高中数学抛物线焦点弦的有关结论

1、抛物线焦点弦的有关结论知识点1:若AB是过抛物线y2 2px p 0的焦点F的弦。设A %, y , B X2, y2 ,则(1) x1x2证明:2p；(2) y1y24如图，(1)若AB的斜率不存在时,x1x2X1 x2yxoB若AB的斜率存在时,设为k,则 AB : y与y22 Px联立，得k2 x2 pxk22 pxk2xix2xix2(2)xi2匕XC , x22p2 巨2p22yi y24pyy2但 yy20,yy2p2另证：设AB : x my p与y222px 联立，得 y2 2 pmy p20, y/(D知识点2:若AB是过抛物线y2 2px p 0的焦点F的弦。设A x1，y

2、1，B x2, y2 ,则每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路， 都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那 就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！2k2 x -2 px2,22k2x2k2 2px 二 042p k 1 一ABx1 x2 p 2,而 k tank2AB22 p 1 tantan22P2 sin知识点3:若AB是过抛物线y22px p 0的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。证明：过点A、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A

3、B,过AB中点M向准线引垂线，垂足为N,设以AB为直径的圆的半径为r,2rABAFBF AAiBBi2 MNMN以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。知识点4:若AB是过抛物线y2 2px p0的焦点的弦。过点A、B分别向抛物线 y*的准线引垂线，垂足分别为A、Bi,则AiFBi090 。证明借助于平行线和等腰三角形容易证明o知识点5:若AB是过抛物线y2 2px p0的焦点B的弦，抛物线的准线与x轴相交于点 K ,贝U AKF BKF.证明：过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为AAi / KF / BBiAKBiKAF工而AFFBAA,BFB1BFAKB1KA1AB1BA1KA1AB1KB1

4、B，而 AAiKBB1K90AAKs BB1KA KAB1KBAKF BKF每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路， 都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那 就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！知识点6:若AB是过抛物线y2 2px p 0的焦点F的弦，。为抛物线的顶点，连接AO并延长交该抛物线的准线于点 C,则BC/OF.证明：设 A x1, y1 , B x2, y2，则AB:y 4, C p 誓 x12 2x12、，pyiP pyc丁2-一2xi2

5、 y yi2p由知识点1知y1y2 p22 p yc2V2BC/OFp逆定理：若AB是过抛物线y2 2px p0的焦点F的弦，过点B作BCOF交抛物线准线于点C,则A、C、O三点共线证明略知识点7:若AB是过抛物线y2 2px p 0112 .m n p证法：(1)若AB x轴，则AB为通径，而112m n p.m n pAB2p,的焦点F的弦,(2)若AB与x轴不垂直，设 A x1，y1，B x2, y2,AB的斜率为k ,则l : y2y2 2 Px 联立，得 k2 x 2 px222,22.2k pk x k 2 px 04由抛物线的定义知m AFx1BFX2y2每一个人的成功之路或许都

6、不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路， 都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那 就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！x1 x2 pn mnxx2xx2知识点8:已知抛物线2Px p0中,AB为其过焦点F的弦,AFm, BFn,则S AOBP2 n4 m证明:设 AFx，则S AOBS AOFBOFS AOB1 2P4P cos7m逆定理：AM证明:S AOB而sinsinmsin1 2.2 2sin,nsin1 cosn.p2 mn已知抛物线m, BMmn2_ _2 sins

7、in2 pmn2 px0中，AB为其弦且与x轴相交于点M ,若n,且 S AOBm，则弦AB过焦点。 n设 A Xi, yi , B X2,y2AMx,M t,0而 S AOBco _1S AOMS BOM =tm sin2”,sin my y2mnsin2AOBitnsin 2yy2 mnnt，y1y2mn1m ntsin 21 m n2 mnt. yi y2t. yi y22 三2每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路， 都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那 就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！、l : x ay t 2又可设 2y 2pay 2pt 0y1y22Pty 2px由得t - AB恒过焦点匕0 22抛物线y2 2px p 0，过(2p, 0)的直线与之交于 A B两点，则OAOB反之也成立。小结：(1)抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题 时注意对这个梯形的运用；(2)万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义 .每一个人的成功之