高中数学第六章平面向量初步6.1.3向量的减法学案新人教B版必修第二册

1、- -预习家，砥问题导学6. 1.3 向量的减法导学I聚I焦考点学习目标核心素养相反向量理解相反向量的含义， 能用相反向量说出向量相减的意义数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算数学运算与向量加法的关系能将向量的减法运算转化为向量的加法运算数学建模、逻辑推理研懂导学黄馆 .预习教材P142 P144的内容，思考以下问题:. 一个数x的相反数是什么？ 一个向量 a有相反向量吗？若有，如何表示？.任何一个数x与它相反数的和为 0,那么向量a与它的相反向量的和是什么?.向量的减法运算及其几何意义是什么?1新知初直.一般地，平面上任意给定两个向量 a, b,如果向

2、量x能够满足b+x =a,则称x为向量a与b的差，并记作x= ab.在平面内任取一点 Q作 04a, Ob= b,作出向量BA注意到O母孤 OA因此向量BA就是向量a与b的差(也称B的向量a与b的差向量)，即0 Ob= BA上述求两向量差的作图方法也常称为 向量减法的三角形法则.给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量,向量a的相反向量记作一 a.因为零向量的始点与终点相同，所以一0=0.不难看出，a+(-a) = 0, ABJ+ (昭=0.向量的减法可以看成向量加法的逆运算，即a-b=a+( -b).名师点拨相反向量与相等向量一样，都从“长度”和“方向”两方面进

3、行定义，相反向量必为平行向量.自我帷测:O判断正误(正确的打“，”，错误的打“x”) TOC o 1-5 h z （1）若b是a的相反向量，则a与b一定不相等.（）（2）若b是a的相反向量，则a / b.（）（3）向量XB勺相反向量是 B且孤一丽（）（4）Paupb=Xb.（）答案：（1） X （2） V （3） V （4） X 化简Op- Q丹PS并S酌结果等于（）a.Qp b.Oqc.spd.sq解析：选 b.原式=（OpfPQ + （PS+P =Oq-0=Oq oc如图，在？ABCM, Ab= a,俞=b,用a, b表示向量AC 配则AC 弋-一, BD=Ah解析：由向量加法的平行四边形

4、法则，及向量减法的运算法则可知AC= a+b, BD= b-a.答案：a+b b-aE）在平行四边形 ABCD向量AB勺相反向量为 答案：BA, Cd解惑探究突破探究点向量减法的几何意义1- 1 如图所示，已知向量 a, b, c不共线，求作向量 a+bc.【解】法：（几何意义法）如图所示，在平面内任取一点o,作 Oa=Ab= b,则0b= a+b,再作 OC= c,则 CB= a+bc.陶图法二：（定义法）如图所示，在平面内任取一点O,作OA= a, AB= b,则OB= a+b,再作BC= -c,连接 OC 则OC= a+bc.规律疔r法求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的

5、加法来进行，如a-b,可以先作一b,然后作a + ( b)即可.(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.如图，已知向量 a, b, c,求作向量 ab c.解：法一：先作 a- b,再作a bc即可.如图所示，以A为起点分别作向量 尾和X。使超 a, AC b.连接CB得向量CB= a-b,再以C为起点作向量CD使CD= c,连接DB得向量DB则向量D即为所求作的向量 a-b-c.法二：先作一b, - c,再作a+(b)+( c),如图.(1)作AB= b 和 BC= c；(2)作OA= a,则Oc= a-b-c.探

6、究点向量加减法的运算及简单应用例【2(1)化简：0OA-Ob=Afe+ (M CA + DC=；OB-OA-Oc-E.(2)如图，用a, b表示由用b, c表示EC【解】(1) Ab+OvOB=Ab+ (OA-oeb=Ab+bA= o；AB+ ( BNCA + DC= (AB+ BD) + (DO CA = A DA= 0;OB- OA- OC- CO= ( OB- OA ( OO CO = AB故填o,o,AB(2)因为鼠a, CD= b, DE= c.DB= CB- CD= BC- CD= a-b.EC=- CE= -(CDE = - b-c.(1)向量减法运算的常用方法常用方法可以通过相

