经管类概率论与数理统计随机变量的数字特征

1、随机变量的概率分布完整地描述了随机变量统计规律，但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易， 而且对某些问题来说， 只需知道它的某些特征， 我们把刻画随机变量 某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。本章主要研究随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等数字特征。随机变量的期望离散型随机变量的期望引例10人参加考试，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均 分。【答疑编号：10040101针对该题提问】解：平均分为：10= 0,1x100+0,6x80+0,360 = 76从本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。这是由于60分出现的机会多于 100分，

2、上面方法出现了 60分出现的频率多。100分的频率小，能正确计算平均值。定义 若X的分布律为 P (X=x。=pi, i=1, 2 -当级数9*绝对收敛时(即：同由收敛)工均;片巧+电居/ 就说T是离散型随机变量 X的期望。记作EX,即窈=汽燃=再孰+建口 + +4一说明：(1)若X取值为有限个X1 , X2,，Xn 9ex=e 下用=工砂十&孙十十5Pr则；-；(2)若X取值为可列无限多个 X1, X2,，Xn斯二X飞马=或1产1 +叼+ /声并则 u、Z工的这时才要求无穷级数 I绝对收敛。很明显，X的期望EX体现随机变量 X取值的平均概念，所以 EX也叫X的均值。【例4-1 设随机变量X的

3、分布律为XdU1P0.30.20.5求 E (X)解 E (X) = (-1) X0.3+0 刀.2+1 刀.5=0.2【例4-2】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X, Y,它们的分布律分别为XU 12P002 03p n. i o.E ci.i试比较他们成绩的好坏。【答疑编号：10040102针对该题提问】解我们分别计算X和丫的数学期望：EX=0X 0+1X0.2+2 X0.8=1.8 （分）。EY=0 0.1 + 1 刀.8+2 刀.1=1 （分）。这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。下面介绍几种重要离散型随机变

4、量的数学期望。.两点分布随机变量X的分布律为一111Fp其中0vpv 1,有EX=0X （1-p） +1Xp=p。.二项分布设 X B （ n,p）,即吁步g 李叶& = 1一方,” 1二司可以证明它的期望 EX=np二项分布的数学期望np,有着明显的概率意义。比如掷硬币试验，设出现正面概率P = ,100 x1 = 502若进行100次试验，则可以 期望”出现 2次正面，这正是期望这一名称的来由。.泊松分布设*尸（由其分布律为尸（天吵则X数学期望为EX=A小结上面的结果，有下面公式分布EXX-(0,1)pXB (n,p)npX、P （入）X今后在上面三种情形下，期望EX不必用定义计算，可以直

5、接套用公式。例如 若 X B （10, 0.8）,则 EX=100.3+ (2X0+1)0.2+ (2X1+1)X0.4+(2X2+1)X0.1=(-1) X0.3+1 X0.2+3 0.4+5 0.1=1.6o【例4-6】设随机变量X的分布律为3 一】 口 QL5 12F 030J 0J0J Q3-且 Y=X 2,求 EY。【答疑编号：10040104针对该题提问】联y) = s虱与m =万巧+电%+弓巧+/玛+它汽 解,=(-1) 2X0.3+020.2+0.52X0.1 + 12X0.1+22X0.3 =0.3+0.025+0.1 + 1.2=1.625。连续型随机变量的期望对于连续型随

6、机变量的期望，形式上可类似于离散型随机变量的期望给予定义，只需将号小和式i 中的Xi改变x,Pi改变为f (x) dx (其中f (x)为连续型随机变量的概率密度函 数)以及和号“浓变为积分号 “即可。 为疗d*绝对收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望(简称期望或均值)，记为 EX,即?二广球(工法。J-【例4-7】设随机变量X的概率密度为求 E (X)。【答疑编号：10040105针对该题提问】【例4-8】设随机变量X的概率密度函数为22JT 其他.cos 元 用0,求 E (X)。【答疑编号：10040106针对该题提问】2 2解 因为f(x)只在有限区间忆后上不为零，且在该区间上为连续

