斜率公式在解题中的妙用

1、斜率公式在解题中的妙用在高中数学中已知两点A(x , j ),B(x , j )求直线AB的斜率可以用斜率公式k = 1 2来计1122AB x X算，在数学的解答过程中，如果能够恰当地使用这个公式，把它转化为一个几何图形，1化为一个动 点和一个定点，根据动点的变化来形象、具体地对问题进行描述，从而可以直观地看到问题的本质， 对我们的解题起到事半功倍的效果。一般来说，斜率在高中数学中的应用主要有以下几个方面：【题型1】应用斜率进行求值域及最值【例1】函数J =2slnx的最值。+ cos x【分析】这是一个比较常规的问题，通常在教学过程中就会指导学生采用数形结合的方式，把问题 =2 slnx变

2、化成 = _s。x看成动点(cosx,sln x)与定点(2,2)之间的直线的斜率问题，通2 + cos x2 ( cos x)过动点的轨迹是一个圆心在坐标原点的单位圆，转化为圆上一点与定点(2,2)之间的斜率的变化趋势j 2 = k (x 2)x 2 + j 2 = 1来说明问题。通过对形的分析可以马上得到相切时达到最值。【解析】由题设直线j 2 = k (x 2)与圆x 2 + 2 =1相切，则联立方程. = 4k2(2 2k)2 4(1+ k2)(4k2 8k + 3) = 0,3k2 8k + 3 = 0,二 k = 4士,二函数 j = 2 皿x 的2+cosx日 m- st 4 +

3、 v 7 日.，、口 4 、7 最大值为 c ，最小值为33_. _ .x 5【例2】求函数j =x时，有 TOC o 1-5 h z 1212f (X ) ( ”,” = 1或 1或=1即可，让b无限接近于a时， a - b则 K = | f (x)| = = 1| f (a) - f (b)| |a -b|。1 + x 2 2 x【例5】 已知函数y = f (x)与j =的图象关于直线x = 1对称，g(x) = f (x) + ax(x - 2)2 +1求函数y = f (x)的解析式；若g(x)在-1,1上为增函数，求实数a的取值范围；若 x ,x e-1,d,x 丰 x，求证 |g

4、(x ) g(x ) 0 在-1,1上x 2 + 1x 2 + 1(x 2 + 1)2成立，求出a 0 ；由于x。x，若能证明g-gI%) 2 + |a|即可，即相当于g(x)在-1,1上的|g，(x)| 2 + |a|。1 2*-可【略解】在-1,1上，|g (x)|= 2x + a |2 + a| b c 0，试判断地,胜,也的大小关系。2a b c【分析】本题在明确函数关系式的情况下确是对未知量的大小关系的比较，实质反应的是对结论成 立的一般化说明。这就要求我们对问题要有个比较清醒的认识：函数明确，图象易得，要能在图象 上发现问题的关键，同时会对未知的结论进行处理，如业 =f (a) -

5、0，这就成了 f (x)上点a a 一 0(x, f (x)与定点(0,0)的斜率问题，图象上一添辅助线就一目了然。【略解】4 些 an(n e N*)，则该函数的图象是下列哪个图象？【分析】由a = f (a )及a a可以得到f (a ) a，而(a , f (a )在y = f (x)图像上，则由n+1nn+1nn nn na a可以得到气) 1 n ,队)- 1，于是转化为函数y = f (x)上任一点(x, f (x)与定点n+1 naa 一 0(0,0)连线的斜率大于1，从而选第一个图象。从以上几种类型的探究可以看到，解决数学问题的时候，我们要学会对问题进行深层次的挖掘，去 探讨给出问题的背景，发现问题给出的几何原形，利用数形结合的方式，比较简单，更加深刻地解 决和理解问题，这