数列地综合应用

1、第十六节数列的综合应用自主反馈1已知正项等差数列an满足：an1an1a2n(n2)，等比数列bn满足：bn1bn12bn(n2)，则log2(a2b2)()A1或2B0或2C2D1解析：选C由题意可知，an1an12anan2，解得an2(n2)(由于数列an每项都是正数)，bn1bn1b2n2bn(n2)，所以bn2(n2)，log2(a2b2)log242.anm(m为正整数)，a2，当an为偶数时，若a1，2已知数列an满足：a1n163an1，当an为奇数时.则m所有可能的取值为()A4,5B4,32C4,5,32D5,32an，当a为偶数时，解析：选Ca2n注意递推的条件是an(而

2、不是n)为偶数n13an1，当an为奇数时，或奇数由a61一直往前面推导可得a14或5或32.3在等差数列an中，a12，a36，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_解析：由题意知等差数列an的公差da3a1x，22，则a48，a510，设所加的数为依题意有(8x)2(2x)(10 x)，解得x11.答案：114某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_解析：设每天植树的棵数组成的数列为an，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得212n100，即2n

3、51，122532,2664，nN*，所以n6.答案：615已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2，数列bn为等比数列，且首项b11，b48.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnabn，求数列cn的前n项和Tn.2当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.n1时，a1S11亦满足上式，故an2n1(nN*)又数列bn为等比数列，设公比为q，3b11，b4b1q8，q2.bn2n1(nN*)(2)cnabn2bn12n1.Tnc1c2c3cn(211)(221)(2n1)n12n212(222)nn.所以Tn2n12n.考向一等差数列与等比数列的综合问题【典例1】(2

4、016XX模拟)已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,bn-an是等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)求数列bn的前n项和.【母题变式】21.若本例题条件“bn-an是等比数列”变为“bn-an是等差数列”,其他条件不变,求数列bn的通项公式.2.若本例题条件“b1=4,b4=20,且bn-an是等比数列”变为“an+2an-1=bn1”,求数列bn的通项公式.【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比

5、)等,确定解题的顺序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.【变式训练】(2016XX模拟)已知等差数列an的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则=()A.2B.3C.5D.6a1a5a9a2a3【加固训练】1.等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比q为()A.-2B.1C.-2或1D.2

6、或-132.(2016XX模拟)已知数列an是公差大于零的等差数列,数列bn为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)设cn=anan+1,求数列1的前n项和T因为d0,所以d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=22n-1=2n,an=2n-1(nN*),bn=2n(nN*).4考向二数列中的图表问题【典例2】(1)(2016XX模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:12345678910按照以上排列的规律,第n行(n3)从左向右的第3个数为_.(2)(2016XX模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依

7、次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4求数列an,2的通项公式.【解题导引】(1)求出第n行(n3)从左向右的第3个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.(2)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q0),a2,3=qa1,3=q(1+2d)?q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)?q2(1+d)=8,解得d=1,q=2.

8、a1,2=2?an,2=22n-1=2n.【规律方法】数列中常见的图表问题及解题关键(1)分组型:数列的通项公式已知,将其按照一定的规则排列而成.解决这类问题的关键是找出5图表或数阵中的项在原数列中的位置.(2)混排型:图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列.解决这类问题的关键是找出各个数列,将所求问题所在行或列的基本量求出.(3)递推公式型:图表或数阵是按某种递推关系得到的,解决这类问题的关键是求出递推公式,再由递推公式求出通项公式.【变式训练】(2016XX模拟)下面给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列数为ai

9、j(i,jN*),则a43=_.141，433，816【加固训练】11.(2016模拟)已知an=()n,把数列an的各项3排列成如下的三角形形状.a1a2a3a4a5a6a7a8a9记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=()A.(1)93B.(1)9233C.(1)94D.(1)1123362.(2016XX模拟)正整数按下列方法分组:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组:03,33333331,1,2,2,3,3,4,记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn,则An+Bn=_.【解

