电大《经济数学基础》期末复习指导

1、=lnx -1x 1sin x一-,x #0 10.函数 f (x) =Tx在x =k, x = 00处连续，则k =(1) .,x 011.函数 f (x)=在x =1, x 2 (x 2)limx 1x- 1(x-1)(x-2)(. x 1)= limx 13.解(x - 2)(. x 1)limx )0tan(x - 1)x -1经济数学基础第一部分微分学一、单项选择题.函数y=的定义域是(lgx1x-1且x#0).若函数f(x)的定义域是0,1,则函数f(2x)的定义域是(*,0).下列各函数对中，(f(x)=sin2x+cos2x,g(x)=1)中的两个函数相等.1,.设f(x)=十

2、1,贝Uf(f(x)=(x1x.下列函数中为奇函数的是(.下列函数中，(y=ln(x1)不是基本初等函数.下列结论中，(奇函数的图形关于坐标原点对称)是正确的.12x TOC o 1-5 h z .当xT0时，下列变量中()是无穷大量.x.已知f(x)=-1,当tanx(xt0)时，f(x)为无穷小量.x1,八一，1切线斜率为(一一)2.曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程为(y=x).-1.若函数f(-)=x，则f(x)=x1(下).x.若f(x)=xcosx，贝Uf(x)=(-2sinx-xcosx).下列函数在指定区间(一力,一)上单调增加的是(ex).下列结论正确的有(x。是f(

3、x)的极值点).设需求量q对价格p的函数为q(p)=32小,则需求弹性为B=3-2p二、填空题.函数x+2,-5x0f(x)=2的定x2-1,0 x1x-3x2sin2xlim=x0.x1-1(x11)sin2x(.x1-1)(；x11)sin2x=lim(.x11)lim=22=4x0 x0 x.解.x2-4x3(x-3)(x-1)lim=limx)3sin(x-3)xRsin(x。3)x-3limlim(x-1)=2x)3sin(x-3)xe.解tan(x-1)tan(x-1)lim2=limx1x2x2x1(x2)(x-1)1 TOC o 1-5 h z =limlimx1x-2x：11

4、1=1= HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 336.解y =(52cosx) =52cosx ln5(2cosx) = -2yirco5俨sxeinsxeyy =。x3 - 2 ln 23xdy =(13.解 y (x)xT-2、n2)dx cos x-sin2x(2x) -cosx2(x2)y (x) =17.解：方程两边对52(1-2x)5(3x2x2)、lim-z-)=X(x-1)(2x-3)6(-2)5(3-刍lim43)x(1-1)(2-3)6 TOC o 1-5 h z xx_5_(-2)332一27.解:xcosx、._y(x)=(

5、2)=xx-xsinx-cosx2In2-2xCxsinxcosx=23x2 cos2: 所以In22x8.解xx1f(x)=2In2sinx2cosxx.解因为所以 TOC o 1-5 h z c冗冗冗2cosy(-)=-2sin-52In5=-2ln5一2.解因为y=(lnx)3(lnx)322二(lnx)二一33x3xlnx.2.所以dydx3x3lnx.解因为y=esinx(sinx)5cos4x(cosx)sinx4=ecosx-5cosxsinx所以dy=(esinxcosx-5cos4xsinx)dx.解因为13x.y=23(x)2ln2(-x)cosx_x_x_2-2sin2I

6、n2-2xcosx.解：y(x)=3lx2x(lnx)e-x(-5x)23lnx广_5x=-5e一x.解在方程等号两边对x求导，得yln(1x)(exy)=(e2)yln(1x)yexy(yxy)=01xln(1x)xexyy=-y-yexy1x故y(1x)yexyy-YV(1x)ln(1x)xey.解对方程两边同时求导，得(cosyxey)y:-ey-eyycosyxex求导，得y=eyxeyyeyy=1-xey当x=0时，y=11dye所以，=(dxxR1-018.解在方程等号两边对x求导，得cos(xy)(ey)=(x)-sin(xy)1yeyy=1ey-sin(xy)y=1sin(xy

7、)y_1sin(xy)ey-sin(xy)故1sin(xy)dy二-dxe-sin(xy)四、应用题1.设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)=100+0.25x2+6x(万元)，求：(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本；(2)当产量x为多少时，平均成本最小？.解(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为：C(x)=1000.25x26x100C(x)=+0.25x+6,xC(x)=0.5x6所以，2C(10)=1000.25102610=185-100C(10)0.25106=18.510C(10)=0.5106=11(2)令一100C(x)=2+0.25=0,得xx=20

