全等三角形经典例题含答案

1、全等三角形证明题精选一.解答题(共30小题)F.四边形 ABCD 中，AD=BC , BE=DF , AE BD , CFXBD ,垂足分别为 E、 (1)求证： ADEA CBF;(2)若AC与BD相交于点 O,求证：AO=CO .如图，已知点 B, E, C, F在一条直线上， AB=DF , AC=DE , / A= / D .(1)求证：AC / DE;(2)若 BF=13, EC=5,求 BC 的长.BE=CD .如图，BD AC于点D, CEXAB于点E, AD=AE .求证:.如图，点 O是线段AB和线段CD的中点.(1)求证： AODA BOC;(2)求证：AD/BC.如图：点

2、 C 是 AE 的中点，/ A=/ECD, AB=CD ,求证：/ B= / D.求证:.如图，已知 ABC 和 DAE , D 是 AC 上一点，AD=AB , DE / AB , DE=AC . AE=BC .如图，AB / CD, E 是 CD 上一点，BE 交 AD 于点 F, EF=BF .求证：AF=DF .DE.如图，点 B、E、C、F在同一条直线上， AB=DE , AC=DF , BE=CF ,求证：AB.如图，点 D是AB上一点，DF交AC于点E, DE=FE , FC/AB 求证：AE=CE .如图，点 A、C、D、B 四点共线，且 AC=BD , / A=/B, / A

3、DE= /BCF,求证：DE=CF .如图，点 A, B, C, D 在同一条直线上， CE/DF, EC=BD , AC=FD .求证：AE=FB .12,已知 ABN 和ACM 位置如图所示， AB=AC , AD=AE , / 1 = /2.(1)求证：BD=CE;(2)求证：/ M= / N.如图，BE AC, CDXAB ,垂足分别为 E, D, BE=CD .求证：AB=AC .如图，在 ABC 和ACED 中，AB /CD, AB=CE , AC=CD ,求证：/ B= / E.如图，在 ABC 中，AD 平分/ BAC ,且 BD=CD , DE LAB 于点 E, DFXAC

4、 于点 F.(1)求证：AB=AC ;(2)若 AD=2收，/ DAC=30 ,求 AC 的长.如图，RtAABCRtADBF, Z ACB= Z DFB=90 , Z D=28 ,求/ GBF 的度数.17.如图，已知 AC BC , BDXAD ,AC与BD交于O, AC=BD .求证: ABCA BAD .18.已知：如图，点 B、F、C、 求证： ABCA DEF .E 在一条直线上， BF=CE, AC=DF ,且 AC / DF .19.已知：点 A、C、B、D在同一条直线, ABM CDN ,并给出证明.(1)你添加的条件是：;(2)证明：M=/N, AM=CN .请你添加一个条

5、件，使/ B=/C.21.如图，在 ABC中，AD是4ABC的中线，分别过点 B、C作AD及其延长线的垂线 BE、CF,垂足分别为点 E、F.22. 一个平分角的仪器如图所示，其中AB=ADBC=DC ,求证：/ BAC= ZDAC .在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上）并写出四个条件： AB=DE ,BF=EC,/B=/E,/1 = /2.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明.题设： ；结论： .（均填写序号）.如图，在 ABC 和4DEF 中，AB=DE , BE=CF , / B=/1.求证：AC=DF

6、 .（要求：写出证明过程中的重要依据）.如图，已知 AB=DC , AC=DB .求证：/ 1 = /2.如图，D、E分别为 ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于。点.现有四个条 件： AB=AC ; OB=OC ; / ABE= / ACD ; BE=CD .(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是 和,命题的结论是 和 (均填序号)；(2)证明你写出的命题.如图，已知 AB / DE, AB=DE , AF=DC ,请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一 对给予证明.如图所示，在梯形 ABCD中，AD / BC, /B=/C,点E是BC边

7、上的中点. 求证：AE=DE .如图，给出下列论断：DE=CE,/1 = /2,/3=/4.请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明.已知：如图，/ ACB=90 , AC=BC , CD是经过点 C的一条直线，过点 A、B分别作CE=BF.全等三角形证明题精选参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)(2016施云港)四边形 ABCD 中，AD=BC , BE=DF , AE BD , CFXBD ,垂足分别为 E、F.(1)求证： ADEA CBF;(2)若AC与BD相交于点 O,求证：AO=CO .RtAADE RtACBF, / ADE= / CBF ,.A

8、D / BC,四边形ABCD是平行四边形, .AO=CO .【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,角形的判定和性质是解题的关键.【分析】(1)根据已知条件得到 BF=DE ,由垂直的定义得到/ AED= / CFB=90 ,根据全等 三角形的判定定理即可得到结论；(2)如图，连接AC交BD于O,根据全等三角形的性质得到/ADE= / CBF ,由平行线的判定得到AD / BC,根据平行四边形的性质即可得到结论.【解答】 证明：(1) BE=DF ,.BE - EF=DF - EF,即 BF=DE,. AE BD , CFXBD ,/ AED= / CFB=90 ,在 RtAADE 与 Rt

