a +b = -1 .故选A.b - -2.已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为 2，3,焦点到渐近线的距离为 叵,则双曲线的方程为()2222A x 2 d m2yde2 xy 2dA.-y =1 B . x J=1 C . y =1 D . - -x =12222【答案】B【解析】c = J3,焦点到渐近线的距离为J2 ,说明b = J2 ,则a =1

12、 ,2，双曲线的方程为x2-上=1,故选：B.2sin 2x4.函数y =的部分图象大致为()1 cosxA.【解析】因为函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，所以选项C D错误；又当x 0Q,- i时,2丫= sin2、* 所以选项B错.本题选择 A选项.1 cosx5.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（A. 3cm3 B5cm336cm3【答案】B11【解析】几何体如图，体积为 2M 2 -X1X1 -X2X1 1 = 5,选B.226.按照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是（）S=1/ 输 小A /S =S 1结束 TOC o 1-5 h z

13、A. 6B.5C.4D.3【答案】B【解析】第一次输出A=1,第二次输出 A = 1+2 =3,第三次输出 A=3+2=5,选B.设向量a , b满足a =2, b =1,且b_L(a+b),则向量b在向量a + 2b方向上的投影为()A. 1B. -1C. -D- HYPERLINK l bookmark33 o Current Document 2, 2【答案】D【解析】b_L(a +b),b|ja +b户a1b + b2 =0 , a b=b2 = 1 .b a +2b )=a b +2b2 =1 ,a +2b = Ja2 +4b2 +4a b = 2 .设向量b和向量a+2b的夹角为日

14、，则向量b在向量a+2 b方向上的投影为b cosH = b ”b(a +如)b(a +2b).故选 D.|a +2b.将函数f (x)=2sin f2x + - i的图象向左平移 二个单位，再向下平移1个单位，得到g(x)的图象，若 612g(x1)g(X2 ) = 9 ,且 Xi, X2 w 2n,2兀】，贝U 2xi X2的最大值为()55 二A.1253 二12Ji25 二17二函数f (x) = 2sin.2x+一的图象向左平移ji一个单位，可得12Jiy = 2sin I 2x 3的图象，再向下平移121-2冗,2n】，则个单位，得到 g(x)=2sin2x+ 1 的图象，若 g(

15、x, )g(x2 ) = 9 ,且 x1, x2 13，g(x1产g(X2 )=-3,JIJI则 2x 十一=-十2kn , k w Z325 二,x = _k ,：；.12k WZ, x, x2 w _2n,2n,得 X1,X2 w一17 二 5 二 7 二 19 二1212 12 1219 二x1 =1217二55 二时，2%-x2取最大值，故选A.12129.我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为:第一步：构造数列1第二步：将数列的各项乘以n,得数列则 a1a2 +a2a3 +| +anan等于()a. n n -12n 一1（记为）a?a3 ， an

16、 【解析】 ak之 2 时，ak 1a.k-1 k二八 1 -1k-1 k &a2a2a3 ,二二an 冏1 1I1+2 31-：=n( n-1).故选：A.10.在ABC中，内角AB,C的对边分别是a且 a + c = 2，贝UABC周长的取值范围是（A. 2,31. 3,4. 4,51.15,6由0V Bv立得,7jt 4,3 二 2 sin B =2423B =jiB =一，又32222. 由余弦te理可得， b =a +c 2accosB = (a+c ) 2ac ac = 4 3ac , a+c = 2 , a + c之 2J0C,当且仅当a =c时取等号，0vac Ml ,则 4M

17、4acv0,则lMb24,即 1 b0,b 0 *抛物线y2 =2px( p0)有相同的焦点F ,且双曲线的一条渐 a b近线与抛物线的准线交于点M(一3, t ),MF1532,则双曲线的离心率为(【解析】由题意可知，抛物线.33=2px(p0)的焦点坐标为F(pO),准线方程为物线的准线上，则 -p=-32P =6,则焦点坐标为F(3,0),所以 MF =7( -3-3)2 +t2、153 J 9 x 32，则 t = 4,解得 t =-,双曲线的渐近线方程是则双曲线的离心率为eby =-x,将M代入渐近线的方程3cb一 =3父一,2 ab =1a 一 2 12.若对于函数f (x )=

18、ln (x +1 )+ x2图象上任意一点处的切线1i ,在函数 g (x )= asin xcosx - x 的图象上总存在一条切线12,使得1i H2,则实数a的取值范围为()A.【解析】设切线11的斜率为k1,则k1 =1_1_ _ _ _ffx=+2x=+2(x+1 -2 之 2J2-2 ,x 1 x 1当且仅当x=121时等号成立.设切线12的斜率为k2,则k2 =g(x尸acos2x1 ,由于总存在12,使得11 112,即总存在k2,使得k1k2 = 1,一 1故 k2 = 一 一 k1石十1cI-1,0，显然 a 00,且 k2 W2 J.、2则： 2a -1 0& +1，解得

19、:-a 1 w 2a -1-&一11a、据此有:a之1 .即实数a的取值范围为(_,_1口11,十8).本题选择D选项.第n卷本卷包括 必考题和选考题两部分。第(13卜(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23) 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分。13.已知等差数列an满足：a1=2,且a1,a2,a5成等比数列，则数列an的通项公式为 .【答案】an =2或an =4n -2【解析】等差数列an满足：a1=2,且a1, a2, a5成等比数列，设公差为d , 22所以 a2 =aia5,有：(2+d ) =2(2 + 4d ),解得

