微分几何第四版习题集规范标准答案解析

1、.第一章曲线论 2向敬函数向量函数？（/）具有固定方向的充要条件是X产（/）=。分析：个向量函数大力一般可以写成广二的形式，其中网力为单位向量函数 丸（。为数量函数.那么改。风行固定方向的充要条件是双/）艮方固定方向，即列/）为常向量, （因为武/）的长度固定九证对于向量函数网。，设网f）为其单位向量，则武力二力（。式力，若手s具有固定方向, 则N（力为常向量，那么了。）=十（/） ?,所以，x7=几月（N X ） =6 .反之，若尸x尸=。.对手r入网力 求微商用尸=2 e + A 浮”于是尸二万 C X ） =6, RiJTl A =0或3xN=6 当AQ）=0时，*可丐任意方向平行事 当

2、入H 0时，有3 x那=6 ,而（？ x看,）*=露和-（? / ）*=箝,（因为/ 具有固定长, 1=0） *所以F=6,即为常向量.所以，丸Q具有固定方向.6,向量函数7Q）平行于固逆平面的充嬖条件是（尸尸尸）印。分析：向量函数穴。平行于固定平面的充要条件是存在 个定向向后次/），佻*/）方= 0 ，所以我们要寻求这个向城彳及万9尸，汗的关系.证若可。平行于固定平而叫 设方是平面算的个单位法向量，则）为常向量，且，（7） n -Q ,两次求微而得产F =。.产方=。，即向量匕 尸.尸唯直于同非零向盘次 因而共面，即（尸尸产）=0 0反之，若（亍产尸）=0,则有干乂尸=5或尸x7声5“若尸m

3、尸=鼠 由上题知网力 具有固定方向，自然平行1固定平面.若MX7丰0,则存在教母函教，）、*（/）,使尸= 入/“产 令方=7 乂户，则;5 H 6,且X/）上及f）.对）=7 乂 7（求徽商并耨式代入得另=7 乂 产，=fl （ 7 乂尹）=/J讥 于是9乂，= 6 ,由上题如有固定方向，而汽/） L彳，即7（，） 平行于固定平面“S3前线的概念1求圆柱螺段1=心05八F=siii，二二/在（L6 0）的切线和法平面口解 令 cos/二 L sin/= 0, X=o fl =o, ?p （0）= -sm/ cos/,1（ =Q.1J）,曲线在 （0,11）的切线为= J二三，法平面为y +

4、z=0 011乙求三次曲线r - flf. b. cP）在点Q的印线和法平面“解尸仆）二以2/3*3切线为匚也-三竺=二, 2M 3%法平面为 4一%） + 2%。，一 M） + 3*（二-闻）二 0。3.证明圆柱螺观，一 （ H COS/tiSilltA方。（史Y& y+乂）的切线和二轴作固定业。证明 产=f $ind , a cos6 , b 八设切线与工轴夹角为 .则coso-P 7T二一2二二一= 为常数.故3为定角（其中j为工轴的单位向静），klkl Jd + 1.求蚣旌线了=(/ , ffcosli U寸n 淤、从厂0起计算的弧长0解 产= 1 , siuh5 , | / | =

5、l + siuh / = cosh/ /9.求曲线r3 3/、2七一/在平面片？ 与二9&之间的孤长.解 曲线的向量表示为司=t三,U,曲面与两平面尸:与y = 9a的交点分别为 3疗 2r3 与 K：3a , 尸=1二 一，, | 广 | = J1 + 2L + 2L_ = 2L +,所求如 K为 2.rV -4 4.? a lx2 t y 二密切平面方程是。1 1二。,即工一厂xO ,2 0 2T + I，- E二 01一V主法线的方程是 即2:；F+ -=02 -1 I* *从切面方程是笈-，副法线方程式三二二o.解 由才=(。)8邑。，加产= p(0) cos。- p(fl)sinfl