10、析】由题意知,前n组共有1+3+5+(2n-1)=n2个数,所以第n-1组的最后一个数为(n-1)2,第n组的第一个数为(n-1)2+1,第n组共有2n-1个数,所以根据等差数列的前n项和公式可得3.(2016XX模拟)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,构成的数列为bn,b1=a1=1.Sn为数列bn的前n项和,且满足2bnbnSnSn2=1(n2).(1)证明数列1成等差数列,并求数列bn的通项公Sn.(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同

11、一个正数.当a81=时,求上表中第k(k3)行所有项的和.4917考向三数列的实际应用问题【典例3】(2016日照模拟)某大学X教授年初向银行贷款2万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?【规X解答】设每年还款x元,需10年还清,那么各年还款利息情况如下:8第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清;第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元;数列模型基本特征第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+1

12、0%)2元;第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9元.10年后应还款总数为20000(1+10%)10.【一题多解】第1次还款x元之后欠银行20000(1+10%)-x=200001.1-x,第2次还款x元后欠银行220000(1+10%)-x(1+10%)-x=200001.1-1.1x-x,【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表:9等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推指数增长的同时又均匀减少.如年收

13、入增长率为20%,每年年底要拿数列出a(常数)作为下年度的开销,即数列an满足an+1=1.2an-a(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.易错提醒:解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求an还是Sn,特别是要弄清项数.【变式训练】某市2015年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%

14、.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2015年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的45比例首次大于85%?(参考数据:1.081.36,1.0861.47,1.081.59)答:到2024年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房的面积构成数列bn,由题意可知,bnn-1是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=4001.08.250+(n-1)504001.08n-10.85.n=5时,a50.8

15、5b6,即满足上述不等式的最小正整数n为6.答:到2020年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【加固训练】1.(2016XX模拟)X丘建算经卷上第22题为:今有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织10相同量的布,若第1天织5尺布,现在一月(按30天计)共织390尺布,则每天比前一天多织_尺布.()A.1B.8C.16D.1621529312.某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污.现以降低SO2的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨,已知该城市2011年

16、SO2的年排放量约为9.3万吨.(1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨?(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召,决定加大减排力度.在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p,为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内,求p的取值X围.(参考数据：82920.9506，0.9559)33答:按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO2约为43.5万吨.11答:SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值X围为(4.94%,1).考向四数列与函数、不等式的综合问题【考情快递】【考题例析】命题方

17、向1:数列与函数的综合问题【典例4】(2014XX高考)设fn(x)=x+x2+xn-1,nN,n2.12命题方向2:数列与不等式的综合问题【典例5】(2014全国卷)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明1是等比数列,并求an的通项公式.an2(2)证明:1113.a1a2an2【技法感悟】131.解决函数与数列的综合问题的基本思路数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点;因此可考虑借助数形结合的思想思考数列问题.(2)可将数列问题转化为函数问题,借助函数的知识,如单调性、最值来解决.2.数列中不等式的处理方法(1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关

18、于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.(2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.(3)比较方法:作差或者作商比较.【题组通关】1.(2016XX模拟)已知等比数列an的首项a1=2014,公比为q=12,记bn=a1a2a3an,则bn达到最大值时,n的值为()A.10B.11C.12D.不存在2.(2016XX模拟)已知函数f(x)=3ax3(x7),x6a(x7),*若数列an满足an=f(n)(nN),且an是递增数列,则3.(2016滨州模拟)已知数列an的前n项和为Sn,a1=*(1)求数列an,bn的通项公式.(2)是否存

19、在正整数n,使得a1b1+a2b2+anbn60n?若存在,求出n的最小值,若不存在,请说明理由.【解析】(1)a1=1,an+1=2Sn+1,所以当n2时,an=2Sn-1+1,相减得:an+1=3an(n2),又a2=2a1+1=3,所以a2=3a1,14所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列,an=3n-1.b2=b1+d=5,所以b1=3,bn=2n+1.(2)anbn=(2n+1)3n-1,Tn=a1b1+a2b2+anbn=31+53+732+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,-得:-2Tn=32

