机械优化设计题库

1、绪论1。思考题何为约束优化设计问题？什么是无约束优化设计问题？试各举一例说明。机械优化设 计问题多属哪一类？一般优化问题的数学模型包括哪些部分？写出一般形式的数学模型。机械优化设计的过程是怎样的？它与常规的机械设计有什么不同？怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解？试简述优化算法的迭代过程。何为可行域？为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小?当优化问题中有一个等 式约束时可行域是什么？当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么?当n维优化问题中 有n个等式约束时可行域是什么？什么是内点、什么是外点？在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗？为什 么？试写出第一节中第三个问题的数学模型。目标函

2、数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么？2。习题1。设计一容积为v的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设 计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S时，怎样设计可使油箱的容量最大？试列 出这个优化问题的数学模型，并回答：属于几维的优化问题？是线性规划还是非线性规划？3。欲造容积为V的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消 耗最少？试写出其数学模型。试求直径为D的圆内所有内接三角形面积中的最大值。5c在曲面f （x x x ）-0上我一点P、 在曲面f（x, xx ）-0上我一点P , 使得P与 。f X.，人，Xq）

3、，f （X， A，入） ，A._LJA.A.JA.P2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。6。有一薄铁皮，宽b-14cm，长乙-24cm，制成如图29所示的梯形槽，求边长x和 倾斜角a为多大时，槽的容积最大？试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类 的优化设计问题。欲制一批如图2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。要求纸箱 的容积为2m3,问如何确定。、b和c的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数 学模型.一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例截 断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化问题的数学模型.某厂生

4、产A、B两种产品:A每桶需用煤90kN、电4度、劳动日3个，获利润700 元;B每桶需用煤40kN、电5度、劳动日10个,获利润1200元.但计划规定可用煤3600kN、 电200度、劳动日300个，试问A、B各生产多少桶时利润最大?列出其教学模型，并说明属 于何种数学规划问题？某厂生产两种机器，两种产品生产每台所需钢材分别为2吨和3吨，所需工时数分别 为4千小时和8千小时，而产值分别为4万元和6万元。如果每月工厂能获得的原材料为 100吨,总工时数为120千小时。现应如何安排两种机器的月产台数，才能使月产值最高.试写 出这一优化问题的数学模型。要将10米长的钢管截成3米和4米长的各100根，

5、要求设计出用料最省的下料方 法。试写出其数学模型。设计一个二级展开式渐开线标准直齿圆柱齿轮减速器，已知总传动比i=20，高速级 齿轮模数m1 2=2.5mm,低速级齿轮模数m3 4=3mm，要求减速器高速轴与低速轴间中心距a 最小，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。设计一个展开式二级圆柱齿轮减速器，要求其高、低速轴间的中心距最小。已知总 传动比i=iXi2=4,齿轮齿数Z=z3，模数均为2.5mm，试建立其数学模型，并说明属于何种 数学规划问题.自行提出一个数学规划问题，并建立其数学模型.如图2-13所示，已知跨距为I、截面为矩形的简支架，其材料密度为p，许用弯曲 应力为%

6、】，允许挠度为历，在梁的中点作用一集中载荷尸，梁的截面宽度b不得小于bmin， 现要求设计此梁，使其质量最轻.试写出其优化设计数学模型矩形截面简支梁，在跨距l的全部长度内受到均布载荷g，其材料密度为p，许用弯 曲应力为%。要求梁的宽度不小于bmin，最大挠度不大于0.试写出此梁重量最轻优化设 计的数学模型.有一圆形等截面的销轴，一端固定在机架上，另一端作用着集中载荷P和扭矩M, 其简化模型如图2-14所示.由于结构的需要，轴的长度l不得小于lmin。已知销轴材料的许用 弯曲应力/和许用扭剪应力M，允许挠度为历；设计材料的密度为P和弹性模量为E现w要求设计这根销轴，在满足使用要求下使其质量为最轻

7、，试写出其优化设计数学模型。18。试按质量最轻的原则选择平均半径R和壁厚M设计图225所示的薄壁圆柱形容 器，要求容积不小于25。0m3，容器内压力p为3.5MPa，切向应力气不超过210Mpa，应变 量不超过0.001。图 Z-I5祝示：P - 7&5依阡静一 0. 3要求：(1)建立优化设计的数学模型；(2)用图解法求出最优解。三杆悬挂结构(图15)的材料已经选定，其比重为p，弹性模量为矿许用拉应力 为“。此结构的设计载荷为2p.试写出其重量最轻优化设计的数学模型。底 Z科职I.蚓拘IV1 &平而卉典20。平面桁架(图1-6)由钢管组成，承受载荷2p。钢管的壁厚为M桁架的跨度为2B。 钢管