6、 . p,(0)疝。+ p彻cos。H | r7=武力是球面曲线存在定点若（是球面中心的径矢）和常数R（是球面的半径）使 行一石产二 o 2任一%）,尸二0 .即行一石）,尸=0（ ）而过曲线予=/）上任一点的法平面方程为（石-刁,尸二0 .可知法平面过球面中心o （* ）成立“ 产= 3bL ,2匕1 +产产=6N/X/i*尸耳L0, par 】r 3 n r18/6(/+ 1)1r* x /J =1 X产-1-2a/u +1 r k -=-IPI127-2 0(/ 3,产+1_ (户，产，/)_18乂6/翼2_1一(人产) 一 18/ .2,+1)，- 3状 4 1)：8.已知曲线，二co

7、ssin。、cm2/,求基本向最出反落 曲率和挠率工验证 伏宙内公式分析这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向枇和曲率 挠率.我们也可以利用定义来求”解1产=-3cos3 /sin a3sin2 rcosr-2sin 2/ - sin rcosf-3eosSsin a-41 Fd* -5.4=| r(/) | 5sin /cos4 (设 sintcost0)i 则 a - - = cos/,sin 匕).小|尸|555. | - 尸0H悯，从先到。的曲线的弧长是 M Jp“O) + p西)，修.4空间曲线.求圆柱螺战tPCSL1七田酊口八 二-b/在任意点的密切平面的

8、方程.解 r= -asin 7t acos/t b),cosz, - a sm /10 所以曲线在任意点的密切平面的方程为*一bcos/ j -osiii/ 二一 bt/zsin / /tcos/ b 二 Q ,即(bsin/)芯-(bcos/)y+aw-&bt=。.-& cos / sin /0.求曲续了 = rsiiiz, tcosr, t e 左原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法 级、副法线。解 原点对应 t=0 ,严= sin/+tcos/, coE/-tsinrT,(0)- 2cos/ tcosZt cos/tsinz, 2+t2) *所以切线方程是三二。二三,法面方程是y

9、+工二0 ； 0 1 1.解 尸=-co5 asim, cos Ct cost,since ) . ?11= -cos Cf costt - costit sint , 0 = sinasint - inct cost t cos 新曲线的方程为F= 85 (X cosl + sind sint , cosG sint- sina cost , tsin Ct + cos Ct ) 对于新曲找尸=-castI sinL sin a cost t cos a cost+ sin a sintr sin a )=sin(a -t), cos( a - tT since ) ,7*,= -costa

10、 t)f mini。r), 0 其密切平面的方程是r-coscoszsinO-/)COS(7 ，)r - cos sin /COS(6T - /)sin(7- /)二 /sin 口叩 sinct siu(T- a ) x - sin Of cos(t-a)y + z$ui a0tsinacos a.证明曲线是球向曲绕的充要条件是曲线的所有法平由泄hl定点.证方法一 *= 设一曲线为 球面曲线.取球心为坐标原点,则曲线的向杆内。具有固定长.所以， 产=0,即曲线每 点的切线与其向柱垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也 就通过其始点球心.u若曲线的所有法平面通过定点,以此定点为坐标原点

11、建豆坐标系，则落户=0, A具有固定祗*对应的曲线是球面曲线.方法二j所以，曲线是球而曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点0.证明过度点平行于圆柱摞线了二值co, asiii/T b川的副法线的直线轨迹是锥面 / (/ + a =- -r = -4二 cog 10 ，3 = = sin /. cos aOJ ,ch as 5sni a cos/ 55, *.la) 一 b2.1正 产=1 -a sin /，口 cos/ , 产=-a cos/一 a sin / ,0 , rf x 产=-加-戾in/,/cos/a为副法级的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是- - -,消去参数t

12、得/(/ + /) %、 占 511】，一60$， a.求以卜曲面的曲率和挠率(】)r = 7 cosh At? sinh 八 af. r - 仪37 / ),3加1d3/ + ,)S a 0) Q解 7一 疝山 z frcosli工* 尸一疗cosh.asiuli.0) 尸一次缶iuh r, coslia0. TOC o 1-5 h z f 卜， i n 豆 尸 |42a2 cosh /1rxr = fff-suih ACOSll-1),所以#= _ , 二=二-I /-I (V2f7COsh,了 2/?cosh2 /_尸产。_,/_(rx?M)22，85h，2i7co5lr / #二|6匕