20、n-1n1+2(3+3+3)-(2n+1)3,所以Tn=n3n,所以n3n60n,即3n60,当n3时,3n60,所以存在n的最小值为4.课时提升作业1.(2014高考)设an是公比为q的等比数列,则“q1”是“na为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.当a11时,an是递减数列;an为递增数列时,a10,0q0,q1.因此,“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件.【加固训练】(2016XX模拟)在公差不为0的等差数列an中,2a3-+2a11=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b6b8=()A.2B.4C

21、.8D.16【解析】选D.因为a是等差数列,所以a+a=2a,所以2a3-+2a=4a-=0,解得a=0n31171177或4,因为b为等比数列,所以b0,nn所以b=a=4,bb=16.77682.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+f(2n)等于()A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)【解析】选A.由题意可设f(x)=kx+1(k0),则(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+f(2n)=(22+1)+(24+1)+(22n+1)=2n2+3n=n(

22、2n+3).3.(2016聊城模拟)已知a,1,c成等差数列,a2,1,c2成等比数列,则log(a+c)(a2+c2)=()A.1B.1或log26C.3D.3或log2615【解析】选B.由条件得ac=1,所以log(a+c)(a2+c2)=log2(4-2ac)=1或log26.4.(2016XX模拟)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小的一份为()A.B.C.D.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d0),则(a-2d)+(a

23、-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20,(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,解得d=,所以最小1份为a-2d=20-=.5.(2016XX模拟)已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则+等于()A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则+=2.【一题多解】解答本题,还有以下解法:特殊值法:选C.因为a,b,c成等比数列,所以令a=2,b=4,c=8,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则m=3,n=6,因此+=+=2.6.已知数列an满足3an+1+an=4(n1),且a1=9,

24、其前n项和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n的值为()A.5B.6C.7D.816【解析】选C.由已知式子变形得3(an+1-1)=-(an-1),则an-1是以8为首项,-为公比的等比数列,则nnn-1-1+1=6250,故满足条件的最小整数n的值为7.7.(2016XX模拟)学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A菜的,下星期一会有20%改选B菜;而选B菜的,下星期一会有30%改选A菜,用a表示第n个星期一选A菜的人数,如果a=428,则a的值为()n14A.324B.316C.304D.302【解析】选B.依题意有:a=

25、a+(500-a)=a*nn-1n-1+150(n2,nN),n-1即an-300=(an-1-300)(n2,nN*),an=128+300,因此a=128+300=316.4【加固训练】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(单位:万件)近似地满足Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,12).按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是()A.5月,6月B.6月,7月C.7月,8月D.8月,9月【解析】选C.设第n个月的需求量为a,因为从年初开始的n个月内累积的需求量为nSn(n=1,2,3,12).所以当n2时,an=Sn-Sn-1=(21n-n2

26、-5)-21(n-1)-(n-1)2-5=(-n2+15n-9).当n=1时,a1=S1=,适合上式,综上可知,an=(-n2+15n-9).n2解得6n1.5,即(-n+15n-9)1.5,所以n=7或n=8.8.已知数列an为等差数列,a1=1,公差d0,a1,a2,a5成等比数列,则a2016的值为.【解析】由已知得=a1a5,所以(1+d)2=1+4d,d=2,所以a2016=1+20152=4031.答案:4031179.(2016滨州模拟)在等比数列an中,0a11,+=(a1+a2+an)-=-0,化简得q-3q4-n,则-34-n,n7.答案:710.(2016XX模拟)设数列

