最佳更新年限

1、最佳更新年限问题的提出在工厂里，若机器更新过早，其生产潜力未能充分发挥，就会造 成浪费；若机器更新过迟，老机器生产效率低，维修、损耗费用大， 也会造成浪费。因此，特别需要确定机器使用的最佳年限，或者说是 确定机器更新的最佳年限。讨论与分析1、某种机器的成本费并不是消费在最后一年，一般来说应该平 均分摊在各年之中。机器使用的年限越长，每年平摊的成本费用就越 少。2、机器的维修、损耗费用（我们称为低劣化值）一般来说应该 是逐年增加的。这里就会有“逐年的维修损耗费”，“最后一年的维 修损耗费”，“总维修损耗费”，“平均分摊的平均维修损耗费”等 几个相应概念需要弄清。3、作为工厂来讲，每年的消耗费用就

2、会由两部分组成，一部分 是机器成本消耗费，另一部分就是机器的维修、损耗费。机器的最佳 更新年限应该是使每年平均消耗费用最低的年限。即：平均分摊的年均消耗费二平均分摊的成本费+平均分费的 年均维修损耗费机器最佳更新年限=机器的平均分摊的年均消耗费用最低 的年限。补充知识1、设aN0, bN0,则有n 应，当且仅当a=b时，等号成 立。（此不等式称为平均值不等式）2、设 a0,b0,当ab为定值p时，a+b有最小值2际时，当a=b时，取得最 小值；当a+b为定值s时，ab有最大值仔）,当a=b时，取得最大值。建模实例例1： 一台机器价值为10万元，设备维修、消耗每年以1000元 增加，假定这台机器

3、经过若干年使用之后，余值为0，问这台机器更 新的最佳年限是多少？分析：机器的余值为0，指的是机器应该报损更新。这里求的最 佳更新年限就是使每年平均消费最低的时间。解：设平均每年机器消耗的总的费用为y(元)，使用年限为x,则1000 + 1000 X 2 + 1000 X 3+-lOOxx 105疗x+v100(1+ 2+3+ + x) | 1Q5XX= 500(x+l) + = 500 x+ + 500 2500 * + 500 = 10000 显 + 500当且仗当500 x=如，也就是尸=洒/= 107201上式取等号取捐= 1.414,.工=14.14由于X为使用的最佳年限，故这台机器需

4、使用14年后更新。例2：某种汽车：购车时费用为10万元每年应交保险费、养路费及汽油费合计9000元汽车的维修费平均为：第一年2000元，第二年4000元，第 三年6000元，依等差数列逐年递增问：这种汽车使用多少年报废最合算？并分析A、B、C三笔费用 对使用时间的影响。分析：要求汽车使用多少年报废最合算，实际上是求使用多少年 的年平均费用最少，这需要建立年平均费用(s)和使用年数(n)的函数 关系式。解：设使用几年报废最合算，则年均费用：s = (0.2 + 0.4 + 0.6 + + 0.2 x) + 0.9x w + 10 建=1 0.2x+l)+10+0即 2=0.1 x (择+ 1)

5、+ + 0.9=0.1 x 3+ + 1 2 + 1 = 3当且仅当0.1 = ?即件1 口时取等号.汽车使用10年报废最合算，年平均费用为3万元。A、B、C三项对使用时间的影响如下：购买费用越高，使用时间越长；为一常量，不影响使用时间；维修费用递增越快，使用时间越短。建模练习1、一种设备的价值费为a元，设备维修、消耗费用第一年为b 元，以后每年增加b元，若t表示设备使用年数，设备年平均维修、 消费费用与设备的年平均价值费用之和为y元。当a=450000,b=1000 时，求这种设备的最佳更新年限。2、某厂花费50万元买回一台机器。这台机器投入生产后每天要 付维修费，已知第x天应付的维修费为(x-1)+500元。机器从投 产到报废共付的维修费与购买机器费用的