高中数学三角形心的应用专题辅导

1、高中数学三角形“心”的应用梁克强三角形的外心、内心、重心、垂心，以及正三角形的中心与解析几何有关图形的性质 有机地结合，可拓宽应用的范围，使很多解析几何问题能简单明快地解决。下面先从一道高考题谈起。例1.如图1,已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A (1, 0),点P、Q在双曲线的右支 上，点m(m 0)到直线AP的距离为1,当m = J2+1时，a APQ勺内心恰好是点 M求此 双曲线方程。解：设双曲线方程为22 yx =1(b =0)b2由 M (12+1, 0), A(1, 0)得 |AM |=V2因为M是AAPQ勺内心，M到直线AP的距离为1所以/ MAP= 45AM是/ PAQ的平分

2、线且M到AQ PQ的距离均为1因此 kAP =1, kAQ - -1所以直线PQ: x = 2 +J2 ,直线AP: y =x1解得 P(2 .2, 1,2)代入x2=1得工=5+4，? =2叵-1b b 3 2 2故所求双曲线的方程为x2 -(2.2 -1)y2 =1点评：这是04年高考题，得分率不高。有些同学对“内心”的概念的理解就很含糊， 更别提与圆锥曲线的性质有机结合了。所以加强有关三角形的“心”的相关训练是很有必要的。例2.已知抛物线y2 =4x的通径为AR P是抛物线上非 A B的动点，分别过A、B作AP、 BP的垂线相交于 M点，求M点的轨迹方程。解：如图2, A、P、B M四点

3、共圆，圆心就是 PM的中点C,即AAPB的外心，故 C在 线段AB的垂直平分线，即 x轴上。1设 M (x, y) , P ( X0, y0),则 y0 = _y而 A (1, 2)所以kPA kMAy0 - 2 y - 2二IX0 -1 X -12 _4将代入上式得X0 = y T+1 x 7将1和2代入抛物线方程，得2y2 -4(-y) =4(1)X -1整理得(x -1)(y2 -4) -4(y2 - 4)由P与A、B不重合，可知y2 4#0所以M点的轨迹方程为X =5(y ；二2)例3.已知锐角A ABC的顶点A为动点，底边BC为定线段，它与高 AD的长均为 ABC的垂心H的轨迹方程。

4、解：以BC中点。为原点，直线 BC为x轴，建立直角坐标系。设 B(a, 0), C (a, 0), A (x, 2a),垂心 H (x, y)由垂心的定义，知 BH! ACy 2a即得 y 1(x；)x a x -a由于A ABC是锐角三角形所以垂心H的轨迹方程是 2ax =-2a(y -)(| x| a)22a,求 A例4.如图3,已知在A ABC边上作匀速运动的三点 D E、F,在时刻t = 0时,分别从A、B C出发，各以一定速度分别向 B、C A前进，在时刻t = 1时到达B C Ao试证在运动 过程中，A DEF的重心不变。分析：设A (xi,yi), b(T T TAB、BC、CA 的因为在同一时刻t(0 t 1) , D E、F分别于所在的位置分有向线段 比相同，所以ADBE CFtDB EC FA 1 -t利用定比分点坐标公式可以求得D(tx2(1-t)xvty2(1-t)yi)E(tx3(1-t)x2，ty3(1 -t)y2)F (tx1(1t)x3,ty1(1 -t)y3