浅谈在初中数学教学中学生发散性思维能力的培养

1、浅谈在初中数学教学中学生发散性思维能力的培养一、发散性思维的特征。发散思维是一种不依常规，寻求多变，多方面寻求答案的思维。这种思维方法要求从一个目标或思维起点出发， 沿着不同方向， 顺应各个角度， 提出各种设想， 寻求各种解题途径去分析和解决问题。 发散性思维的流畅性、 变通性和独特性可以有效地拓展学生的思维广度和深度， 是进行发明创造所不可缺少的思维品质。二、数学教学培养学生发散性思维能力的意义。美国心理学家J- S布鲁纳认为，要培养具有发明创造才能的科技人才，不但要使学生掌握科学的基本概念、 基本原理和基本方法， 而且要发展学生对待学习的探索性态度。而发散性思维就是通过多问、多思、多变等方

2、式方法，引导学生从不同角度、 不同思路去探索、 思考问题。 教师在教学过程中通过有目的、 有意识地提供培养学生发散思维的时间和空间， 通过对问题的发散、 条件结论的变换、 图形的迁移变换、 解题思路和知识应用等方面训练， 指导学生不拘泥狭隘的解题思路， 突破单一的思维模式， 允许学生、 鼓励学生敢于在分析问题中突破陈规，大胆设想，独特见解，标新立异，培养思维的独创性。徐利治教授指出： 任何一位科学家的创造力， 可用如下的公式来估计： 创造能力=知识量X发散思维能力。由此可见，发散性思维能力对培养人的发展和成才有着至关重要的作用。在数学教学中重视和运用发散思维，有利于教师创设良好的课堂教学情景，

3、教师通过一题多解、一题多变、一图多用的方式方法提出各类问题，激发学生的好奇心和求知欲。 当学生在教师引导下， 带着积极的情感去学习思考时，他们的思维就更加活跃， 学生的智力活动就能得到充分的施展。 当学生的无意知觉和有意知觉趋于和谐时， 就能创设最融恰、 最顺畅的课堂气氛， 获得最佳的学习效果。在数学教学中重视和运用发散思维， 可以突破消极的思维定势， 打破习惯性的思维程序。 因为数学教学中从概念的分析、 理解， 公式、 定理的初步应用，首先必须让学生形成一种思维定势， 并且必须通过巩固练习强化这一思维定势的积极作用。教师如果在教学中不及时、有效地通过思维的发散训练去矫正，就会形成学生思维的呆

4、板和单向性， 沿用一个固定的思路去分析思考问题， 只会模仿制作不会发明创造。 思维定势所表现出来的惰性就会造成学生认知结构的简单化； 只有知识点的堆积， 而缺少知识点的联系， 只有感性的片面、 零星、局部的知识， 而没有全面的、 完整的知识体系， 最终形成学生数学学习的思维障碍。在数学教学中重视和应用发散思维，更有利于知识的纵向和横向的联系， 拓宽学生知识面。知识是思维的对象，无知或少知，学生的思维便难于发散； 能力是思维的结晶，多思广想，多疑善解，学生的思维就会闪耀出探新与独创 的智慧火花。提出一个问题，要求学生从不同角度、不同方位快速联想，使学 生从“知识点”发展到“线和面”乃至整个数学空

5、间。对数学命题的变换和延 伸有如枝叶蔓衍、纵横交错，有助于学生达到举一反三、触类旁通的数学境界， 达到教师对学生既要“授之以鱼”，更要“授之以渔”的真正目的。三、发散性思维的培养和训练。一题多解是培养学生发散性思维的重要手段。首先发散性思维是变通的，因此，在教学过程中，对一些有代表性问题的 解决，教师要充分利用学生学过的基础知识和基本技能，调动一切做题手段， 从各个侧面论证同一命题的真实性。通过分析比较，让学生知道哪种方法灵活 巧妙，具有思维的敏捷、灵活性和流畅性；哪种方法呆板沉繁，具有思维的局 限性。教师要通过一题多解的分析训练，让学生在普遍性中寻求规律性，融数 形结合等数学思想于一体，优化

6、解题方法、拓宽解题思路的广度和深度。 TOC o 1-5 h z 例1:已知 ABC, AB=AC, D是底边BC上任意一点，DELAB于E, DFLAC于F, BG是AC边上的高，求证：DE+DF=BG （如A图）分析提问：，一这是属于哪一类题型的几何证明题？（线段和差问；，.、：题）常用证明方法是什么？（截长补短法）夕尸 c可采用怎样的方法来证？（添加辅助线）,1怎样添加辅助线？（过D点画DHHL BG需要运用哪些性质来证明？（全等三角形性质和矩形性质）这样从学生 实际出发，由易到难循序渐进地教给学生分析问题、解决问题的基本思维方法。还有别的添线方法吗？（引导学生思维简单发散求异，分析出过

