有限元例题及答案

1、图8-4弹塑性杆例8-1：E, A, L, s杆I弹塑性；杆II弹性。求F = 3如下2点位移。S 解：（1）理论解在荷载F = 3Ao作用下，杆I屈服而有内力 （拉力）N=A s，杆II内力（压力）为 N = 2A。，中点2位移6取决于杆II的变形，E =（2 曲 S）L = 2 o =26ii AEE式中6*=是（屈服位移）（2）直接迭代法杆I和杆II的刚度分别为EA/SZ 、(5S*) L * (5)5*), EA k =iiL迭I迭代步迭代从8 =8*开始，这时有 0EA3 Ab s EAK = k + k 28 = K -1F = 2 EA = 1.5 s = 1.58 *10E第2

2、迭代步杆I进入塑性，有空=0.67 E*十L杆11完全弹性，刚度不变。因此，总刚为EA+ k 1.67 l8 = k -i F = : = = 1.8 b sL =1.88*2 i 1.67 EAEL整个迭代过程见表8-1。表8-1直接迭代法各次迭代结果迭代止步1234567K（5 n -1） EA2.001.671.551.521.511.501.50l5n1.501.801.931.981.992.002.005T(3)切线刚度法杆I和杆II的切线刚度分别为r曲k _ r M (55*)7 EAk0()*广方第1迭代步初始状态时，=0，杆I，I中应力、应 变均匀为零。总刚为：KT1 = k

3、TI + kT2 EAT由甲=K8-F，得V = -3 Ab0s由 AS =-K-V 得，nTn nc1一AS0 = - 2所（3Abs） = 15b*L由式S =S +AS得，g n n S = 1.551s杆中应力：b =bb =-1.5b杆中内力：N = A N =-1.5 Ab第2迭代步由于杆I已进入塑性，杆II仍处弹性，总刚:丫 _ /,7_EAKT 2 = kTI + kTII -T由甲=K8F，得V = 2.5Ab - 3Ab =-0.5Ab由aS =-k-v 得，nTn n1 TOC o 1-5 h z A5 =(0.5如 )=0.55* i EAsL 由式6 =6 +A得，

4、n+l nn8 =8 + A8 = 2.Oct *211杆中应力：N = A。 N = -2.0Ac12SIIIS检验w =K 8F,有 TV = 3.0Acy -3Ao =02SS迭代平衡。(4)初应力法迭代公式为K 8 =/ + = 3如 +L 0 nn-1S n-1式中，K =2竺是由初应力转化而得到的 。 L等效结点力，即矫正荷载。由于杆II完全弹性，它对有贡献。初应力 完全是杆I按弹性计算及按真实应力-应变关 系计算的应力之差。在初始弹性计算，有F =笔=1.5 L Li KEAE0L在第I迭代步，由: =f（8 ） - D 8 ，有初应(:)=：1.5: = -0.5:由式F = -A(:：与初应力对应的结点载荷为F = 0.5A： S由式A广Ki七，对位移进行一次矫正A8 = K -i F = 0.5 A： s = 0.25 Si 0 i（2 EA）E（L位移的第2次近似值为8 = 8 + AS = i.75 s2 i iE整个迭代过程见表8-2。表8-2初应力法各次迭代结果迭代步