9、ACBF 中，J 皿一巳， 眸BF RtAADE RtACBF;(2)如图，连接AC交BD于O,平行四边形的判定和性质， 熟练掌握全等三2. (2016?曲靖)如图，已知点 B, E, C, F 在一条直线上， AB=DF , AC=DE , / A= / D. (1)求证：AC / DE;(2)若 BF=13, EC=5,求 BC 的长.【分析】(1)首先证明 ABC0DFE可得/ ACE=/DEF,进而可得 AC/ DE ;(2)根据 ABCDFE可得BC=EF ,利用等式的性质可得 EB=CF ,再由BF=13, EC=5 进而可得EB的长，然后可得答案.【解答】(1)证明：在4 ABC

10、和 DFE中| ZA=ZD ,I.4DEABCA DFE (SAS),/ ACE= / DEF ,.AC / DE;(2)解：. ABCA DFE,.BC=EF ,.CB - EC=EF - EC,.EB=CF ,. BF=13, EC=5,EB=二二4z .CB=4+5=9.【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.(2016/感)如图，BD XAC 于点 D, CEXAB 于点 E, AD=AE .求证：BE=CD .【分析】要证明BE=CD,只要证明AB=AC即可，由条件可

11、以求得 AEC和4ADB全等, 从而可以证得结论.【解答】 证明； BDXAC于点D, CEXAB于点E,ADB= / AEC=90 ,在 ADB和 AEC中，NADE = NAECAD=AEZA=ZAADBA AEC (ASA).AB=AC ,又 AD=AE ,.BE=CD .【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件.(2016?湘西州)如图，点 O是线段AB和线段CD的中点.(1)求证： AODA BOC;(2)求证：AD/BC.【分析】(1)由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO , CO=DO ,结合对顶角相 等，即可利用全等三角

12、形的判定定理(SAS)证出 AOD ABOC ;(2)结合全等三角形的性质可得出/A=/B,依据 内错角相等，两直线平行”即可证出结论.【解答】 证明：(1)二.点O是线段AB和线段CD的中点，.AO=BO , CO=DO.fac=bo在 AOD 和 BOC 中，有，ZA0D-ZB0C ,3 二 DO.AOD，BOC (SAS).(2) .AOD BOC ,. . / A= / B ,.AD / BC.【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：(1)利用SAS证出AODBOC; (2)找出/ A= / B .本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全

13、等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可.5. (2016南南)如图：点 C是AE的中点,/ A= / ECD , AB=CD ,求证：/ B= / D.【分析】根据全等三角形的判定方法 SAS,即可证明 ABCA CDE,根据全等三角形的性质：得出结论.【解答】证明：二点C是AE的中点, .AC=CE ,在 ABC和 CDE中,ABCA CDE , ./ B=Z D.rAC=CE，/虻/ECD,【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法:SSS, SAS, ASA ,AAS ,直角三角形还有 HL .6

14、. （2016?宁德）如图，已知 ABC 和 DAE , D 是 AC 上一点，AD=AB , DE / AB , DE=AC .求 证：AE=BC .【分析】 根据平行线的性质找出/ ADE= / BAC ,借助全等三角形的判定定理ASA证出ADE BAC ,由此即可得出 AE=BC .【解答】 证明： DE/AB,/ ADE= / BAC .AD =BA在4ADE 和 BAC 中，ZADE=ZBAC, tDE二ACADEA BAC (ASA),.AE=BC .【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.（2016?十堰）如图,AB / CD, E 是

15、 CD 上一点，BE 交 AD 于点 F, EF=BF .求证：AF=DF .c ED【分析】 欲证明AF=DF只要证明 ABFDEF即可解决问题.【解答】 证明：; AB / CD,B=Z FED, 在 ABF和 DEF中， 2E 二/FED ，即二EF,AFB=ZEFBABFADEF, .AF=DF .【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型.（2016孤汉）如图，点 B、E、C、F在同一条直线上， AB=DE , AC=DF , BE=CF ,求【分析】证明它们所在的三角形全等即

16、可.根据等式的性质可得BC=EF .运用SSS证明ABC与4DEF全等.【解答】证明：; BE=CF,.BC=EF ,在 ABC与 DEF中，AB二DE，AC=DF,t BCRFABCA DEF （SSS）,/ ABC= / DEF ,.AB / DE.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定.全等三角形的判定定理有 SAS, ASA,AAS,SSS,全等三角形的对应角相等.（2016?昆明）如图，点 D是AB上一点，DF交AC于点E, DE=FE , FC / AB求证：AE=CE.【分析】根据平行线的性质得出/ A= / ECF , / ADE= / CFE,再根据全等三角形的判定定理AA