7、B点作 FD的垂线交FD延长线于（在学生掌握了分析问题的基本方法后， 教师应引导学生从不同角度、不同 方向探索思路，抓住各部分知识点的联系及方法间的联系，一题多解、发散求 异。DE DE BG分别是AABD ACDffi ABC中的什么线段？（高）三角 形的高与什么有关？（面积）那么你能用面积法证明吗？ BDE ACDF BC是什么三角形？（直角三角形），/B与/C有怎样数量关系？（相等） 直角三角形的边与角有怎样的关系？（三角函数关系）那么你是否能运用三角 函数性质证明结论？这样发散性分析、引导，融几何知识、面积公式、三角函数等数学知识于一体，既培养了学生发散性思维的变通性、 灵活性，又对培

8、养学生分析问题思 维创新、解决问题方法创新有良好的效果。例2:解方程：用手2分析：这是一个什么方程？（二次根式方程）常规的解法是什么？（两边平方去根号法）这题左边有几个根号？（两个）常规处理该怎样做？（把一个根号移到右边，然后再两边平方）这题的两个根号有什么特点？你能否看出来？（通过仔细观察后，发 现根号内的代数式是互为倒数），那么寸:管 与是否也互为倒数？ （是）为什么？那么解这题时该选择怎样的方法？（两边直接平方法）为什么？ （因 为两个互为倒数的积为1,乘积项不含根号，因此一次平方就可以去根 号）。在学生掌握了常规的解法后，教师可以引导学生挖掘题目的隐含条件， 思 维发散求异，寻求更好、

9、更简捷的解法。题中左边两个根式是何关系？（互为倒数）若设其中一个为 y,则另一 个可以怎样表示？ （ 9 ）那么原二次根式方程可以转化为一个怎样的方程？ （含 字母y的分式方程），这是运用了什么方法解题？（换元法），你能做吗？在以上的观察中，我们已经发现方程左边是两个互为倒数的和， 那么右 边的微是否有一定的特殊性呢？（让学生观察、思考，短时间内多数学生不会理解成2+g）,教师再引导，微的整数部分是几？ （ 2）0分数部分呢（）,那么2与斗是什么关系？（互为倒数，学生思维活跃通顺了）既然方程左边的代 数式和右边的数都是两个互为倒数的和；那么左边的代数式与右边的数之间又 有怎样的关系呢？（引导学

10、生得出原方程与 后=2或/零同同解）。这样的 解法与前两种相比谁优谁劣显而易见，学生的思维活动和学习兴奋点达到了高 潮。数学解题的简洁美在这里得到了充分的展现。当素质教育要求课堂教学以思维为核心，培养学生的思维品质和思维习 惯，实现知识向智慧转化时，一题多解的发散性思维以其独有的变通性， 启发学生在解题的过程中不断探索新的方法，寻找新的途径，从而去发现和创造。因此，一题多解的发散性思维训练。既沟通了不同部分的知识和方法间的联系， 又开拓了解题思路，对于开发学生的智力潜能有着不可低估的作用。一题多变，是培养发散性思维的重要技巧。发散性思维又是流畅的。在数学教学过程中，一些表面看来一般但内涵却 十

11、分丰富的问题，是一个可以发展和发掘的问题。教师要通过精心策划、设计、 组织学生主动地参与到“知识生产”的过程中去。教师要尽力施展自己潜在的发散性思维能力，启发引导学生进行纵、横向的拓展，使之成为学生思维发展的发散源，让学生在一题多变中开阔思路、提高能力，在变化条件、发散结论、 改变形式、转换背景、适时引申中使题目具有开放性和幅射性，通过解一题，带一片，强化知识的正迁移。例3:如图，当 ABC是顶角为钝角的等腰三角形时，你能画出图形,证明题给的结论吗？（腰上的高在形外，对学生画图、看图、识图，增加了难度）如图，在矩形 ABCm，AD=12, AB=5, P是AD 上任意一点，PE, AC于 E,

12、 PF, BD于 F,则 P&PF =?（98全国初数竞赛题）（让学生观察分析实质是在等腰 三角形ACD求解，思维又深化了一个层次）如图，若D是底边BC延长线上一点，则DE DF、BG三个线段有怎样的数量关系？（让学生画图、观 察、猜想，然后证明）图如图，若P是正AB任意一点，PEBC于E, PFAB于 F, PGL AC于 G,贝（J PEfPF+PGLtzAH有什么样 的数量关系？ （97年全国初中数学竞赛题）。（启发引导学生通过添加辅助转化为等腰三角形的问题， 思维层次进步深化）又如例2的变式训练：解方程3xx2 1x2 153x2解方程AlAl25 /259加干4 I x 1x i12