8、(x=20舍去)因为x=20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x=20时，平均成本最小.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q为需求量，p为价.解(1)成本函数C(q)=60q+2000.因为q=100010p,即1p=100一q,10所以收入函数1R(q)=pq=(100-q)q= TOC o 1-5 h z 121ooq-6q-(2)因为利润函数L(q)=R(q)-C(q)12=100q而q-(60q+2000)1240q-q-200012.L(q)=(40q-10q-2000)=40-

9、0.2q令L(q)=0,即40-0.2q=0,得q=200,它是L(q)在其定义域内的唯一驻玄八、C(q)=250-2500C0q)T1000所以，q=200是利润函数L(q)的最大值点，即当产量为200吨时利润最大.3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元.又已知需求函数q=20004p,其中p为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：(1)价格为多少时利润最大？(2)最大利润是多少？3.解(1)C(p)=50000+100q=50000+100(2000-4p)=250000-400R(p)=pq=p(2000-4p)=2000p-4p2

10、禾U润函数L(p)=Rp)-C(p)=2400p-4p2-250000,且令L(p)=24008p=0得p=300,该问题确实存在最大值.所以，当价格为p=300元时，利润最大.(2)最大利润L(300)=2400300-43002(元).令C(q)=0,即0.59800=0,q得q1=140,q2=-140(舍去).q1=140是C(q)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.所以q1=140是平均成本函数C(q)的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件.此时的平均成本为C(140)=0.514036C (q)=(0.5q 36 )=q0 5 _9800 q2=17140

11、6(元/件).已知某厂生产q件产品的成本为2C(q)=250+20q+q0(万元)问:要使平均成本最少，应生产多少件产品？.解(1)因为q2010 x(ff(x)dx=F(x)_F(a).a.下列定积分中积分值为0的是.下列无穷积分中收敛的是二1(f丁dx),1x.设R(q)=100-4q,若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是(350).下列微分方程中，(yy+xy2=ex)是线性微分方程.微分方程(y)2+y(y)3+xy4=0的阶是(1).二、填空题22-dfedx=edx.函数f(x)=sin2x的原函数是4.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为 C(q) = 20+4 q

12、+0.01 q2 (元),单位销售价格为p= 14-0.01 q(元/件)，试求：(1)产量为多少时可使利润达到最大？ (2)最大利润是多少？4.解(1)由已知2R = qp = q(14-0.01q) =14q -0.01q利润函数q1=50 是 C(q) 在其定义域内的唯一二212L =RC =14q-0.01q -20 -4q -0殂1q = 10q -20 -0.02q5.6. x - xxe 十e 十c ).6.则L=100.04q,令L=100.04q=0,解出唯一驻点q=250.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，(2)最大利润为L(250)=102

13、50-20-0.02250(元)5.某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C(q)=0.5q2+36q+9800(元).为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？5.解因为 TOC o 1-5 h z C(q)_9800C(q)=0.5q36qq(q0)250qC(q)=(20)=q102501-2q10令C(q)=。，即一驾+1=0,q10得q1=50,q2=-50(舍去)，所以，q1=50是C(q)的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品.第二部分积分学一、单项选择题1.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(1,4)的曲线为(y=。+3).1=22500M2

14、x土包dx=21230k=(1).3.下列等式不成立的是1、(Inxdx=d().xx4.若ff(x)dx=-e2+c,则f(x)=x1-e2).4Jxd(e)=(1若f(x)exdx=exc,贝Uf(x)=().x7.若F(x)是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是-cos2x+c(c是任意常数)2.若广(x)dx=(x+1)2+c,则f(x)=2(x1).若Jf(x)dx=F(x)+c,则ef(e)dx=-F(e/)cde2.ln(x+1)dx=0dx1xc12dx=0(x1)二1.无穷积分fojdx是收敛的(判别其敛散性).设边际收入函数为R(q)=2+3q,3且r(0)=0,则平均

15、收入函数为2+-q.2.(y*)3+e“xy=0是2阶微分方程.微分方程y=x2的通解是3y二+c3三、计算题1.解-1 TOC o 1-5 h z sin111/dx=-sind()=coscxxxx2.解22dx=2f2-d(vx)=-2+c*xIn23.解e_1eJxsinxdx=-xcosx+cosxdx=-xcoSxlnWFx=L1nudu=ulnu4.解=e-u1ee-e1二1(x1)1nxdx=10.解因为P(x)121(x-1)(x1)Inx-22x2dx1.2_x2=-(x2x)1nx-xc245.解.1n3x/dxx2,oe(1e)dx=1n30(1ex)2d(1ex)=2