7、函数， 所以E (X)存在，且rf 2 凰=J犷加一xcos3 M冗根据奇函数的性质知道 E (X) =0。下面介绍几种重要连续型随机变量的期望。.均匀分布设随机变量X在a,b上服从均匀分布，其概率密度为一,口 0 k Wb, 鼻其他,左(士匚犷松下 f占力咛在区间a,b上服从均匀分布的随机变量的期望是该区间中点。.指数分布设随机变量X服从参数为 入0勺指数分布，其概率密度为237： Q0,十求既0, 霜与0,册=k.SX即指数分布的数学期望为参数 入的倒数。.正态分布设X -我3)其概率密度为f(x) -f 二M 厂8 7 +OOrV2-JTCF则X的期望E (X)=科。(不证)上面三种情况

8、列表如下(可以作为公式使用)艮._。+1Q _ 5例如XU (0,10) 则2XE (2) 则EX=-2下面介绍连续型随机变量函数的数学期望。定理4-2设X为连续型随机变量，其概率密度为fX (x),又随机变量 Y=g (X),则当匚做成力时敛时,有证明略。这一公式的好处是不必求出随机变量Y的概率密度fY(X),而可由随机变量 X的概率密度fx (x)直接计算E (Y),应用起来比较方便。特别情形若工-蜃0) = 1例4-921, 0s 0+ (1x0) X + (lx|) X=326 6【例4-11】设二维随机变量(X, Y)的概率密度为口 口三工，以勺，为八Q,其他.求：(1) E (X+

9、Y ) ; ( 2) E (XY ) ; (3) P X+YW1。【答疑编号：10040109针对该题提问】解：(1)夙京窃=广广十次”ij)网=jf(了+y) 2小打=I：M gy) 2。=卜29+/)1=1E (郎=柯(Xy)盘打dx) P(X+YV) = J|力工初也打 k&】=J； 2(1 - 2M型4.1.6期望的性质期望有许多重要性质， 利用这些性质可以进行期望的运算。下面列举的这些性质对离散型随机变量和连续型随机变量而言，都可以利用随机变量函数的期望与二维随机变量函数的期望公式加以证明。性质4-1常数的期望等于这个常数，即E (C) =0,其中C为常数。证明常数0作为随机变量，它

10、只可能取一个值C,即PX=C=1 ,所以E (C) =0 1=0性质4-2常数与随机变量 X乘积的期望等于该常数与随机变量X的期望的乘积，即E (CX) =0 E (X)。证明设X是连续型随机变量，其概率密度为 f (x),则有矶=广Q/Q)去=Cp球以=C趴X) . rg当X为离散型随机变量时，请读者自证。.有 E (0X+b) =0EX+b性质4-3 随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E (X+Y) =E (X) +E (Y)。证明不妨设(X, Y)为二维随机变量，其概率密度为f (x,y) ,Z=X+Y是(X, Y)的函数，有(z)= (x+r)=广(不一力/(冷加呦二I叭苞力I讨

11、瓜24=E (X) +E (Y)。这一性质可作如下推广：E (GX+02Y) =0iE (X) +02E (Y),其中 0i, 02 为常数。结合性质4-2与性质4-3可证此性质。一般地，设Xi, X2,Xn为n个随机变量，则有E (Xi+X2+Xn) = EX 1+ EX2+ EX nE (GXi+C2X2+ . +CnXn)=C1EXi+C2EX2+ CnEXn性质4-4 两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若 X, Y是 相互独立的随机变量，则 E (XY) =E (X) E (Y)。证明 仅证连续型情况，因为 X, Y相互独立，所以f (x,y) =fX (x) fY (

12、y),重期二硒六工力d冲二门2破内0)击出1-ho=稔却必0)副J 0J =E (X ) E (Y)由数学归纳法可证得：当 Xi, X2,，Xn相互独立时有E (XiX2 - X n) =E (Xi) E (X2) E (Xn)。【例4-12】设Xi (i=1,2, )服从0-1分布与01P1-pp其中0p曰4)飞一= JX 0123 TOC o 1-5 h z 口如削1 口033nP_I8S81331 . . _.EY - Ox h-20 x 60 x +1。0 x=3M1258838，该人平均得分42.5分。4.2.1方差的概念随机变量的期望反映了随机变量取值的集中位置，在许多问题中，我们