13、 y =-sin/-cosr,OJ ,由于7与。方向相25 sin /cosr 25sm/cos/.4反，所以r=IFI=25siuzcos/向显然以上所得/布上满足而二板土=一亩.而B _(cos A-sin /.0) -ra + ry 也满足伏甯内公式 .?$mzcosz9证明如果曲线的所有切线都好过的定点，则此曲线是立纨.证 方法：取定点为坐标原点隹坐标系，曲线的方程差为 = *，)，则曲线在任意点的 切线方程是户一汽/二秒(力，由条件切线都过坐标原点，所以网/)=尢尸(/),可她尸， 所以RJlffl司定方向，故M二户(/)是直线“方法二；取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为尸=武

14、外,则曲线在任意点的切线 方程是户-网。:犷0,由条件切线都过坐标原点,所以44 =犷(,)，于是产=九产. 从而产父尸=6,所以由曲率的计算公式知曲率k=Q,所以曲线为直线.方法三：设定点为石 ,曲线的方程为=网力,则曲线在任意点的切线方程是 p-r(j) = Aa(j) 由条件切线都过定点看,所以另一*(f)二2日(冷，两端求导得二&($)=力丘8) +斯瓦 即(，+1诙(。+；1| = 6 ,而戒,B无关，所以T+ 1 = 0， 可知2工。；.用(5) 0，因此曲线是直线.10正明如果此税的所行密切平面部经过的定点.，则此曲线是平面曲缘【,所以尸，尸,尸1共固，所以（尸严严” =明由提率

15、的计算公式可知r=0.故曲 线为平面曲纵 当为X产时是宜缘方法三：曲线的方程设为了一六由条件产3一口 .两边枳分得I夕是常数I因 入3二#是平面的方程,说明曲线7 =7S在平面匕即曲线是平面曲线，武产有冏定方向时 为宜找,12.证明曲率为常数的空何曲线的淋率中心的轨迹仍是明率为常数的曲线,i止明 没曲跟（C）： 3 =*酊的曲率为常也其曲率中心的翅边l 3 ；的力程为：p =+ - p（），成为曲线（C）的主法向信3 对于曲线 ?）两边做分得kp1 = a（j）+-（-Xw+ty） = -F.（&.八r分别为曲线（C）的单位切向量，砌法向量和13.证明曲线上二1+3计2/，产2-2计“、二1-

16、尸为平面曲线，并求出它所在的平面方程,.iiE Kf =3+4h - 2 +10i, -2t）.尸二4, 10. - 2）,7”=0* g 0 方法二： 闰=0,即（五点点）=0.曲线=可$）为 般螺线，-存在常向量第 使小善二常期所以五石=0疝,3二0一a，哀=0,所以口一五口共而,从而（a7S.a =05反 之，? ）=0,则日平行于固定平面，设固定平面的法人为落 则有*,7 = 0,从而限/二p（常数）.所以M = 为般螺线.赧二：曲线A导）为-般螺线 =存在常向量/使。_10, U|lg-E = 0og平行于 固定平面（以1为法向量的平面1 0,平竹 固定平面U色，乃=0方法叫* =

17、段7 =手为一般螺线,存在常向斌盾伙也自=常数，即；叱=常数，连 续次求做商得卞1=0,m1 = 0 .手竭=0 .所以戊臣为二。=因为不工*） = 0,所以”平行十固定平面，设固定平面的法矢为不常向城），则 a 1%、而B工二81所以的施为般螺线.10.证明一条曲堆的所宥切江不打ftLRIH都是另一条曲毅的切线.证 设曲线【匕对应点TT公集的切找.且的表达式为上手=五了）.则士 p = r（j） + Z（j） （j）./声0 ,技切向量为口七日 7日十九上日应与日产行.所以k- 。，从而曲线为直线,同理曲莲r为白浅，而II是与蜜令的九战.所以作为非n战的两条 不同的曲线不可碓白公共的切线，1