20、d =0 或 4.所以 an =2 或 & =4n 2.故答案为：an =2或an =4n-2 .x -y -014.若满足条件x + y -2 W0的整点(x, y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点， 则整数a的 y -a值为.【答案】-1【解析】作出满足条件的平面区域如图所示,要使整点个数为 9个，即(0,0 ), (1,0 ), (2,0 ), (1,1 ), ( -1,-1 ), (0), -1),(1, -1),(2,-1),(3, 1 ),整数a 的值为-1，故填1.15.已知正方形的四个顶点A(1,1B(1,1卜C(-1,-1卜D(1,1)分别在曲线y =x2和y

21、= J1-X2-1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 823 7t24【解析】y = x2与AB相交的阴影部分面积为2-二2-3y =J_x2 -1化简得(y+1 2 +x2=1,则y =，1-x2 -1与CD相交的阴影面积为半圆,4 二+故质点落在图中阴影区域的概率是3 2 _8 3二4 一 2416.在底面是边长为6的正方形的四棱锥P -ABCD中，点P在底面白射影H为正方形ABCD的中心,异面直线PB与AD所成角的正切值 为5 ,则四棱 锥P-ABCD的内切球 与外接球的 半径之比为 3【解析】由题意，四棱锥P ABCD为正四棱锥，PA =

22、 PB = PC = PD ,如图所示:PE 5因为AD / BC ,所以异面直线PB与AD所成的角为/ PBC ,取BC中点E ,则tan/ PBC.BE 3一 一 一,1 CPE =5, 0)的最小正周期为2(1)求函数f(x )的单调递减区间;(2)若 f (x )- 2,求x取值的集合.7 二【答案】(1)函数f(x)的单调递减区间为t + k%石+knkw Z ； (2) X取值的集合为/X+ kn x 24【解析】(1).-2.、33 . 一 1 一 3f x = 3cos x sin xcos x -=1 cos2 x sin2 x31 一.= cos2 x ： _sin2 x

23、=sin |2 x ，所以co =1 ,冗 1故 f x =sin 12x - I2 因为周期为一 =冗23：由 2k 二 2x - 2k 二7 二, k = Z ,得一+ knEx + kn1212函数f (x沙勺单调递减区间为廛.7二 I k 二，k 二 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 1212f(x)二巫 2二 2,即 sin I2x - HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 323 二由正弦函数得性质得, 2k二：二2x -，2k二解得ji125 二2 k 二二 2x : 一12+ 2kn

24、,所以24,5 二,k二：x k 二24则x取值的集合为 x+ knxb 0 )上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的 a bP %3 i在椭圆E上.2(1)求椭圆E的方程;(2)过点M (1,1/作一条直线l , l与椭圆E交于不同于P点的A , B两点，l与直线m:3x + 4y12 = 0交于C点，记直线PA、PB、PC的斜率分别为k1、k2、k3 .试探究ki+ k2与k3的关系，并证明你的结论.22x y .【答案】(1) z;=1 ；(2)答案见解析22【解析】(1)因为椭圆Eix2+ya2 b2= 1(ab0 )上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为a+c, ac

25、,所以依题意有：a+c = 3(a-c户 a=2c,2分22a2 =b2+c2,b = J3c .故可设椭圆E的方程为： 二十上 =1,4c2 3c2因为点p 7 3 i在椭圆e上， 29 TOC o 1-5 h z 所以将其代入椭圆 E的方程得 上 十4 =1=，=1 4分4c23c2 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document 22椭圆E的方程为X +y =1 5分43y-1 = k(x-1),即 y =kx k +1 , A(x1，y1),B(X2, y )为l与椭圆E的两个交点.将y=kxk +1代入方程3x2+4y212=0化简得:(4k2 +

26、3)x2 -8(k2 -k)x+4k2 -8k -8 = 0 .所以8k2 -8k_ 4k2 3xix2 =4k2 -8k -84k2 333.1.1y1y2k(x1 -1 )-k2-1)-1/11二 k1 +k2 =2 +2 =2+2 = 2k+4-1x2-1x1-1x2-12 1X-1x2-1 y1 x。2-218k2-8k-2 4k236k-32k22k2 x1x2 -xix2124k2 -8k -8 - 8k2 -8k4k23510分y =kx -k 14k 89k 3又由 i3 3x+4(kx k +1 )12 =0 ,解得 x=, y =3x 4y-12=04k 34k 3即C点的

27、坐标为C l4k +8 9k+3 I14k 3 4k 39k 3 3所以k _ 4k 3 2 k3 - 4k 8 .-14k 36k -310因此，k+k2与k3的关系为：kI+k2=2k3.一，1 x x21.已知函数 f(x)= e +a e (a+1)x.(2)依题意，直线l不可能与x轴垂直，故可设直线l的方程为:(1)讨论f (X)的单调性;(2)若f(X府两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) -1 a 0 ,由 f 0,得 xw(0,+比卜由(x)0 得 xj-,0) f(X)的单增区间为(0L,单减区间为(血,0).3分当 ac-.当a21时，只需f 0 0,即-

28、1 a(一时，满足题意； 7分2 .当a=2时，f(x应(*,+必)上单增，不满足题意； 8 分 当a-2时，f (x )的极大值f (0 )0,不可能有两个零点;当-2 a -1 时，f (x )的极小值 f(0)0,.f(x)在(气+8)单增，当 1n (-a 1 )0,即 a 2 时，由 f(x)0得，x(-,0)U(ln(-a-1),+ ),由 f(x)0 得 x10, 1n (a1).f(x )单增区间为(一巴0), (in(a1f(x)单减区间为(0, 1n(-a-1).当 1n (-a -1 )0 ,即 _2 a 0得，xw(血，in (-a -1)U(0,+ ), 由 f (x)0 ,方程无解.111.综上所述，-1Ma：2请考生