13、还要了解随机变量的其他特征。例如，在投资决策中，我们选择某一项目或购买某种资产(如股票、债券等)，我们不仅关心其未来的收益水平，还关心其未来收益的不确定程度，前者通常用期望来度量，后者常称为风险程度。这种风险程度有多种衡量方法，最简单直观的方法就是用方差来度量。 粗略地讲，方差反映了随机变量偏离其中心-期望的平均偏离程度。对任一随机变量 X,设期望为E(X),记Y = X-E(X),称为随机变量X的离差，由于E(X) 是常数，因而有E(Y)=E X-E(X)I=E(X)|-E 00司|由此可知，离差 Y代表随机变量X与期望之间的随机误差，其值可正可负，从总体上 说正负相抵，故其期望为零。这样用

14、 E(Y)不足以描述X取值的分散程度。为了消除离差中 的符号，我们也可以考虑使用绝对离差|区一岭1,但由于昨E|)中绝对值不便处理， 转而考虑离差平方 住一趴囚)2=的期望,MW E(XE(X)r来描述随机变量X取值的分散程度。定义4-3设随机变量(X-E(同y的期望存在，则称E(X-E(X为随机变量X的方差,记作 D(X),即 D(X) =称回可为X的标准差(或均方差)。rL 1从随机变量的函数的期望看，随机变量X的方差D(X)即是X的函数卜的期望。由方差定义可知，当随机变量的取值相对集中在期望附近时，方差较小；取值相对分散时，方差较大，并且总有。加若X为离散型随机变量，其分布律为4TA1L

15、1则 泡(4.2.1)若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则D（X）=t（LE（X其父泣(4.2.2)【例4-14】设两批纤维的长度分别为随机变量同其分布律为-11P0.50. 5求：L：； 一；二】必-100 100P0.50. 5【答疑编号：10040201针对该题提问】(%) =卜力乂。. 5+110.凤E(X?)= (-100)Xo. 5+100Xo. 5=00任1卜(7-呼川.5+(1-09)(15 -1D(X2)-(-1DC-0)x0.5+ C10D-0)2x0.5-10 000)【例4-15】已知随机变量X的概率密度为24其他求；：】.【答疑编号：10040202针对该题

16、提问】12 1 -I =二二.在计算方差时，用下面的公式有时更为简便；口 （冷=武X2）-坎尸即X的方差等于及之的期望减去x的期望的平方。 证明利用期望的性质证明。因为(4.2.3)(X- 在)/=jr2- 2xe(jt)+玳加*由于E(X)是一个常数，有D(X)=E(-E：(X)2=E吁）=二6）汽力加舄（F*改 41-2XE(X) + E2(X) E(X2)-2E(X)E(X)+ e2(x)- E(Xs)-E2 (X)当X是离散型随机变量时，2=-1(4.2.4)当X是连续型随面变量时,d=7鹏可心-（D可(4.2.5)【例4-16】 设随机变量的期望 E（X）=2，方差D（X）=4 ,求

17、：以工1.【答疑编号：10040203针对该题提问】解由式（4.2.3） W义曰区卜凶刈T,及已知 E(X)=2,D(X)=4,得笆1 D仔）4同X）了 =4 + 4= S【例4-17】设X的概率密度为求：DX.1 Q【答疑编号：10040204针对该题提问】号犬=广犷（才灿=P x 2为出=解：（1）此(2)阮三匚灯赤=/ 一 2煨五411K n- D(X) = Zr2-(EX)2 = i-1184.2.2常见随机变量的方差 1.0-1分布设X的分布律为0L1-PP其中0V PV 1,则X的方差D(X)=P(1-P).因为DiXi=EX3i-|e-Xi E(X2=02x(1-p)+心 mp