18、L设在两条曲线.的点之间速立了 对应关系.使它们在对应点的切线平行证明它 们在时应点的*法线以及副法线也见相平行.它们的挠率和曲率部成比例.因此如枭为 般瑞线则也为一股梯线.一 证设最后分别为曲线、的切向乱从6分别为曲线I，的主法向量，则由已知P(s)-p (y).而一(a a) - a a + a 布值+小松一jidsds(h，_JT_LMLA 土族后土位，的一二0 所以值方-总数.放两曲线的叼线件固定地 必i&苦曲线的主法线是曲线r的副法线.的曲率，挠率分别为kt.求证所以在L31);r k为整数处曲串半径录入18.已知曲线e r- z(t)上式4)的如近1点网 +型).求网/ + &)点

19、 到穴外)点的密切平面、法平面、从切平面的即离(没点汽了。)的曲缸 挠率分别为勺，1)。 TOC o 1-5 h z 解 司用一力 一亍(%) = r(y0)As + r(s0)Ay2 +-r(J0) + Aj3 = 23!应出+:。瓦总/+ (-#；&-#0瓦.。九十百)4/，设9一%+,氏十%八.K 26+ 血 & = 0 0 则 7(4 + Aj) ?(j0 ) 山fO=属 斗孙心力打6266上式中的三个系数的绝对值分别是点网q+ A#到网典)的江T而. 从切平面、密切千面 的距离5 般螺线5.证明如果所有密切平面垂直于固定直税，那么它是平面直线.证法一：当曲线的密切平面垂直干某固定宜线

20、时，曲残的副法向童声是常向显.即落6石五果曲线Js）为般螺缆.a .户为的切向星:和主法向量，R为的曲率 rK 证明：二Rt7-JB必也是“股蝇线证 M h 1为一-幄住.所以4。帛向因干为勺或固定环对十曲线JH川句 量江二才& +火父彼-B二松 与丘火技.因此也与非零常向量旨成固定角.册以也为 般螺 线.工 证明曲线;为股螺线的充要条件为限三乃二0证 r = Kp t r =-k2u + Kp - kt/, r - -jkkg + fct-）P + （2kr + 比斤（M= h?（2 jr 十日）一3式比丁 二 xht - a）=工、叱一=/（三），其中 kH 0./K曲线7 7为一般螺线的

21、充组条件为常数.即J。.也就是（r5r,r） = 0KK证 谈曲线”广与L =点建立一一对应，使它们对应点的切? TOC o 1-5 h z * 普1W一则逋当选择参数可使匝%)二日(了西端对，求做商得也;也一一即中(f) = #户(月，京里 d$d*右一匚0,所以白户，即主法线1”丁，从而六冷二六月.即两曲线的剧法线也平行.目 dsk = ic ,或占=叵.汽力=网”网必对弓求做商t? 一叭。=一出庵，于是r =rfs K r/s(hdsr ds MI K TK门年=1 , HT L 乂 *= _ jilt r 4 k7 ft f1曲面的概念r.求正螺面r = u cosv ,u sinv,

22、 bv 的坐标曲线.r斛 u-曲线为 r=ucosvo ,u sinvo,bv 0 = 0,0,bv0+u cosvo, sin Vo ,0,r为曲线的直母线；v-曲线为r = U0 cosv , U0 sinv,bv 为圆柱螺线.r.证明双曲抛物面r= a (u+v) , b (u-v) ,2uv的坐标曲线就是匕的直母线。r证 u-曲线为 r = a (u+v0) , b (u-v0) ,2u v0= avO, bv0,0+ ua,b,2 v。表示过点 a v0, b v0,0以a,b,2 v0为方向向量的直线；rv-曲线为 r = a ( u0+v) , b ( u0 -v ) ,2 u

23、v = auO, bu 0 ,0 +va,-b,2 u O表示过点(auO, b u0 ,0)以a,-b,2 uo为方向向量的直线。r.求球面r=acos sin , acos sin ,asin 上任息点的切平面和法线方程。解 r = a sin cos , a sin sin , a cos , r = acos sin , a cos cos ,0任意点的切平面方程为x a cosa sincosy a cos sinz a sina coscossina sina cossincosa cos0即 xcos cos + ycos sin + zsin法线方程为x a cos cosco

24、scosa cos sincos sinasinsin,，一，、一 x4.求椭圆柱面2a2 y b21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面2 y b21的参数方程为x = cos , y = asina sin,bcos ,0,rt 0,0,1。所以切平面方程为:a cosa sin0y bsinb cos00 , 即 x bcos + y asin此方程与t无关,对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面aa证ru1,0，=, rvu v5.证明曲面r u,v,一的切平面和三个坐标平面所构成的四面体