27、an满足a2+a4=10,点Pn(n,an)对任意的*nN,都有向量=(1,2),则数列an的前n项和Sn=.【解析】由题意可知,Pn+1(n+1,a),n+1所以=(1,an+1-an)=(1,2),所以an+1-an=2,所以数列是以2为公差的等差数列,又a+a=10,所以a=1,a=2n-1,S2n=1+3+(2n-1)=n.241n答案:n211.(2016XX模拟)如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项(如表所示),按如此规律下去,则a+a+a=.201720182019aaa3a4aa6a7aa

28、9a10a11a121258x1yx2y2x3y3x4y4x5y5x6y61解析】a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4等,这个数列的规律是奇数项为1,-1,2,-2,3,-3,偶数项为1,2,3,故a2017+a2019=0,a2018=1009.答案:10091812.(2016XX模拟)已知数列与满足:a1+a2+a3+an=log2bn.若为等差数列,且a1=2,b3=64b2.nn(1)求a与b.(2)设cn=,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)由已知得:a+a+a=logb,12323a1+a2=log2b2,-得,a3=log2=6,

29、因为a1=2,所以公差d=2,n所以a=2n,12n2n即2n因为a+a+a=logb,=logb,nn(n+1)所以b=2.(2)由题意得cn=(3n+1)4n-1,Tn=4+74+1042+(3n+1)4n-1,23n4Tn=44+74+104+(3n+1)4,-得:-3T=4+34+32n-1n4+34-(3n+1)4,n-3Tn=4+3(4+42+4n-1)-(3n+1)4n,-3Tn=4+3-(3n+1)4n,整理得:Tn=n4n(nN*).13.记公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,S3=9,a3,a5,a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式an及Sn.(2)若c=n+a

30、,n=1,2,3,问是否存在实数,使得数列c为单调递增数列?若存在,请n2nn求出的取值X围;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)设公差为d,构造方程组求出a,d,进而可求a,S.(2)利用cn+1-c0恒成立1nnn求解.【解析】(1)设公差为d,由S=9,=aa,33819得:解得:a1=2,d=1.所以an=n+1,Sn=+n.2(2)由题知cn=n+(n+1),若使cn为单调递增数列,则cn+1-cn=(n+1)2+(n+2)-n2+(n+1)=2n+1+0对一切nN*恒成立,:-2n-1对一切nN*恒成立,又(n)=-2n-1是单调递减的,所以当n=1时,(n)max=-3,所以

31、-3.【加固训练】(2016XX模拟)已知单调递增的等比数列an满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式.(2)若b=alon+1成立的正整数n的最小值.a,S=b+b+b,求S+n262nnnn12nn【解析】(1)设等比数列an的首项为a1,公比为q,依题意,有2(a3+2)=a+a,代入a+a+a=28,24234可得a3=8,所以a2+a4=20,所以解得或又数列an单调递增,所以q=2,a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n.nnn(2)因为bn=2lo2=-n2,所以Sn=-(12+222+n2n),23nn+12Sn=-12

32、+22+(n-1)2+n2,两式相减,得Sn=2+22+23+2n-n2n+120=2n+1-2-n2n+1,n+162,即2n+1所以S+n2-262,n2n+164=26,所以n+16,从而n5,故正整数n的最小值为6.所以使Sn+n2n+162成立的正整数n的最小值为6.14.(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n2).求证:+-.【证明】因为an=-2SnSn-1(n2),所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1(n2).两边同除以SnSn-1,得-=2(n2),所以数列是以=2为首项,以d=2为公差的等差数列,所以+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.Sn=代入an=-2SnSn-1,an=因为=(n2),=,所以当n2时,+=+,nN*,所以当n2时,=.即Tn,n2.又当n=1时,T=成立,1综上,当nN*时,Tn成立.【新题快递】1.【2015高考XX，文10】已知an是等差数列，公差d不为零若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1，d【答案】2,13【解析】由题可得，(a12d)2(a1d)(a16d)，故有3a12d0，又因为2a1a21，即3a1d1，所以d21,a.132.【2016高考XX文科】（本小题满