高中数学竞赛解题策略-几何分册第32章勃罗卡定理_第1页
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文档简介

1、第章勃罗卡定理勃罗卡 I K | 定理凸四边形 三内接于回,延长、交于点.延长、交于点.与交于 点.联结，则 三口 .,四点共圆（即取完全四边形的密克尔证法如图 臼,在射线上取一点，使得, 点），从而、及、分别四点共圆.分别注意到点、对 士的哥，士的半径为，则A、K /ME图 32_1以上两式相减得 W 即同理，又由上述两式，有 于是，由定差哥线定理，知 Ml .中，其密克尔点在直线证法如图 臼，注意到完全四边形的性质.在完全四边形上，且,由此知为过点的 回的弦的中点，亦即知，三点共线，从而同理，在完全四边形中，其密克尔点在直线上，且中，其密克尔点在直线上，且 此时， 即有 从而于是，知为 1

2、的垂心，故 三.证法如图 臼.注意到完全四边形的性质，在完全四边形.联结回、三、三、.由密克尔点的性质，知、四点共圆，、四点共圆,即知点在 同理，知点也在 由于三圆 W , 知，共线，故 该定理有如下推论的外接圆上.口 的外接圆上，亦即知 三J为三与日的公共弦.日 两两相交，由根心定理，知其三条公共弦，回 共点于.即推论凸四边形 W内接于回，延长、交于点，延长、交于点，与交于点，直线与直线交于点，则为完全四边形的密克尔点.事实上，若设为完全四边形三口 的密克尔点，则在上，且 WJ .由勃罗卡定理，知,即.而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直，从而 国与三重合，即与重合.推论凸四边形 三 内接

3、于圆，延长、交于点，延长、交于点，与交于点，为完全四边形的密克尔点的充要条件是于.推论凸四边形 匚三I内接于圆，延长、交于点，延长、交于点，与交于点，则为三I的垂心.事实上，由定理的证法即得，或者由极点公式： -, I 两两相减，再由定差哥线定理即证.下面给出定理及推论的应用实例.例（年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点，两对角线交于点，则圆心恰为 旧 的垂心.事实上，由推论知为目的垂心，再由垂心组的性质即知为目的垂心.例如图 山，凸四边形 二 内接于 二J ,延长，交于点，延长，交于点，与交于点，直 TOC o 1-5 h z 线交于点.求证：一.A图 32-2证明由勃罗卡定理知，=1 于点.延长交于点，则在完全四边形三口 中，点，调和分割，从而，为调和线束，而 三I于是平分 三 ,即 一,延长交直线于点（或无穷远点），则知，调和分割，同样可得一.故例（年全国高中联赛题）如图 目，锐角三角形 三的外心为，是边上一点（不是边的中 点），是线段延长线上一点，直线与交于，直线与交于点.求证：若 匚三I

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