13、 I 12告i提高了解题的难度）解方程 方 正 3 （与例2相区别）你能归纳出一类形如x x a a方程的一般解法吗？（让学生总结规律）你是否还能通否适当的变形解方程 X工a，（这里巧妙运用等式性质两边加上“-1 ”是学生始料不及的，只有通过有目的的思维逐步深化才能 发现比用常规解法的运算简洁了很多。因此学生对学习的收获也就会意外的惊 喜，在这里数学的魅力和价值得到了真正的体现） 。象这样的一题多解和一题多变，教师引导学生在“发散中求异”，在“发现中求同”。既培养了发散性思维，又培养了归纳思维能力，让学生真正领略 解一题，有多法；做一题懂一类，触类旁通、举一反三。数学的知识就会转化 为学生智慧

14、的结晶。只要教师精心设计，加强对课本上例、习题和数学命题的变换、延伸和拓 展，有如枝叶蔓延，纵横交错，既可丰富学生的表象贮备，扩大思维的流畅性， 又能促使学生知识综合运用能力的提高。只要不离开问题，发散的面越大越好， 使学生对原问题的认识更加深刻，知识间的联系就会得到强化，思维的创造性 素质必将得以发展。因此，教师在平时的教学实践中，培养学生的发散性思维贵在精心设计， 把学生的思维引入求新、求异的天地，激发学生的认知兴趣和创造欲望，就能 让学生尝到发现、创造和成功后的喜悦。思维的深度和广度就会得到良好的培 养发展。指导学生探索非常规解法是培养发散性思维的重要训练方法。发散性思维更具有独特性，因

15、此，教师在平时的数学教学中，对一些构思 巧妙，版条件隐蔽的问题的解决，教师要指导学生在熟练掌握常规思维方法的 同时，探索一些不同寻常的非常规解法。如数形结合法、构造法、代换法等。如例1的面积证法和三角函数证法，例 2的同解性方法等都是很好的范例。例4:已知方程x2 gx m 0的两个实根都在-1和1之间，求m的取值范围。分析：学生根据习惯性思维求出两个根，列出如1、；1 4m下不等式组：11初中学生直接解题肯定会1 1 21有很大困难。但教师只要引导学生把方程的“根”与抛物线与X 轴“交点”联系起来，由方程问题转化为二次函数问 题来解决。构造y X2 1x m的二次函数，画出草图（如图），结合

16、图像分析可得出结论，当 x=-1时，y0和当x=1时，y0, （1）2 7 （ 1） m0得下列不等式组12 2 m 0 解得gm 。4 4m 0通过运用非常规方法解题的教学，学生的思维得到了独特的发散，学会了 用前所未有的新角度、新观点去解决数学问题，既克服了思维定势的束缚和知 识的负迁移，又培养了思维的灵活性。改编例题、习题为思维发散题是培养学生发散性思维能力的有效载体。因为发散性思维在思维内容上具有流畅性、变通性、深刻性；在思维方向上具有逆向性、横向性和多向性，所以，发散思维对推广问题、引伸知识等方 面具有积极开拓作用。对例、习题的条件进行发散，一方面可以提高数学问题的层次，另一方面又可

17、以暴露学生的思维层次，具有举 一反三的作用。例5 （浙义教数学第六册P136例1）如图,A ABC中，Z ACB:RtZ, CDLAB于 D,若AD=2Cm, DB=6cm,求 CD的长？可改编为：在Rt A ABC中，/ACBRt/, CDL AB于D,试给出两个条件，以确定 CD的长。然后让学生边给条件，边计算，既刺激了学生的求知欲，变被动练习为主 动练习，又激发了学生的学习兴趣。持之以恒，学生对数学学习会产生一种愉 悦的心情。而结论的发散则要求学生根据条件， 尽可能多得确定未知元素，并求解这 些未知元素。这一过程充分暴露了发散性思维的深度和广度。例6 （浙义教数学第四册P33例）如图，已

18、知：在四边形 ABC时，E、F、GH分别是AB BG CD DA的中点，求证：四边形 EFGK平行四边形。可改编为：任意画出一个四边形，顺次连接四 边中点，观察所得的图形是什么四边形？并给以证 明。在教师的引导下，先让学生画矩形、菱形、正方形、等腰梯形等特殊图形，通过画图一一观察变化一一探求规律， 从而发现 结论。再引导学生画任意四边形，一般梯形、对角线相等的四边形、对角线互 相垂直的四边形、对角线既相等又互相垂直的四边形，再让学生通过画图一一 猜想转化论证。这种改编题目条件或结论方法， 充分运用了变化的观点， 不断变换问题情景，使知识纵横变通，纵深发展，思维的灵活性、深刻性得到充分的体现，是运用发散性思维提高学生数学能力的好方法。综上所述， 教师在数学教学中注重对学生发散性思维能力的培养训练， 能有效地突破思维定势的局限性， 思维重现了以往记忆和储存的信息。 通过变换、延伸、多思、多