7、反向量，把向就瞬法的 运其转化为加法运尊运用向量减法的三角形法则,此阻 要注意两个向量要有共同的焦点引入点。，逆用向黄减法的三角形法 则，将各向量起点统一(2)向量加减法化简的两种形式首尾相连且为和.起点相同且为差.解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.(3)与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量相 等、平行等关系辅助化简运算.跟踪训练:如图所示，在五边形ABCDE3,若四边形 ACD虚平行四边形，且 Ab= a,AC= b, AE= c,则用a, b, c表示下列向量.Cd=；鼠；Be=; (4) BD=.解析：因为四

8、边形 ACD的平行四边形，所以Cb=AE= c, Bb=AC-AB= b-a,- - BE= AE AB= c- a,所以 BD= BUCD= b-a + c.答案：(1) c (2) ba (3) c- a (4) ba+ c探究点闾I向量减法几何意义的应用已知|前=6, | AD=9,求| AB- AD的取值范围.【解】 因为|丽|而| |届-雨w|A)十 |而,且 | 而=9, | AE| =6, 所以 3 | AB-Atf 15.当AbfAfelW向日| AB-At| = 3；当 Ate Ate 向日| Ab-acd = 15.所以| AB-AD的取值范围为3, 15.，互动探究变条件

9、，变问法将本例的条件改为“I AB = 8, | AD=5，求|BD的取值范围.解：因为Bb=Ab-雄 |俞=8, |丽 =5,| 丽-1 AB| | Ab-ABw|雨 十 |AB ,所以3Cb=0.答案：0.已知 OA= a, OB= b,若 | OA = 5, | Ob = 12,且/ AO屋 90 ,则 | a-b| =.解析：如图，在矩形 OAC曲，OA-Ob=BX 则 |ab| =|BA=R|a| 2+| b| 2=152+ 122= 13.答案：13强化培优通关 .A 基础达标1.在平行四边形 ABCW,下列结论错误的是()三_A.AB- DC= 0B.AD- BA= ACC.AB

10、- AD= Bdd.M Cb= 0解析：选C因为四边形 ABCD1平行四边形，所以AB= DC Ab- DC= 0,AD-BA= AU AB= ACAB- AD= DBAt CB= AeDa= 0,故只有 C错误.2.如图，在四边形ABCDK 设 AB= a, AD= b, Bb= c,则DC=(A. ab+cC. a+b+cB. b(a+c)D. ba+c解析：选 A.DC5=Da+Ab+bC a-b+c.3.已知非零向量a与b同向，则a-b()A.必定与a同向B.必定与b同向C.必定与a是平行向量D.与b不可能是平行向量解析：选C.ab必定与a是平行向量.下列各式中不能化简为AD勺是()+

11、一(AB- DC CBAb- (CU 而一,* LT 、- (CB+ MC 人 BMd. BM- Daf Mb解析：选 d.选项 a中，(Afe-DCCb= Ab+ CBb= Ab+ 鼠Cb=AD 选项 b 中，Ab-（CDD?=Xb-0=配 选项 c中，-（出而（?一（像甘前=CB-Mc-d/vbMm= ebCCm-Xd + MB= （MBb亩计ClM + Ab= AD d不能化简为AD.若a, b为非零向量，则下列命题错误的是（）A.若| a| + | b| = | a+b|,则a与b方向相同.若| a| + | b| = | a b|,则a与b方向相反C.若|a| +|b| =|a b|

