拉格朗日乘数法应用的推广

1、拉格朗日乘数法应用的推广电子科技大学2014级英才学院宁博宇败家男摘要在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫路易斯拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。它是解决工程，经济等最优化问题的一种数学工具。本文介绍了拉格朗日乘数法，并将其进行推广，提出了在不等式约束和等式约束混合条件下的解法。关键词：拉格朗日乘数法,条件极值。第一章引言在数学最优化问题中，拉格朗日乘数（以约瑟夫路易斯拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件限制的多元方程求极值的方法。这种方法将一个有n个变量与k个约束的问题转换为一个更易求解的n+k个变量的方程组，其变量不受任何约束。

2、这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。1.1约瑟夫路易斯拉格朗简介约瑟夫路易斯拉格朗日（Joseph-LouisLagrange，生于1736年1月25日，死于1813年4月10日），是法国籍意大利裔天文学家和数学家。拉格朗日曾经为普鲁士腓特烈大帝在柏林工作了二十年，并且被腓特烈大帝称做是“欧洲最伟大的数学家”，后来受王法国国王路易十六的邀请然后定居巴黎直至去世。拉格朗日一生才华横溢，在数学、物理和天文等领域都做出了很多重大的贡献。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学他的主要贡献：代数：群的阶是子集的阶

3、的倍数，消去理论，将行列式的概念应用到非消去理论的范畴，拉格朗日插值多项式数论：四平方和定理，证明配尔方程必存在解，证明威尔逊定理，创立二次型论，证明循环连分数均为二次无理数。微积分：拉格朗日乘数法，中值定理。力学：1764年，拉格朗日成功解释了为什么月球总是一面朝向地球。在1772年至1788年，他简化了经典力学中的一些公式和运算，并创建了自己的分支，称为拉格朗日力学。天文；1772年，发现拉格朗日点。第一章引言在数学最优化问题中，拉格朗日乘数（以约瑟夫路易斯拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件限制的多元方程求极值的方法。这种方法将一个有n个变量与k个约束的问题转换为一个更易求解的n

4、+k个变量的方程组，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度(gradient)的线性组合里每个向量的系数。1.2拉格朗日乘数法的应用现状拉格朗日乘数法作为微积分求限制条件的多元函数极值的一种方法，在实际问题中占有重要地位。工程应用中人人往往会遇到许多实际问题，其中就有很多事约束最优化问题。例如工业设计中的易拉罐的外形设计，机机翼载荷转换计算，工程结构可靠度分析的一种方法和一个工程力学模型的分析计算等。拉格朗日乘数法作为求约束最优化的一种方法，在工程问题中能利用它解决上述问题。约束最优化在经济学占有很重要的地位。例如一个消费者的选择问题可以被视为一个

5、求效用方程在预算约束下的最大值问题。拉格朗日乘数在经济学中被解释为影子价格，设定在某种约束下，在这里即收入的边际效用。第二章拉格朗日乘数法的基本理论2.1拉格朗日乘数法简介在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高，使水箱的表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为x,y,z，则水箱容积V二xyz焊制水箱用去的钢板面积为S(x,y,z)二2(xz+yz)+xy这实际上是求函数S(x,y,z)在V二xyz限制下的最小值问题。这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件9(x,x,x)=0,k=1,2,m,(mn)

6、k12n限制下，求函数f(x,x,x)的极值12n条件极值与无条件极值的区别条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。例如，求马鞍面z二x2-y2+1被平面XOZ平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形(x31马鞍面)从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面平面所截的曲线上有极小值1，这个极小值就称为条件极值。2.2条件极值点的必要条件设在约束条件P(x,y)=0之下求函数z=f(x,y)的极值当满足约束条件的点(x,y)是函数f(x,y)的条件极值点，且在该点函数9(x,y)满足隐函数存在条件时,00由方程

7、9(x,y)=0决定隐函数y=g(x),于是点x0就是一元函数z二f(x,g(x)的极限点,有dzf二f+fg(x)二0.dxxy.()9(x,y)环士代入g(x)二x/00,就有09(x,y)y00f(x,y)f(x,y)x00二0,x00y009(x,y)y00(以下f、f、9、9均表示相应偏导数在点(x,y)的值.)TOC o 1-5 h zxyxy00即f9f9=0,亦即(f,f)-(9,9)=0. HYPERLINK l bookmark2 xyyxxyyx可见向量(f,f)与向量(9,9)正交.注意到向量(9,9)也与xyyxxy向量(9,9)正交,即得向量(f,f)与向量(9,9

8、)线性相关,即存在实yxxyxy数九,使(f,f)+九(9,9)=0.xyxy亦即f+九9=0,xxf+九9=0.yyLagrange乘数法:由上述讨论可见,函数z=f(x,y)在约束条件9(x,y)=0之下的条件极值点应是方程组f(x,y)+九9(x,y)=0,xxf(x,y)+九9(x,y)=0,yy、9(x,y)=0.的解.引进所谓Lagrange函数L（x,y,九）二f（X,y）+g（x,y）,（称其中的实数九为Lagrange乘数）则上述方程组即为方程组L(x,y,九)=0,XL(x,y,九)=0,yL(x,y,九)=0.J入因此，解决条件极值通常有两种方法1）直接的方法是从方程组（