17、S得出 ADEA CFE,即可得出答案.【解答】 证明：; FC/AB,，/A=/ECF, /ADE=/CFE,在 ADE和 CFE中，rZDAE=ZFCE，/ADE=/CFE,bDE=?EADEA CFE (AAS),.AE=CE .【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理 SSS、SASASA、AAS、HL是解题的关键.(2016?衡阳)如图，点 A、C、D、B 四点共线，且 AC=BD , /A=/B, / ADE= / BCF , 求证：DE=CF.【分析】 求出AD=BC ,根据ASA推出 AEDA BFC ,根据全等三角形的性质得出即可. 【解答】证明：;

18、 AC=BD , .AC+CD=BD+CD, .AD=BC , 在 AED和 BFC中， irZA=ZB，虹I二BC,kZADE=ZBCFAEDA BFC (ASA), DE=CF .【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出 AEDBFC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等.（2016?重庆）如图，点 A, B, C, D 在同一条直线上， CE/DF, EC=BD , AC=FD .求 证：AE=FB .E【分析】 根据CE / DF ,可得/ ACE= / D ,再利用SAS证明 ACEA FDB ,得出对应边 相等即可.【解答】 证明： CE/ DF,/ ACE=

19、 / D,在 ACE和 FDB中， ZACE=ZD ,bEC=BEACEA FDB (SAS),.AE=FB .【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质， 证明三角形全等是解决问题的关键.(2016?南充)已知 ABN 和4ACM 位置如图所示， AB=AC , AD=AE , /1 = /2.(1)求证：BD=CE;(2)求证：/ M= / N.【分析】(1)由SAS证明 ABD ACE,得出对应边相等即可(2)证出/ BAN= / CAM ,由全等三角形的性质得出/B=/C,由AAS证明 ACMABN ,得出对应角相等即可.Mac【解答】(1)证明：在

20、 ABD ACE中，4 Z1=Z2,IABDA ACE (SAS),BD=CE ;(2)证明：.一/ 1 = /2,. / 1 + / DAE= Z2+Z DAE ,即 / BAN= / CAM ,由(1)得： ABD ACE , ./ B=Z C,2c 二 Nr在ACM 和ABN 中，* AC=AB，IZCO=ZBAN. ACM ABN (ASA),，/ M= Z N.【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键.（2016?恩施州）如图，BE AC , CDXAB ,垂足分别为 E, D, BE=CD .求证：AB=AC .RtACBE RtABCD）的对应角

21、相等得到/ ECB= Z DBC ,则AB=AC .CD AB ,.在 RtACBE 与 RtABCD中,BE=CDBC 二 CB【解答】 证明：.BEX AC ./ CEB=/BDC=90 . RtACBERtABCD (HL),/ ECB= / DBC , .AB=AC .【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.（2016?重庆）如图，在 ABC 和4CED 中，AB /CD, AB=CE , AC=CD ,求证：/【分析】根据两直线平行，内错角相等可得/BAC= ZECD,再利用

22、 边角边”证明 ABC和 CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可.【解答】 证明：; AB / CD,/ BAC= / ECD,在 ABC和 CED中，rAD=CEZBAC=ZECD,kAC二CDABCA CED （SAS）, ./ B=Z E.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键.(2016?湖北襄阳)如图，在 ABC中，AD平分/ BAC ,且BD=CD , DE LAB于点E, DFXAC 于点 F.(1)求证：AB=AC ;(2)若 AD=2久,D DAC=30 ,求 AC 的长.B D C【分析】(

23、1)先证明 DEBDFC得/ B=/C由此即可证明.(2)先证明AD BC,再在RTA ADC中，利用30角性质设CD=a , AC=2a ,根据勾股定 理列出方程即可解决问题.【解答】(1)证明：.AD平分/ BAC, DEXAB于点E, DFXAC于点F,. DE=DF , / DEB= / DFC=90 , 在 RTA DEB 和 RTADFC 中，；BD=DCDE 二 DF. DEBADFC,./ B=Z C, .AB=AC . AB=AC , BD=DC ,.-.AD BC,在 RTAADC 中，. / ADC=90 , AD=2不，/ DAC=30 ,.AC=2CD ,设 CD=a

24、,贝U AC=2a, . AC 2=AD 2+CD2, .4a2=a2+ (2 . =；) 2,.a0,a=2,.AC=2a=4 .【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30。性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半，属于中考常考题型.（2016?吉安校级一模）如图，RtAABCRtADBF, Z ACB= Z DFB=90 , Z D=28 ,求ZGBF的度数.【分析】根据全等三角形的性质得到 CD=AF ,证明， DGCA AGF,根据全等三角形的 性质和角平分线的判定得到/CBG= / FBG ,根据三角形内角和