12、 ,则 | a| =| b|D.若| a| -| b| =|a-b| ,则a与b方向相同解析：选 C.当 a, b 方向相同时，有 | a| + | b| = | a+ b| , | a| 一 | b| = | a b|;当 a, b 方向相反时，有 | a| + | b| = | a b| , | a| | b| = | a+ b| ,故 A, B, D均正确.如图，在AB3若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则BE必由=.解析：因为D是边BC的中点,所以 BEDCEb= BE+ Eb- De= BD- Db= 0.答案：0.如图所示，已知O为平行四边形 ABCg一点，OA= a,OB=

13、b,Oe= c,则Ob=.（用a, b, c表示）解析：由题意，在平行四边形ABCDK 因为 OA= a, OB= b,所以 BA=OAOb= a-b,所以 CD= BA= a-b,所以 Ob= OoCb= a-b + c.答案：ab+c8.在ABC43, | 而= |C=|CA = 1,则 | Xb-BC|=解析：如图，在 AB计,ftO0ifAB= BD= 1,/AB氏 120 ,AB- BC= AB+ CB= AB+ BD= AD易求得AD=串,即|而=淄.所以 | AB-Btf = 3.答案：，39.已知 O为ABCft一点，OA=a, OB=b, Occ.求作：(1) b+ c a；

14、 (2) a-b-c.解：(1)以Ob OC为邻边作？OBDC连接 OD ad则OD=O中Oc= b+ Bc,所以b+ca=OD-OA=AD如图所示.=b+ c,连接 AE 则EA= a-(b + c) = a-b-c.若O是 ABC所在平面内一点，且满足 |Ob-Oc=I Ob-OAfOc-OA,证明 ABC是 直角三角形.、一 il._,、，-_-证明：因为 OB- OAF OC- OA= AB+ AC OB- OC= CB= AB- AC又 | OB- OC=|OB- OAF OC- OA ,所以 I AB- AC = | AB+AC,所以此平行四边形为矩形,所以以AB, AC为邻边的平

15、行四边形的两条对角线的长度相等,所以AH A。所以 ABC是直角三角形.B能力提升.平面内有三点 A B, C,设 fAB+ BC n = AB-BC,若 | m = |n| ,则有（）A, B, C三点必在同一条直线上ABC、为等腰三角形且/ ABE顶角AB3为直角三角形且/ ABC= 90AB3为等腰直角三角形解析：选C.如图，作AD BC则ABC时平行四边形,=AC n=AB-BCAB-ADDB从而f Ab+ bc因为 | m = | n| ,所以 | AC| = | Db.所以四边形 ABC虚矩形，所以 ABC为直角三角形，且/ ABC 9012.如图，在正六边形 ABCDE中，与OA

16、_ OO CDf等的向量有（）CF；而 BE；DE-FE+CdCE CA-CDAb+AEB. 2个D. 4个A. 1个C. 3个解析：选B.因为四边形ACDF1平行四边形,所以 OA- OO CD= C/V CD= CF, DE- FE+ CD= CA D曰 EF= CF, C曰 BC= BO CE= BE CA CD= DA因为四边形 ABDE是平行四边形，所以 AM Ae= AD综上知与OA- OO Cb目等的向量是 .13.如图所示，点 O到？ABCD勺三个顶点 A, B, C的向量分别为 口, 2,3,则 OD= （用1,2,3 表示）.解析：OD= OO CD= OO BA= OO

17、OA- OB=3+1 2.答案：3+1 一214,已知 OAB中，OA= a, OB= b,满足 | a| = | b| = | a-b| =2,求 | a+b| 与 OAB的面积.OACB 则解：由已知得10A =|Ob,以OA O的邻边作平行四边形 可知其为菱形，且OC= a+b, BA= a-b,由于 | a| = | b| = | a b| ,则 OA OB= BA所以 OA郎正三角形，所以 | a+ b| =| O（P = 2X 3/3=23/3,C 拓展探究15.如图，在？ABC珅，AB= a, AD= b,用a, b表示AC而(2)当a, b满足什么条件时，a+b与ab所在的直线互相垂直?当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a b|?(4) a+b与ab有可能为相等向