18、= p*=p.故D(X)-r2-(EX：)2 -p-p2(.p)(2)二项分布设XB(n,p)则有 Wz型生M(不证)(3)泊松分布设XP(；L),则有 悝二田(不证)(4)均匀分布设XU(a,b),则有L=1之加一0q其他门理,意疝。比 汇则;= _ 2-77DX = E3) -=4-(1)3=工*1 X(6)正态分布可以证明，若1 I1 下表是六种常见分布的期望和方差的结果。 要求大家熟记下面公式。分市EXDM(Os 1)PP(1-口)(4 p)npnpfl-p)2KUb软+与1211IA2一)一 以=1【例4-18若XU(a,b)且EX = 3,3求：a,b及X的概率密度f(x)【答疑编

19、号：10040205针对该题提问】解：N阳 *($*),1 g + &) = 3.(b-a )=-2123，叮h七=5(ta) = 4 b-a = 2of = 2,4|12父工e4./W = hf口， 其它【例4-19】已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)=2.4 , D(X)=1.44 ,求二项分布的参 数 n, p。【答疑编号：10040206针对该题提问】解：因为 E(X)=np , D(X)=npq ,1.44q =06由已知 E(X)=2.4 , D(X)=1.44 , np=2.4 , npq=1.44,得 q=0.6 , p=0.4, n=6【例4-20】已知(X , Y)

20、的分布律为求：E(X),E(Y),D(X),D(Y).【答疑编号：10040207针对该题提问】 解：;X0 213T-102P2111243P工111264汽5 11.1 5 (1)=0 m 十一乂 一l 又一=12 3 43 1212(2)(3)12 9 43 36(4)E(Y2) =： (-1)2 X+o X1 + 22 xl = 1264 12(5)1M 7S 77口昼)=E(X= -= 36 144 144(6)p（y）= （Fa）-fl（r）=19227【例4-21】设（X,Y）的概率密度为-,0 * 1 0尸 4DX+DY=18=*药 +% . + %)(2)DF4-J24 .+

21、 xq连4m 4DX/4 吟-7T f + +(T2)=:5仃2) = C7 司理评【例4-24】设随机变量 X, Y相互独立，X与Y的方差分别为4和2。求D(2X-Y). 【答疑编号：10040211针对该题提问】解由方差的性质得D(2X-Y)=D(2D(-V)=4DX+DY=184.3协方差与相关系数对二维随机变量(X, Y),我们除了讨论 X与Y的期望和方差之外，还需讨论 X与Y 之间相互关系的数字特征，本节主要讨论这方面的数字特征。协方差定义4-4 设有二维随机变量(X, Y),且E (X) , E (Y)存在，如果 用在，则称此值为X与Y的协方差，记C皿叉,门，即定义 G势(F)=矶

22、(万一醺)(-现)(4.3.1)当(X, Y)为二维离散型随机变量时，其分布律为勺=P(N = %,y=jj (t = L 2 j =(4.3.2)Cw(ZF) = 22-总必- E)片则i J当(X, Y)为二维连续型随机变量时，口,y)为(X,Y)的概率密度(4.3.3)Cnv(X,Y) = rpCr-W)O -颐就一协方差有下列计算公式:C口或七 Y) = S(XY)-EXE(Y)(4.3.4)证明岛“,了)=且(里一E(xy)(r-巨了=EXY-XE(Y)-空( +且()=跃XY)- SX)S(X)- E(Y)SX)= EXY 芭(X)趴0此公式是计算协方差的重要公式，特别地取X=Y时

23、，有,幻=E(X -或初(X -且()=Q(X)【例4-25】设(X, Y)的密度函数为1八”50,0 x 1,0 uy 0, D(Y) 。,称为X与丫的相关系数，记为的X4.3.2相关系数4-101 11781超1/301/801/811/81/81/3求：(1)(3) EXX的边缘分布,犷，DX(2) Y的边缘分布(4) EY, EY2 , DY例28若(X, Y)的分布律为(5) E (XY)(6)(7) 口 (8)讨论X, Y的独立性【答疑编号：10040304针对该题提问-1解：(1)P箫的的 323EX = lx + 0X+1 乂一 = 0373 3SX2 =1 乂一+ Qx +1