25、的体积是常 uv数。uv Qz 3 o3 a3a0,1, 2 0切平面万程为: uv与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2 一）uv于是，四面体的体积为:V 631u131v篇步是常数。 2曲面的第一基本形式 r.求双曲抛物面r= a (u+v) , b (u-v) ,2uv的弟一基本形式.解 ru a,b,2v, rv a, b,2u, E 2a2 b2 4v2,F ru rv a2 b24uv, G j a2 b2 4u2,错 误！ 未 找 到 引 用 源。2222_222222(a b 4v )du 2(a b 4uv)dudv (a b 4u )dv

26、 。 r.求正螺面r = ucosv ,u sinv, bv 的弟一基本形式，并证明坐标曲线互 相垂直。解ru cos v,sin v,0, rv u sin v,u cosv, b , E 2 1, F ru rv 0,G rv2 u2 b2,二 错误！未找到引用源。=du2 (u2 b2)dv2, 丁 F = 0 , 坐标曲线互相垂直。.在第一基本形式为 错误！未找到引用源。=du2 sinh2 udv2的曲面上，求 方程为u = v的曲线的弧长。解 由条件ds2 du2 sinh2 udv2,沿曲线u = v有du=dv ,将其代入ds2得 ds2 du2 sinh2 udv2 = co

27、sh2 vdv2 , ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上，从 v1 至|丫2的 v2弧长为 | coshvdv| |sinhv2 sinhv1|。 v1.设曲面的第一基本形式为 错误！未找到引用源。=du2 (u2 a2)dv2,求它上面两条曲线u + v = 0 ,u - v = 0的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 E 1, Fv 0,G u2 a2, 曲线u + v = 0与u - v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第

28、一类基本量为E 1 , Fv 0 , G a2。曲线u + v = 0 的方向为du = -dv , u - v = 0 的方向为6 u= 6 V ,设两曲线的夹角为,则有2 TOC o 1-5 h z Edu u Gdv u1 acos =,.2-。Edu2 Gdv2 0,消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.9.设曲面的第一基本形式为 错误！未找到引 用源。=du2 (u2 a2)dv2,求曲面上三条曲线 u = a v, v =1相交所成的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形(如图)所示。曲线围城的三角形的面积是0122S= u a du dvauaa1u2

29、 a2du dv0uaa1a22=2. u a du dv=2 (10u0aa2 du=2 / 2(u3a3a2)2 u .u2a2a2 ln(u .u2 a2) |02r 22a、ln(1 V2) or ，10.求球面 r=acos sina cos sin , a sin 的面积。解 r = asin cos , a sin sin , a cos , r = a cos sin , a cos cos ,0E = r2 =a2 ,F= r r = 0 , G = r2 = a2 cos2.球面的面积为：2S = 2 d a4 cos2 d 2 a2 2 cos d 2 a2 sin |2

30、4 a2.2022211.证明螺面 r =ucosv,usinv,u+v 和旋转曲面 r =tcos ,tsin , vt2 1(t1, 0)dt2 t2d ，在旋转曲 t2 1面上作一参数变换=arctgu + v , t=Ju2 1 ,则其第一基本形式为：22 u 1、 u 7 2/ 2(1 )du (u11)(-du1 udv)2= (u1)du2 u-du21 u22dudv (u21)dv2=2du2+2 dudv+( u2+1) dv2=错误!u u 1未找到引用源。所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu + v , t = 一 u2 1 .的曲面的第二基本形式r1.