8、的直径d和桁架高度H可以选择。桁架应满足强度和刚度的要求。试写出其重量最轻 优化设计的数学模型。21。当某试验参数a为1，2，3,4，5时，其对应结果f(a)为3,5，4,2，1。试用一个二项 式p(a) =a2X+ax2+x3，去逼近f(a)，求x” x2，x3为多大时，使得当a=2，3,4， 5时各点误 差平方和为最小，且要求a=1时，p (a)寸(a)。试写出该问题的优化设计数学模型。22。己知两个物理量x和j之间的依赖关系为ay=a1+1 + a 1n(1+4)其中a1a5为待定参数.为了确定这些参数的值，对x和j测得m个实验点：(呵，为)， (x2，J2)，(xm，Jm)。试将确定参

9、数的问题表示成最优化问题。23.有一个初始的设计电路，内有m个可调整的电阻.如图1-4所示.要求的响应是电路内 m个节点电压为给定的一组数，即V1=VD1，V2=VD2，。.，V=Vn，而实际的响应里每一个 节点的电压都依赖于这m个可调的电阻，示为V=U. (R1,R2, o .。，Rm)，i=1 n试建立优化的数学模型.仇佑fU图1.4有m个可调电阻的电路某现象的理论公式为:F(t) = x1 + xe-x3 .透过实验已测得m个F (t)对应于t的值。 要求确定X、x2和x3三个参数，其中x3N0，使理论公式与实验数据的偏差平方和为最小。试 写出这个问题的数学模型.热敏电阻R= x exp

10、-j,今测得温度t与R的15组实验数据.要求确定参数X、1+ XJ1x2和x3使电阻R的计算值与实测值的均方差最小。试建立其数学模型。已知一圆形截面悬臂梁，在其悬臂端作用一集中载荷P和一扭矩M,要求悬伸长度 L=ab，截面直径d=d0。问在满足强度和刚度要求的条件下使所需材料最少，应如何建 立该优化设计问题的数学模型？并示出.试画出下列约束条件下，x=x1 x2r的可行域：(1)g1(x) =X2+(x2-1) 21W0g2(x) =(x1) 2+x221W0g3(x) =x1+x21W0(2)g1 (x)=2X+x26W0g2(x)=-XW0g3(x)=-x2W0g4(x)=X2+x22-1

11、6W0试画出下列约束条件下X=x1,x2r的可行域，并说明哪个是不起作用的约束.(1)g1(x)=-x12+x20g2(x) =%x2+3N0g3 (x)=Xx2+8N0(2) g1(x)=x1+x2/23N0g2 (x) =XN0 g3 (x) =x20 h(x)=-X2-x22+16N029o 已知约束条件为g1(x) =-X+X23N0g2(x) =X2X22+9N0试问X = 2,2tX2= 3 3t，X3=3,0 t，X4=1，1 t等四点中有几个可行点？并 写出可行点。30.画出满足下列约束的可行域。g(x)=483X-2x2N0 g2(x)=18X-x2N0g3(x)=x10 g

12、4 (x)=x2N031o试将优化问题min F (x) = x2 + x2 - 4 x + 4x e D u R 2D: g (x) = x - x 2 -1 0g (x) = 3 - x 0g3(x) = x2 0的目标函数等值线和约束边界曲线勾画出来，并回答下列问题：(a)X=1,1 T是不是可行点？(b) X= 5/2,1/2t是不是可行点？(c)可行域D是否为凸集，用阴影线描绘出可行域的范围.32。已知某约束优化问题的数学模型为min F(x) = (x - 3)2 + (x - 4)2x e D u R 2D: g (x) = 5 - x - x 0g (x) = x - x -

13、2.5 0 212g3(x)=气 0g 4( x) = x2 0该问题是线性规划问题还是非线性规划问题？按一定比例画出目标函数F (X)的值分别等于1, 2, 3时的三条等值钱，并在图 上划出可行域.在图上确定无约束最优解和约束最优解。若在该问题中又加入等式约束h (X) =x1x2=0，其约束最优解X十、F(X*)又为多 少？33。画出下列目标函数的等值线，并指出函数值为正和负的区域它有没有极小值点？1) F (x1，x2)=x1x2; 2) F(x1，x2)=x12-x22; 3) F (xx?) =x12+3x1x2+4x22+634。用图解法求解下列优化问题的最优点。min F(x)