24、 乂一= 888 A口乂 = EX?-回?=-3235y = -x-+0 x-+lx- = ij二：.3733Y2 =x + Qx 一十 1x一= S 88 4(ZZ)=x 1 + (-l)x 0 x1+(-l)xlxl TOC o 1-5 h z S3811+0 x(-l)c- + 0 x0 x0+0 xlx- 88(5)+1x(-1)x- + 1k0 x1-f1xx- = 0 888二(”)二耿即-以昨。，不相关(8)g(X = L? = D = ；3 3 户(占=1)尸(y=i)=xPX = 1F = 1) # 8万=1)F(F = D，不独立本例说明X, Y不相关不能得出 X, Y独立

25、的结论。 各问：(1) =。时，说X, Y不相关1。1二1时，说X, Y完全相关且|日|二10尸(=值工+占)=1(不证)定理：若X, Y独立，则X, Y不相关证：X, Y 独立，则有 E (XY) =E (X) E (Y)一 J，一/；1.”0本定理说明X, Y独立是X , Y不相关的充分条件，反之不一定成立，在例28中，(X , Y)不相关，但(X, Y)并不独立。虽然在一般情况下，X,Y不相关不能得到X,Y一定独立的结论，但如果XN(臂目丹，YN(&则x, Y不相关则是X, Y独立的充分条件，即有若X, Y都正态分布，则有 X, Y独立的充分必要条件是 X, Y不相关。【例4-29】设二

26、维随机变量(X, Y)的概率密度为8宿OEy工苞0工工王1,加)力 其化求：(1) E(X), E(Y);( 2)D (X) , D(Y);( 3)Cov(X,Y), Pjq-【答疑编号：10040305针对该题提问】解：这是一道综合题，要熟练掌握解题的全过程，本题可以先求出边缘概率密度，再求期望和方差，也可以直接由联合分布求期望和方差。先画出区域的图形如图 4-2所示。解法18,0 /小刃寸6其他(1)L当04天Ml时/Oj) =力=4/,当工00或1n 1时，*工,尸）=。I 40/比J)0=a f4x3,0 xl0, 其它.当 y l,（文刃=。45）三广了（冗尸）小=IF &W = *

27、41-y),。尸与1.0,其匕驱：-泗力二（J-勺(2)3 l0口 4 1KliZ）=叉/）一；一成）=羲,衣）=J：4%外初介=（4 4 B 4cw(y)=矶双-&胤 n = - = _ Cav(_XrY) _ ?屏 = 7 4方，*解法2EX=J 就(K，y)dxdy = Cd； K 8研力)4天1)p3 3 产 4/ 1 1 S= 一砂 dx = 1 x di = k =叮|0 Jo 315 0 15跄=，八死板尚=：。；一 8号我Wk1 ,=q/y2 dx= Id以=3 = 2Jo 0 J。 6 0 3微=卜(内心力=J：(V超号力加W4 4 84_ 加昼,F) _ 2辰【例 4-30

28、】证明 D (X+Y) =D (X) +D (Y) +2Cov (X, Y)【答疑编号：10040306针对该题提问】证明口(月十 F)二 S(X + E(X+Y)广二切(X - E(X) +(y-E(Y)f =E(X-E (X)内 +E(Y-E 尸十洱lXEOO(Y-E 二DCO+DGHZCovKY)【例4-31】已知 函二w)=i二环求口 u+n值年为【答疑编号：10040307针对该题提问】口 (X + F) = D(X) +。(门 + 2aM 区)-D(X) + D(Y) + 2 %叵 ,亚而解：=4+1+2MQ, 6*2x14 4,DQX- 2门=力0)+3(-2门 + 20廿0工-管)二 35匠+(-2 尸 DY-12Cov(Xn=%?( + 4。叱)-12M0 阀而 =36+4-12x0,6x2x1= 25.6.性质若(X, Y)N 3也%R”)则(X, Y)的相关系数为 0 ,且有X与Y独立a Q =