31、计算悬链面r =coshucosv,coshusinv,u的弟一基本形式，弟一基本形式.解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0 ruu =coshucosv,coshusinv,0, 5 =-sinhusinv,sinhucosv,0,2.22.2rvv=-coshucosv,-coshusinv,0, E ru = cosh u, Fru rv =0, Grv =cosh u.所以错误！未找到引用源。=cosh 2 u du2 + cosh 2 udv2 .rurvn =2-.EG F2 cosh u coshu cos v

32、, cosh u sin v, sinh u sin v, coshucoshu 彳L= 1, M=0, N= =1 .sinh2 1sinh2 1所以错误！未找到引用源。, 2,2du +dv o.计算抛物面在原点的2x3 5x2 4x1x22x；第一基本形式，第二基本形式.解曲面的向量表示为r x1，x2，|x4.求出抛物面z -（ax2by2）在（0,0）点沿万向（dx:dy）的法曲率. 解 rx 1,0,ax）（0,0）1,0,0）, ry 0,1,by）（0,0）0,1,0,7 0,0,4，10,0,0） ryy 0,Qb ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向 d

33、x:dy 的法曲率 kn5. 已知平面 到单位球面(S)的中心距离为d(0d1),求 与(S)交线的曲率与法曲率.解 设平面 与(S)的交线为(C),则(C)的半径为1 d2 ,即(C)的曲率为1 、 、二- .k 1,又(C)的王法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于、1 d2 ,所以1 d22x1x2曷，rx1,0,5xi2x2(,。) 1,0,0 ,rx20,1,2xi2x2)(0,0)0,1,0,rXlXl0,0,5),rxE0,0,2 , rx2x20,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , 错误！未找到引用源。=dx2 dx

34、2 ,错误！未找到引用源。=5dx； 4dxdx2 2dx2 .r.证明对于正螺面 r =u cosv ,u sinv ,bv）,- oou,vooftftW EN-2FM+GL=0解 ru cos v, sin v,0, rv u sin v, u cos v,b , r盘 =0,0,0,2ruv =-uucosv,cosv,0,rvv =-ucosv,-usinv,0,Eru1 , F ru rv 0 ,222bGrv2u2 b2 , L= 0, M =/, N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .v22adx2 bdy2dx2 dy2,u b（C）的法曲率为knk Ji

35、 d 2 = 1 .利用法曲率公式kn ，证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基 I本量成比例。证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标（u,v）,沿任意方向du:dv 22, IILdu2MdudvNdv171LMN . 1.kn - 2F 或-,所以一一（一）,即第一、第一IEdu22FdudvGdv2RREFG R类基本量成比例。.求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。 r证明对于正螺面 r =u cosv ,u sin v ,bv,ru cos v,sin v,0, rv u sin v,u

36、 cosv, b , ruu=0,0,0 , rvv=-ucosv,-usinv,0L= (ru, rv, ruu)-=0, N= (ru, rv,rvv)-=0 .所以u族曲线和 v族曲线都是渐近线。而 uEG F2EG F2族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。.求曲面z xy2的渐近线.解曲面的向量表示为 r x,y,xy2,rx 1,0, y2, % 0,1,2xy, 7 0,0,0), rxy0,0,2y, ryy 0,0,2x, Erx214y4,Frx% 2xy2,Gr；14x2y2.L 0,M2y.1 4x2y,N2x11 4x2y渐近线的微分方程为Ldx2 2Mdxdy Ndy2,

37、即4ydxdy 2xdy2 0,一族为dy=0,即y a, a为常数.另一族为2ydx=-xdy,即lnx2y C2,或x2y c,c为常数.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C) 的主法向量所确定的平面，与曲线(C)的密切平面重合，所以每一条曲线(C)在它的主 法线曲面上是渐近线.方法二：任取曲线：r%),它的主法线曲面为S：r r(s,t)r(s) tr(s),rsr(s) t&(S) r t(rr)(1 t )r tr, rtIrs rtt r (1 t )rr r在曲线上，t = o , rs rtr,

38、曲面的单位法向量n 11s二r,即n r,.EG F2所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数，y=常数构成共腕网r证 曲面的向重表小为r =x,y, f(x)+g(y),x= 吊数,y二吊数是两族坐标曲线rrrrx 1,0, f , ry0,1, g . rxx0,0, f , rXy 0,0,0, 7 0,0, g ,因为Mr rrxy_rxyEG F20,所以坐标曲线构成共腕网，即曲线族x=常数,y=常数构成共腕网r.确止螺旋面r =u cosv,u sinv,bv上的曲率线.解rucos v,sin v,0, rv usin v,ucosv,