25、定理计算即可.【解答】 解：RtAABCRtADBF , Z ACB= Z DFB=90 ,BC=BF , BD=BA ,.CD=AF ,在 DGC和 AGF中，irzD=ZA I ABC0DEF、BCFA EFC.证明：AB / DE, . . / A= / D .又ABuDE、AF=DC , ABFADEC.【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法， 看缺什么条件，再去证什么条件.（2004?昆明）如图所示，在梯形 ABCD中，AD / BC , /B=/C,点E是BC边上

26、的中 耳 八、求证：AE=DE .AEB DEC ,从而得出 AE=DE .【解答】 证明：.AD/BC, /B=/C,梯形ABCD是等腰梯形，.AB=DC ,在 AEB 与/ DEC 中，ABRC NB 二 NCBE=CEAEBADEC (SAS),.AE=DE .SSS、SAS、【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有:ASA、AAS、HL .注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时, 必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.(2004?淮安)如图，给出下列论断：DE=CE,/1 = /2,/3=/4.请你将其【分析】

27、可以有三个真命题:(1)？(3)？【解答】解：证明如下：3=/4,EA=EB .，可由ASA证得 ADEBCE ,所以DE=EC ;，可由SAS证得ADEBCE,所以/ 1 = /2;，可由 ASA 证得 ADEBCE ,所以 AE=BF , / 3= / 4.？在 ADE和 BCE中,rZl=Z2 BFXCD,垂足为 E、F,求证：CE=BF .C的一条直线,再禾I用（AAS ）【分析】 根据 AECD, BFXCD,求证/ BCF + Z B=90 ,可得/ ACF= / B 求证 BCFA CAE即可.【解答】 证明：.AEXCD, BFXCD/ AEC= / BFC=90 ./ BCF

28、 + Z B=90 . / ACB=90 ,./ BCF + Z ACF=90 / ACF= / B rZAEC=ZBFC在 BCF 和ACAE 中,ZACE=ZBBCF CAE (AAS).CE=BF .【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，解答此题的关键是利用 （AAS）求证 BCFA CAE ,要求学生应熟练掌握.全等三角形的典型习题一、全等在特殊图形中的运用1、如图，等边4ABC中，D、E分别是AB、CA上的动点，AD=CE试求/ DFB 的度数.2、如下图所示，等边 ABC中，D、E F是AB、BG CA上动点，AD=BE= CF,试力DEF的形状.3、如图，ZXAB

29、C和4ADE都是等边三角形, BE、AC相交于点G,线段BE、CD相交于点(1)试说明BE= CD的理由；线段BE CD相交于点H,线段H.请你解决以下问题：ECHGF(2)试求BE和CD的夹角/ FHE的度数Ex1、如下图所示， ABC和 ADE都是等边三角形，且点B、A、D在同一直 线上，AG BE相交于点G, AE、CD相交于点F,试说明AG= AF的理由.Ex2、如图，四边形 ABCD与BEFGffi是正方形，AG、CE相交于点O, AG、BC 相交于点M, BG、CE相交于点N,请你猜测AG与CE的关系（数量关系和位置关系）并说明理由.4、 ABC是等腰直角三角形， AB= AC,

30、Z BAC= 90, /B=/C=45, D是底边 BC的 中点，DEX DF,试用两种不同的方法说明 BE、CF、EF为边长的三角形是直角三角形。二.证明全等常用方法（截长发或补短法）5、如图所示，在 ABG中，/ ABO 2/G, / BAG的平分线交BG于点D.请 你试说明AB+ BD= AG的理由.Ex1, /G+ /D=180 , /1 = /2, /3=/4.试用截长法说明 AD+ BOAB.Ex2、五边形 ABCDE中,AB= AE,/ BAG / DAE= ZCAD/ABC+ / AED= 180 , 连结AG, AD.请你用补短法说明 虑）6、如图，正方形ABCD中，E是AB

31、上的点，F是BC上的点，且/ ED已45 .请 你试用补短法说明AE+ C已EF.Ex1.、如图所示，在 ABC中，边BC在直线 m上，4ABC外的四边形 ACDE 和四边形ABFG均为正方形，DN，m于N, FM，m于M.请你说明BO FM + DN的理由.（分别用截长法和补短法）（连结GE,你能说明&ABC= Sage吗？）三.全等在探究题中的运用7、数学课上，张老师出示了问题：如图 1,四边形ABCD是正方形，点 E是边BC的中点. AEF 90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证 AME 9A ECF ,所以 AE EF .（1）请你写出说明 AB84ECF的理由；在此基础上，同学们作了进一步的研究：（2）小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B,C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论 AE=EF仍然成立，你认为小颖的观点正 确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（3）小华提出：如图 3,点E是BC的延长线上（除 C点外）的