欧氏空间复习

1、欧氏空间复习一、欧氏空间定义如果V是实数域R上维线性空间，而且存在V上二元实函数(,)满足:(a,。) = (。,a)(ka + l。,y ) = k(a,y ) + l(。，y )(a,a ) 0，而且等于0的充分必要条件是a = 0其中a, p , y g V, k, l g R。则称V为具有内积(,)的欧氏空间，简称为欧氏空间。我们有：(a ,0) = 0(L k a , L l p ) = L L kl (a , p )i i j ji j i ji = 1j = 1i = 1 j = 1(a, p )2 0，而且等于0的充分必要条件是a = 0其中a, p , ye V, k, l

2、g C。则称V为具有内积(,)的酉空间，简称为酉空间。欧氏空间和酉 空间统称为内积空间。我们有：(a ,0) = 0(L k a , L l p ) = L L k l (a , p )， j j，j ， ji = 1j = 1i = 1 j = 1(a, p )2 0)；如果设 a = 8 , 8 ,8 X , p = 8 , 8 ,8 Y，则有:(a , p ) = XT AY12n12n二、标准正交基和正交补酉空间V的基8 , 8 , . , 8称为标准正交基，如果有(8 , 8 ) = 5。 1 2ni jij标准正交基的存在性一样可以通过施密特正交化方法证明。我们有：n维列复向量a

3、1, a 2, . , a为C n标准正交基的充分必要条件是矩阵A = a 1,a2,. ,a 满足ATA = E，换句话说A是酉矩阵。注意一个酉矩阵决定两组 正交基，一个是酉矩阵的列向量组，另外一个是酉交矩阵的行向量组。标准正交基的过度矩阵是酉矩阵。根据施密特正交化我们可以推出，对任意复可逆矩阵A存在酉矩阵U和上(或者下) 三角矩阵T使得A = TU或者A = UT。如果8 , 8 , . , 8为酉空间V的标准正交基，而且：12a = 8 , 8 ,，8 X ,。= 8 , 8 ,，8 Y12n12n则有(a , P ) = xTy。设W为酉空间V的子空间，则W在V的内积下也形成酉空间。如

4、果定义：W = a G V |(a, P ) = 0, P G W 则称W 1为W的正交补，正交补是直和补，因此有：W n W 1 = 0, WW 1 = V。三、重要变换和重要矩阵酉变换：n维酉空间V上线性变换b是酉变换的充分必要条件有：(ba , bp ) = (a, p ), V a, p g V ；| ba |=| a |, Va g Vd (ba ,bp ) = d (a, p ), Va, p g Vb在标准正交基下矩阵是酉矩阵；b将标准正交基变为标准正交基。注意酉变换是可逆变换。酉矩阵n阶复矩阵A是酉矩阵的的充分必要条件有：AtA = EAt = A-1A的行向量组为Cn (所以

5、n维复行向量全体)的标准正交基；A的列向量组为Cn (所以n维复列向量全体)的标准正交基；酉矩阵还具有：所有特征值的长度为1。不同特征值下特征向量正交；注意正交矩阵是酉矩 阵。对称变换：n维酉空间V上线性变换b是对称变换的充分必要条件是其在标准正交基 下矩阵为厄米特矩阵。厄米特矩阵：厄米特矩阵的特征值皆实数，不同特征值下的复特征向量正交，对于实 厄米特矩阵A我们还有：存在酉矩阵P，使得PtAP = P-1AP为对角矩阵，即A可以在复数域上对角化；A正(负)定充分必要条件是其特征值皆大(小)于0；6）A半正（负）定充分必要条件是其特征值皆大（小）于或者等于0;是非题1）。设W是有限维欧氏空间V的

6、子空间，b是V上线性变换，如果W是b的不变子空间， 则w 1是b的不变子空间。2）。设b是有限维欧氏空间V上线性变换，则b是正交变换的充分必要条件是b在V的基 下所对应的矩阵为正交矩阵。3）。设b是有限维欧氏空间V上线性变换，则b是对称变换的充分必要条件是b在V的基 下所对应的矩阵为对称矩阵。4）。有限维欧氏空间V的一组基的度量矩阵是实对称矩阵，但不一定是正定矩阵。5）。设气,a2,. ,a是欧氏空间V中一组元素，而且两两正交，则其线性无关。6）。设W是有限维欧氏空间V的子空间，则（W 1） 1 = W。7）。设W是有限维欧氏空间V的子空间，b是V上正交变换，如果W 1是b的不变子空间， 则W

7、是b的不变子空间。8）。设b是有限维欧氏空间V上的线性变换，而且任意a g V有| b （a ） |=| a |，则b是可逆 线性变换。8）。有限维欧氏空间V的子空间W正交补不唯一。10）。设e ,e ,，e为欧氏空间V的标准正交基，a ,a ,. ,a为V的一组基，则12n12na ,a ,. ,a至Ue ,e ,，e的过度矩阵为正交矩阵的充分必要条件是a ,a ,. ,a为V的 12n 12n12n标准正交基。11）。有限维欧氏空间V的任意两组基的度量矩阵是合同的。12）。实对称矩阵正定的充分必要条件是其特征值皆大于0。1.设A为欧氏空间V上的线形变换，且A2 = E .1）：求证A是V上

8、的正交变换的充分且必要条件为A是V上的的对称变换.2）设 V =匕 a g V, A a = a , V = x a g V, A a = -a ,求证 V = V + V 且是直和.证：1） A是V上的正交变换的o （A a, A P ） = （a, 0 ）, Va, 0 g Vn （A a, 0 ） = （A a, A 邛）=（a, A 0 ）, Va, 0 g V由于 A 是V上的对称变换o (A a, 0 ) = (a, A 0 ), Va, 0 g Vn (A a, A p ) = (a, A 邛)=(a, p ), Va, p e V2) Va e V 有a = (A a + a)