39、b ,ruu=0,0,0rvv =-ucosv,-usinv,0 ,ruv =-sinv,cosv,0,c 22Grvu2bdv21dudv du2220 u bb022.u b0,即 dv1，、，一，、一 1 du,积分得两族曲率线方程:u2 b2v ln(u Ju2 b2) g 和v ln(vu2 b2u)C2.12.求双曲面z=axy上的曲率线22 22y ,F a x y,G2 2a2x2,L 0,M1 a2x22 2 ,N=0. a ydy2221 a xdxdy2 22a x ya22221 ax a ydx22a x=0 得(1 a2 y22)dx (1a2x2)dy2 ,积分得

40、两族曲率线为ln(ax .1 a2x2)ln(ay , 1 a2y2)c.b2222222(a b u )dv (abv )du ,积分得：ln(u. a2b2 u2) ln(v14.给出曲面上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成 , L=0, M= j , N=0,曲率线的微分万程为：,u2 b2上的曲率线的方程.13.求曲面 r|(u v),b2 (u v),2-22,22220,解 E a b v ,f a b uv,G a b u ,L 444abM= ,2N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是, EG F定角，求证L是一平面曲线.证法一：因L是曲率线，所

41、以沿L有dnndr,又沿L有？ n 二常数，求微商得 n - n 0,而n/dn / dr与 正交,所以 n 0 ,即-n =0,则有 =0,或n =0 .若=0,则L是平面曲线；若 n=0 ,L又是曲面的渐近线，则沿L , n=0 , 这时dn=0, n为常向量，而当L是渐近线时， =n ,所以 为常向量，L是一 平面曲线.证法二：若n ,则因n dr II r ,所以n II ，所以dn II &,由伏雷r rr内公式知dn II ()而L是曲率线，所以沿L有dn II r ,所以有 =0,从而曲线为平面曲线；若 不垂直于n,则有？门=常数，求微商得&rr & 0,因为L是曲率线， 所以沿

42、L有dn II dr ,所以r & 0 ,所以 n 0 ,即-n =0 ,若=0,则、一一.一.一 rr .r rr问题得证；否则n =0 ,则因n 0 ,有n II , dn II d | (-) |,矛盾。.如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量 成定角，由上题结论知正确。.求正螺面的主曲率。r解 设正螺面的向重表小为r =u cosv,u sinv,bv.解u cos v,sin v,0, rv u sin v,u cosv, b , r“=0,0,0，rvv =-ucosv,-usinv,0,ru

43、v =-sinv,cosv,0,rv 0 ，22,2Grvu b,L= 0, M =b,N = 0,22,u b代入主曲率公式(EG-F2) N(LG-2FM+ENN + LN- M 2 = 02徂2- a付 N 22T2(u a )所以主曲率为17.确定抛物面z=a( x2y2)在(0, 0)点的主曲率.rr99 rr斛 曲面方程即 刖0,0, 2a , r x, y,a(x y ) , & 1,0, 2ax q 0,1,2ay),rrrrxx (0,0, 2a , rXy 0,0,0,乐(0,0, 2a。在(0, 0)点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以2

44、-4a N +4a2=0 ,两主曲率分别为1 = 2 a ,2 = 2 a .证明在曲面上的给定点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证曲面上的给定点处两主曲率分别为1、2 ,任给一方向及与其正交的方向+/2 ,则这两方向的法曲率分别为n( )1 cos22 sin2,n(2)1 cos2(2)2 sin2 (/2)1 sin22 cos2, 即n( ) n(4)12 为常数。.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数,即渐进方向为21=2 1为常数，所以为1为常数，即证由 ni cos22 sin2 得 tg2i arctg , 2 =- arctgJ，.又-2 + ；2.2为常

45、数. 2.求证正螺面的平均曲率为零.证由第3题或第16题可知.求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率.证 在点 x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=-LG2FM2-NE- 0,2(EG F2)2“ LN M 2K = 2- =- a .EG F2.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点. TOC o 1-5 h z 证法一： 由H=2=0有 尸2=0或1=- 20 .2若1= 2=0，则沿任意方向，n( )1 cos22 sin 2 =0 ,即对于任意的22IILdu2MdudvNdvdu:dv , kn - 22- 0 ,所以有 L=M=N=