9、1）p(x,x，,x)=0,k=1,2，,m,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark76 k12n中解出x,x，,x并将其表示为12mx=g(x,x,x),k=1,2,mkkm+1m+2n代入f(x,x,x)消去x,x,x成为变量为x,x的函数12n12mm+1nf(x,x)=f(g,g,x,x)=F(x,x) HYPERLINK l bookmark18 1n1mm+1nm+1n将问题化为函数F（x,x）的无条件极值问题；m+1n2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出x,x,x来是困难的，甚至是不可12m能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日

10、乘数法，是免去解方程组（1）的困难将求/*xn）的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数L（x,x;九,九）=f（x,，x）+九p（x,，x）1n1m1nkk1nk=1的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。第三章Lagrange乘数法的推广目标函数A=f(x,x,x)12n在约束条件申(x,x,112申(x,x,21,xn,xn)a)a12)an,x)及申(x,x,x),(k=1,2,n)对nk12n用restr表示约申(x,x,Jn1下的条件极值问题，这里假定f(x,x,每个x(j=1,2,n)都有偏导数。为方便我们用extre表示极值,束条件，于是上述条件

11、极值问题可表示为extreA=f(x,x,x)申(x,x,x)a申(x,x,x)a212n2,xnrestr申Vx,x,n12(1) HYPERLINK l bookmark86 因为申(x,x,xi12nz2=a一屮(x,x,xiii12n作函数F(x,x,i12,x)anna(x,x,2)0，故令n(2),xn,z1,z2,zmi,x)-a(i=1,2,ni,n)则F(x,x,i12将函数f(xi，X2,x,z,z,n12z)的函数，则极值(1)可化为nextreA=f(x,x,F(x,x,x,z,z,z12n2F(x,x,x,z,z,12n1restrz)=0zn)=0n(3)作辅助函数

12、12n12n则(3)的极值必要条件为F(x,x,m12,x2,xn)+2九F(x,xii12,xn,z1,z2z)ni=1（4）(7)2nnnn色_0dx1理_0dx2QF+九伫=0ndx1、dF_+九n0ndx2TOC o 1-5 h zdfdFdF九1+k2+dx1dx2dx111dfdFdF入1+入2dx1dx2dx222dF1dxndF+九竺n_0ndxn业_0dxnf+九dx1ndF+入22dxn企0dz1色_0vdz2112九z_022（5）生0dznF_01F_0211/12nmz2+p(x,x,x丿一a2212nm_0_0(6),xn)-am_0由（2）有dFd申dxjj(i_

13、1,2,n;j_1,2,n)+九竺_0mdx1+九空_0mdx将上式代入(4)(5)得TOC o 1-5 h z宜+九塑+九竺+dx1dx2dx111f+九殂+九坐+vdx1dx2dx222f+九塑+九坐+九勢_0dx1dx2dxmdxn12nn九Cp(x,x,九(p(x,x,2212,xn,xn)一a)=0)a)=o2(8)nn1,x2,x)-a)=0nn方程组（6）（7）（8）即为（3）有极值的必要条件。记dpdxdx1dx221dx2(9)jdxdxnndxndf、dx1dx2dx丿n(i0)增广矩阵为TOC o 1-5 h z(dpdpdp12ndxdxdxdpdpdp12nA二dxd

14、xdx222dpdpdp亠斗2n*dxdxdxnnn以下分几种情况进行讨论I若|A|丰0且A的任一n阶子式都不为0。由方程组（7）可解出九且九plx,xp(x,x22i2,xn,xn)-a=0)-a02丰0(i1,2,(ii),n）于是方程组（8）有,x)-a0故极值只能在边界上取得因而极值（1）变为extrerestrAf(xp(x,x,p(x,x,212,x,2,xn,x,x)n)a0)-a02(i2)n若n九=0ii=1,则尢,尢,m1m2，这里(1rn)，因为11九由方程mii(8)有申(x申n1(x1n21申(xn1r,x,x2n,x,x2-n,x,x2nmn-r)a=0n1)a=0

15、n2)a=0nr由Lagrange乘数法可求出(12)的极值II若|A|丰0,旦,|乂0则方程(7)有解，显然九不全为0，否则dxoxox丿)12n俘,字,许0,与条件矛盾。oxoxox丿12n若H九工0，则九H0C=1,2,n)极值只能在边界上取得，于是极值(1)转化iii为极值(12)九,九，,九中必有部分为0,设尢,尢,尢12nn1n2n于是极值C1)可用下法求出:先求extreA=f(x1,x2,x)n环(x申n1(x1restrn1,x2,x2,x)-a)-n1an2=0=0=0(13)若得可能极值点P(x0,x0,012在验证P是否满足0申(x,xm1(12申(x,xm212x)a