16、Q(x)=x21用公式_-dx2-dxy=ex(x21)exdxc二ex(x21)e1nxdxc1(1ex)336.解elnxdx1x1n356421rxx-x4213y(1)二4c二1elnxd(2.x)=2xln=2.e-e-1111.解将方程分离变量:月曲2特x的2dxx2dx=44争殍始案件3y(_1)=J3代入，得e=2e-1ee141解将原方程化为：1-11u-du11yu_y=，它是一阶线性微分方xlnx程，1-1P(x)=，Q(x)=xlnx用公式_P(x)dxP(x)dxy=eQ(x)edxc1dx1_1dx=exexdxclnxlnx1_lnx.=eedxclnxr1，,二

17、xdxcxlnx=x(lnlnxc)15.解在微分方程y1r=2xy中，P(x)=1,Q(x)=2x由通解公式-dxdxxy=e(2xedxc);e(2xedx7.解e21dx=x.1lnxe21d(1lnx)=1.1lnxe225+lnx1=2(J3-1)13131-3-e=-ec，c=-e2362所以，特解为：3e子=2e-e“、一，112.解：方程两端乘以一,得xyy_lnx一2一xxx即=e*(2xex-2exdxc)：二(2x-2ce。)一一1一16.斛：因为P(x)=,Q(x)=sinx,x由通解公式得-1dx1dxy=ex(sinxexdxc)-lnxlnx_i=e(sinxed

18、xc)1,、=(xsinxdxc)x8.解2xcos2xdx=02ji2xsin2x0心x两边求积分，得lnx129.JIq2sin2xdx=解法一c2cos2x0y.二xlnx,dx通解为:lnxd(lnx)二12xlnxcxln2e_1(ln(x+1)dx=xln(x+1)0-exx十1dx由yx=1e1=e-1-0(1-)dx所以，满足初始条件的特解为:12xlnxy二x2=e-1-x-ln(x+1)0二=lne=1解法二令u=x+1,则13.解将原方程分离变量dyylny=cotxdx=-(-xcosxsinxc)x四、应用题十c1.投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C(

19、x)=2x+40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为6C=”(2x40)dx=6(x+40 x)4=100(万元)又两端积分得通解为lnlny=lnCsinxCsinx2x 40 x 36=x 40 36 xC(x)解得又1210L (x)dx =121 (100 -10 x)dx2=(100 x - 5x2)1210=-20解彳导x = 3/50当产量由7百吨增加至8百吨时, 变量为(万元).设 A, 正确的是.设 A,11.线性方程组x1 + x2 = 1x1 + x2 = 0解的情况=

20、4_1-1 2，B =x0C(x)dxCoC(x)36八=1一=02x=6.=6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值.所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.已知某产品的边际成本CH(x)=2(元/件)，固定成本为0,边际收益R1r(x)=12-0.02x,问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？.解因为边际利润L(x)=R(x)C(x)=12-0.02x2=10-0.02x令L(x)=0,得x=500 x=500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为550

21、.L=so。(10-0.02x)dx=(10 x-0.01x=500-525=-25(元)即利润将减少25元.生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R(x)=100-2x(万元/百台)，其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？.解L(x)=R(x)-C(x)=(1002x)8x=10010 x令L(x)=0,得x=10(百台)又x=10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x=10是L(x)的最大值点,即当产量为10(百台)时，利润最大.即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.已知某产品的边际成本为C

22、(x)=4x3(万元/百台),x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.解：因为总成本函数为C(x)=(4x-3)dx=2x2-3xc当x=0时，C(0)=18,得c=18ax)=2x2-3x18又平均成本函数为C(x)18A(x)=2x3x令A(x)=2一18=0 x(百台)该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当x=3时，平均成本最低.最底平均成本为18c一一A(3)=2黑33+=9(万元/百3台).设生产某产品的总成本函数为C(x)=3+x(万元)，其中x为产量，单位：百吨.销售x百吨时的边际收入为R(x)=15-2x(万元/百吨)，求：(1)利润最大时的产量；(2)在利

23、润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？5.解：(1)因为边际成本为C(x)=1,边际利润L(x)=R(x)-C(x)=142x令L(x)=0,得x=7由该题实际意义可知，x=7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.82AL=j(14-2x)dx=(14x-x2)=1126498+49=-1即利润将减少1万元.第三部分线性代数一、单项选择题.设A为3父2矩阵，8为2父3矩阵，则下列运算中(AB)可以进行.设A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是(ABT)二A(B)TB为同阶可逆方阵，则下列说法(秩(A+B)=秩(庆)+秩).B均为n阶方阵