46、0,t应的点为平点.IEdu2 2Fdudv Gdv2若 产- 20,则K=1 20，即LN-M2 0 ,G 0 , 所以 LN 0。若 LN M 2 =0,则 L = M = N=0，曲面上的点是平点，若LN M 2 a 0 , b+acos 0,所以 LN - M 2 的 符号与cos的符号一致，当0& /和3- 0 ,曲面上的点 为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-/ 3-,曲面上的点为双曲点，即圆环面内侧的点为双曲点；当=/2或3时，LN - M 2=0,为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。.若曲面的第一基本形式表示为I 2(u,v)(du2 dv2)的形式，则称这个曲

47、面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面 r g(t)cos ,g(t)sin ,f(t)上存在等温 网。证 旋转曲面r g(t)cos , g(t) sin , f (t)的第一基本形式为2 f 20 2 f 2Ig2(t)(-一2一dt2 d 2)，做参数变换u -出，v=，则在新参数gg下，I g2t(u)(du2 dv2),为等温网。.两个曲面Si、S2交于一条曲线(C),而且(C)是&的一条曲率线，则(C) 也是S2的一条曲率线的充要条件为Si、S2沿着(C)相交成固定角。两个曲面&、S2交于曲线(C), Q、1分别为Si、S2的法向量，则沿交 线(C), n1与n2成固定角的充要条件为

48、n七2=常数，这等价于d(n1七2尸0,即rd】 g + x dn2=0，而(O是S的一条曲率线，因此d”与(C)的切向量dr共线，贝与 n2 正交，即 dn1 n2=0,于是 n1 dn2 =0,又 dn2，n2，所以 n1 d n2 = dn1 -n2=0 r的充要条件为dn2 d r,即(C)是S2的曲率线。.证明在曲面(S)上的一个双曲点P处，若两条渐近线都不是直线，则它们之 中，一条在点P的挠率是K,另一条在点P的挠率是-=,其中K是(S)在P 点的高斯曲率。证曲面在双曲点P处，有两条渐近线过点P,沿渐近线有n= ，且II=0 ,于是有 dn= d . WJdn2 d 2 III 2

49、HII KI KI ,即 d 2 Kds2,或()2K ,所以有()22 K,v,，-K ods.证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。证 设给出的曲面(S): r=r(u,v)上的点r (u,v)与(u,v) D内的点一一对应, 其球面像上的点为n=n(u,v),由于nu nv k(ru ,所以|nu nv | k |ru rv | =|LN M 2 |.EG F2,当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M20,则nunv说明球面像上的点n(u,v)与区域D内的点对应，因此曲面(S)上的点与球面像上的点对应4 r zr*s- （r + 一合二9 qk er 2?io.将

50、圆柱螺线下二（mo. asm/, b/化为自然参数去示.解 尸= -a sin /, a cos/, b） , s = 1 | 声融=、上 + 办/+ 所以/ = rk +/jJPffS代入原方程得 7=acos-=iasiii -：.,）J/S J/ + ，#+ IL求用极坐尿方程。二H8）给出的曲践的弧长麦达式。1 1 -13.证明圆柱螺线mcow, yqsiu/，二-br的主法线和工轴垂直相交.uE r= -asin ?! acos/, b. ?T=-acos/f - a&ill 0 r 由尸 1 严知尸为主法线的 方向向量.而产0所以主法线与轴垂直;主法线方程是y - /jcos/ r

51、- rfsiii r - bt * cos/ sin /0与z岫行公共点用,d bt) n故限柱蟀线的主法线和工轴垂直相交.4.长曲线工_ cos0( cost , y = cos4X sint , 2:tEintt的副法线的lE向取单位.氏,求其 端点组成的新曲线的密切平面.W r1 = -Gosa Sint, cos a cosu sina “ T- -cos a cost, - cosct sint. 0)1 疝 M 1/一 3 n - a f .一 _ -14 .3y - a x p - cos 工sm /、,证 方法v取定点为坐标器点建坐标系，曲线的方程设为手= 网/则曲线在任意点的 密切平面的方程是(0-网。)(尸乂产S)=o,由条件-川/卜任k尸)o*即 ?)=0,所以尸平行于一固定平面，即7 = 7是平面曲线方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设