14、= (x - 3)2 + (x - 3)2 TOC o 1-5 h z 1)12s.t 2x x 0121 2min F (x) = (x - 2)2 + (x - 2)2s.t x + 2x = 4; x , x 0min F(x) = (x - 3)2 + (x - 3)2 HYPERLINK l bookmark128 o Current Document 3)12s.t x / 2 + x 4; 3x + x 15 x + x 01212121 2A q 10000 N / cm LLkimilO配414箱形盖板35.如图所示，设有一箱形盖板，已知长度l=600cm，宽度b=60cm,

15、侧板厚度亍0。5cm, 翼板厚度为f （cm），高度为h （cm），承受最大的单位载荷疗10000N/cm，盖板的许用弯曲 应力=70MPa，许用剪切应力M =45MPa，单位长度允许挠度箫=0.0025mm，弹 性模量E=7X104MPa,泊松比况0.3.要求在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计一个质 量最小的结构方案。5-17搪瓷厂要生产一种容积为785cm3的圆柱形茶杯，试用拉格朗日乘子法设计茶杯 的尺寸使所用的原材料最省。1。设计一曲柄摇杆机构（见图7-16），已知：杆1的长度11=1，杆4的长度14=5 （均 为相对长度）.要求曲柄由4。转到4.十90.时，摇杆的输出角实现如下给定

16、的函数关免 V -y,十方（440），式中4。和贝。分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆的位置角.运 动过程中的最小传动角不小于45。，即 7m,.7=45。试建立上述问题的数学模利，并选择优化方法，有条件的同学可2：=4. 1286，z:=2. 3325）。1 .设计一曲树魅-料机构（见图7TG）,已知:杆1的长度杯4的长竖（均为相对长度）.要求曲柄由曲转到暮4对时,捣歼的输出角实现如下给定的函鼓关系：职=叽+-3火尸式中也利乎*分判为对应于播样在右极限倬.置时曲柄和援村的位置免.并要求在该区间的 近动过在中最中伐砺危不小于疝“，即顷立上述间题的数学E 并遂择优化方法，有条件的同学就上机

17、计算（答第为 右=4.12邱，；,=2.3325 ）,图7-16平面较小四杆机构简图2。如图为一批量生产的压力容器,其结构方案和有关尺寸已定。内部气压为p=1275MPa,容器内径A=120mm，安装螺栓的中心圆直径D=200mm,壁厚E=H=20mm,用衬垫密封，为保 证拆装时具有足够的扳手空间,螺栓间的周向间隔不应小于5d（d为螺栓直径），同时为保证 螺栓间的密封压力均匀，不致有局部漏气,螺栓间的周向间距不应大于10d。螺栓树料选用 35号钢，长度为50mm，型式为六角头半精制螺栓，其单价见下表：101516即单抑”元；o. tit0.252要求合理地选择紧固螺栓的直径d和螺栓的数量，使压

18、力容器的螺栓总成本最低。试 建立上述优化设计问题的数学模型，并选择优化方法，有条件的同学可上机计算。（答案为 d=25，n=3）。3.设有一重量PT0000N的物体悬挂在两根钢丝绳上，如图7-18所示。已知钢丝绳长 Z=14。1m,Z2=11o 5m，许用应力=100Mpa,弹性模量E=2X105MPa。为保证此装置正常 工作，除钢丝绳的工作应力不应大于许用应力外，还规定悬挂点的铅垂位移不应越过 f4=5mm，现在要求得出钢丝绳的横截而积A和42，使承受该载荷的结构重量为最轻。试建 立上述优化问题的数学模型，并选择优化方法，有条件的同学可上机计算。（答案为Al=0.81687, 42=1。15834）o图字T7压力宰器小危图图了土 .以扫构的i!岩前四15.如图所示的二级斜齿圆柱齿轮减速器，高速轴输入功率N1=6o 2kW，高速轴转速 n1=1450r/min，总传动比i=31.5,齿轮的齿宽系数护0.4;大齿轮材料为45钢正火HBS=187 207，小齿轮45钢调质HBS=228255；总工作时间不少于10年。要求设计一个最小体积 二级圆柱齿轮减速器。（3