9、 + (- A a + a)，而且：11(A a + a) e V , (一 A a + a) e V 2所以V =匕+七。又因为ae V c V 时有 A a = a, A a = -a ,则 a = 0。所以V =匕+ V2为直和。3.设A是欧氏空间V上线性变换，记：V = a |a a = a, a e V V =x A a a e V ,显然匕,V2为V的子空间，试分别就A是V上对称变换和正交变换求证：V = V1V2 (其 中表示空间直和)。证明：设a e V1 PI V2，则存在p e V使得a = p - A p，所以：(a, a ) = (a, p - A p ) = (a,

10、p ) - (a, A p )当A是对称变换时候，上式为(a, p ) - (A a, p ) = (a, p ) - (a, p ) = 0 (因为A a =a )；当A是正交变换时候，上式 为(a, p ) - (A a, A p ) = (a, p ) - (a, p ) = 0。所以a = 0，即V1 P V2 = 0，所以 V1 + V2 = V1 V2。又因为:V1 =匕 |(A -1)a = 0)，V2 = A - I)ahe V 即匕,V2分别为线性变换A - I的核和值域，所以有dim V1 + dim V2 = n，则有V =匕V2。相似题目：I .设V是n维欧氏空间，内积

11、记为(a , p )，又设T是V的一个正交变换，记V = a e V I Ta = -a ，V = a + Ta | a e V。试证明：(1) V、V 都是V 的子空间；(2) V = V V。II.设 A 是 V 上正交变换，记：V = a |a a = a, a e V 】V = x A a |a e V ，显然 V , V为V的子空间，求证：V = V1V2。若A是V上对称变换或反对称变换，上述结论是否正 确。4.设A是欧氏空间V上对称线性变换，即满足(A (a ),p ) = (a, A (p ),记:V = x A (a) =a,ae V , V = x A (a) = -a ,a

12、 e V ，V2，V32(a) -ae V 。：证明V + V是直和；：求证(V + V )V = V (表示直和)。证明：1)设 v e V , v e V，而且 v = v，所以 A(v ) = v , A(v ) = -v，则 v = v = 0112212112212所以V1 + V2是直和。2)：首先证明下面结论:如果 咯=|b (v) = v, v e V W2 = k (v) - v|v e V ，B 为 V 上对称变换，则:w 1 W 2 = V。设v e W1 w2，则有 v = B(v1) - v1，所以(v, v) = (v, B (v ) v ) = (v, B (v

13、) - (v, v ) = (B (v), v ) - (v, v ) = (v, v ) - (v, v ) = 011111111由此知道v = 0，既w. + w是直和。又 w 1 = C-1(0), w2 = C(V)，其中 C = B E，所以：维(W1 ) + 维(w2 ) =n,所以结论成 立。设A的n个特征值1的个数为s，-1的个数为所以人2特征值为1的个数是s+r，没有-1 特征值。因为V1为A的特征值为1的特征子空间，V2为A的特征值为-1的特征子空间，所 以V维数为s，V维数为r。由此知道V + V的维数为s+r，而且为A2特征值为1的特征子 空间(因为A 2为对称变换)

14、。所以V1 + V2 = V4 = i |A 2(v) = v, v e V ，这样由前证结论知道所要证明结论成立。设a ,t是数域F上n维欧氏空间V上的两个个线性变换，对于任意 a , p e V都有 (。(a ), p ) = (a,t (p )，证明 a1(0) =t (V)1。证明：Vaea-1(0), p e V，有 0 = (0, p ) = (a (a), p ) = (a, t (p )，所以 a eT (V)1 b T(0) CT (V)1 ;如果 P GT (V)1, Y e V，有 0 = (0 , t (y ) = (b (0 ), y ),即 b (0 )与 V 中

15、每个元素正交，所以与自己正交，则b (0 ) = 0，所以pebT(0)，即t (V)1 c b - 1(0)。 因此t (V)1 = b - 1(0)。相似题目：I.设B是欧氏空间V上变换，A是欧氏空间V上线性变换且有：(A a, 0 ) = (a, B 0 ), Va, 0 e V。证明： B是V上线性变换；A-1(0) = (B V)i( A -1(0)为 A 的核，B(V) 1 为 B(V)的正交补)。解：1)略。2)：如果a g A -1(0)，0 g B(V)，则有0 = (A (a ),0 ) = (a,B(0 )，由此知道a e B(V) 1， 反之亦然。 设V为n维欧氏空间，

16、A为V上的线性变换，如果a 1, -a 1是V中n - 1个线性无关的 向量，且A (0 )与0分别与a 1, .a 1正交(0不为0)。求证：0为A的特征向量。证明：设V1为a 1, .a .1生成的V子空间，所以V1的正交补是一维空间，而且A (0 )与0在 此正交补中，所以有数人，使：A(0 )=人0。所以结论成立设V为欧氏空间，A是V上对称变换，求证：对任意a e V，都有(A a, a) 0充要条 件是A的特征值全大于或等于0。证明：设a , a , , a 为V的标准正交基，而且A (a) = Xa ,则对任意a e V,有 a = 2. k a，这样我们有：(A a , a) = ( X k a , k a ) = Y X k 2，所以对任 i ii i ij ji ii = 1i = 1j = 1i = 1意a e V，都有(A a, a) 0充要条件是X 0，即A的特征值全大于或等于0。 设V为欧氏空间，V的维数为n，若a 1, .a. 1是V中n-1个线性无关的向量，且0 1,0 2 分别与a 1, .a 1正交。求证：0 1,0 2线性相关。证明：设W = L(a ,a , ,a )，则有V = WW i，因为。