24、，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是(A-=I.设A是可逆矩阵，且A.AB三则A，=(I+B).设A=(12),B=(13)是单位矩阵，则ATB-I=.设下面矩阵AB,C能进行乘法运算，那么(AB=ACA可逆，则B=C)成立.设A是n阶可逆矩阵，k是不为0的414常数，则(kA)口=(A”).k120-3.设A=00-13,则r(A)24-1-3=(2).10.设线性方程组AX=b的增广矩阵通过初等行变换化为一1312610-1314,则此线性方0002-1-00000-程组的一般解中自由未知量的个数为(1)是(无解)12.若线性方程组的增广矩阵为-121A=|，则当九=(一)时121012线

25、性方养组无解.线性方程组AX=0只有零解，则AX=b(b#0)(可能无解).设线性方程组AX=b中，若r(A,b)=4,r(A)=3,则该线性方程组(无解).设线性方程组AX=b有唯一解，则相应的齐次方程组AX=O(只有零解).二、填空题.两个矩阵A,B既可相加又可相乘的充分必要条件是_A亘_B是同阶矩阵.计算矩阵乘乱一 TOC o 1-5 h z 302J|(011,则3-1-624.设A为mn矩阵，B为sMt矩阵，若ab与B&TB可进行运算，则m,n,s,t有关系式m=t,n=s TOC o 1-5 h z 102.设A=a03，当a=&时，23-1_A是对称矩阵.013.当a#3时，矩阵

26、A=|可_-1a逆.设A,B为两个已知矩阵，且IB可逆，则方程A+BX=X的解X-(I-B)A.设A为n阶可逆矩阵，则r(A)=n2-12.若矩阵A=402,则r(A)=20-33.若r(Ab)=4,r(A)=3,则线性方程组AX=b无解11.若线性方程组解，则 =-1x1 一 x2 = 0 x1 + ?x2 = 0有非零12设齐次线性方程组Am幻Xnx=0,且秩（A）=rn,则其一般解中的自由未知量的个数等于nr.齐次线性方程组AX=0的系数矩阵-1-123-为A=010-2则此方程组：0000_的-般解为=一2X3一人（其中x2=2x4x3,x4是自由未知量）.线性方程组AX=b的增广矩阵

27、A化成阶梯形矩阵后为 TOC o 1-5 h z 12010-|At042-110000d1则当d1时，方程组AX=b有无穷多解.若线性方程组AX=b（b00）有唯一解，则AX=0只有0解 TOC o 1-5 h z 三、计算题1021.设矩阵A=124,-311 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 21B=-13,求(2I-AT)B.：.03102.设矩阵A=I汽-20一212：1-61B=010,C=22,计：002_142_算BAT+C.-13-6-3I.设矩阵A=421).211一求A。012.设矩阵A=114,求逆2-10矩阵A.10-

28、2.设矩阵A=I,B3-20一3一=12,计算(AB-1.1一 TOC o 1-5 h z -116.设矩阵A=02,B：202-31计算(BA，-12_.解矩阵方建1-0- 7 一 。x3 制 J9.设线性方程组X1X3=2X2x2X3=02x1x2-ax3二b讨论当a,b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.设线性方程组J.x12x3-1一x1+x2-3x3=2,求其系数矩阵2x1f25x3=0和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.求下列线性方程组的一般解：x1+2x3x4=0-x1+x2-3x3+2x4=02x1-x2+5x3-3x4=012.求下列线性方程组的一般解：22x1-5x2

29、,2x3-3，x1+2x2-x3=32x1+14x2-6x3=12.设齐次线性方程组x1-3x22x3=02x1-5x23x3=03x1-8x2x3=0问，取何值时方程组有非零解，并求一般解.14.当取何值时，线性方程组x1+x2+x3=10-10-271001012100-130t0102-71-001012_-130所以A1=2-7-1610一2111-20-4-214-1-(ABI)1|-2110-214-101,01-20-111“!。121g1所以(AB-1=2工6.解因为-12-31BA=|00-12-2-5-31!42.(BA1|一2-3143即=|t34|-3-2所以，8.解:

30、251010-1PL-1PLo11-2212o1X=一431一11=一21L3H211因为131一O11.-5325X11似102-0113-所12-解12-910112-121-a神0124=A为因rj1oO-1-211为3因一111O1413-所以A-1=4-21-3/21-1/25.解因为AB1111T：01-3-2_1043T01-3-2210120T02-2-b_01-a-2b-11101201-T01-1-100-a1b3所以当a=1且b#3时，方程组无解;当a#1时，方程组有唯一解；当a=1且b=3时，方程组有无穷多解.10.解因为02-1102132T01-150_J11102-1-*01-110003j所以r(A)=2,r(A)=3