16、m1am2(14)(x,x,12,x)anmn-r若PCo,xo,xo)满足(14)，则其亦为(1)的可能极值点，若PCo,x0,012n012III若九2=0,i之一。i=1(a)(b)J9(x,x,1129(x,x,212-,xn,xn申x,x,xJn12n9(x,x,9(x,x,212,xn,xn9(x,x,xn12n HYPERLINK l bookmark90 a.1a2(15)an)=a)=a12)=an满足(14)，则说明(1)无极值。由方程(6)(8)可知，可能的极值点必须满足下列三个约束条件(c)为(a),(b).的混合型以下分别讨论说明极值只能在边界上取得，故极值(1)转化

17、极值(12)说明极值只能在内部取得，把九=九=九=0代入(7)中得TOC o 1-5 h z12n生=0,更=0,更=0(16)OxOxOx12n此即为函数A=f(x,x,x)在有(15)确定的开区域中有极值的必要条件，若(16)解出P(x0,x0,x0)在验证P(x0,x0,x0)是否满足(15)，如满足则GO1、2f012n/、0,x0,x。丿为极值(1)在内部的可能极值点，否则(1)在内部无极值点，此时012n可考虑边界的情况(c)表明约束条件一部分为等式，另一部分为不等式。此时极值转化为(13),(14)IV若|A|丰0，则R(A)n(17)要使(7)有解A,A必须满足条件r(A)=r

18、AI丿这里r(A),r(Aj分别表示A,A的秩。l丿由(17)可得一方程活方程组R(x,x,x)=0TOC o 1-5 h z1/12nR(x,x,x)=0(o)V212n118丿R(x,x,x)=0Jn12n于是当(x,.x.,x)满足(18)，方程组(7)有解九(i=1,2,n)12ni若n九工o，则极值（1）转化（12）丰0(1vrVn)，九,九,m1m2,九=0,mn-r若匸1九=0，但工九2北0，不妨设九,九iin1n极值】（1）可如下求得先求extreA=f(x1,x2,x)nrestrR(x,x,x)=012nR(x,x,x)=012nR(x,x,x)=0G12n,x,x)-a=

19、0川(12n)n申(x,x,x丿一a=0n212nn2(19)申（x,xn12r的可能极值点P0,x)-an(x0,x0,12=0n,x0),再验证P(x0n01,x20,x0）是否满足nm1申m2,x)anm1,x)anm2(x,x,x12namn-r注：方法IV适合求以下极值extreA=f(x,x12x)1/129(x,x212restrx)xn)na1a2(20)m12nm例1求extreA=zz+x2+2y2一60restr(21)x2+y2一z0u2=6-z-x2-2y2v2=z一x2一y2作函数F(x,y,z,u,v)=u2+x2+2y2+z一6G(x,y,z,u,v)=v2+x

20、2+y2-z则极值转化为=0extreA=zF(x,y,z,u,v)=0G()0(22)Glx,y,z,u,v二0y,z,u,v)=z+九C1则必须满足restr做辅助函数(x,若(22)有极值，2+x2+2y2+z一6)+九(v2+x2+y2一z)2別一ax別一ay別一饭別一九別一av=0=0=0=0=02x九+2x九=0124y九+2y九=0121+九一九=0122久u=012九v=02(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)将(28)，(29)代入(26)，(27)中得九C一x2-2y2-z)=0(30)X(z一x2-y2)=0(31)由(25)知道X2+X2丰0即方程(

21、23)、(24)中有非零界。于是其系数行列式为零,12即4x2x=(32)即-4xy=0当X丰0,X丰0时，极值(21)化为12extreA=zz=6x22y2restrqz=x2+y2作R(x,y,z)=z+X(6x22y2z)+XC2+y2z)12=02xX+2xX=0=0即4yX+2yX=0(33)121XX=012方程组（33）有解，其第一、二方程系数行列式必为零2x4y于是X=0或y二0因X=0,y二0不满足约束条件厂z=6x22y2z=X2+y2故x,y不能同时为0，把x=0，y=0分别代入（34）得到x=0y=2z=2x=0y=羽z=3z=2，z=3即为可能的极值。事实上验证z=

22、2为极小值，z=2为极大值当h丰0,九=0时约束条件为12:z=6x22y2(35)x2+y2z0先求extreA=zrestrx2+2y2+z6=0作辅助函数H(x,y,z)=z+h+2y2+z66HOx=06HOx=0OH2九x=0得2入y=0(37)得I1+x=0(37)Oz=0 x2+2y2+z6=0 x2+2y2+z6=0由于h=1丰0，故x=0，y=0代入x2+2y2+z6=0中得到z=6于是使得（36）极值点的P（0,0,6），而P恰好满足约束条件00 x2+y2z0故P（0,0,6）为（21）的可能极值点，实际上可明显看出z=6为极大值0当h=0,h丰0时，约束条件为|x2+2y2+z60（38）12x2+y2z=0先求extreA=zrestrx2+y2z=0作辅助函数S(x,y,z)二z+九z)as-axas一ayasaz令=02Xx=0=0得|2Xy=01X=0=0