活用抛物线焦点弦的四个结论

1、活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针 对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结 论即为具体表现之一.2.设AB是过抛物线y2 = 2px(p0)焦点F的弦，若A(x 1，y1), B(x2, y2),贝Qx x =p212 ;yy2=p2.IABI=X+x2+p= P (q是直线AB的倾斜角).sin2Q TOC o 1-5 h z 12(4) +1 =2为定值(F是抛物线的焦点).IAFI IBFI p【例1】过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A, B两点，若AFI =2IBFI，则 IA

2、BI 等于()A.4B?C.5D.62一般解法易知直线l的斜率存在，设为七则其方程为y=k(x1).yk (x 1)，由，得 k2X2 (2k2+4)x+k2=0，y2=4x得 Xa*b=1，因为IAFI = 2IBFI，由抛物线的定义得xA+1 = 2(xB+1)，即 Xa = 2Xb +1，由解得xA = 2，xB=， 29所以 ABI = AFI + IBFI=xA+xB+p=2.应用结论法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的 射影分别为D，。，作BE LAD于E，设IBF=m，直线l的倾斜角为仇则 IABI = 3m，由抛物线的定义知IADI = IAFI = 2

3、m, IBCI = IBFI=m, TOC o 1-5 h z 所以 cos。=匹=1,所以 tan 6=2 2.则 sin20=8cos2。，sin2=-.又 y2=4x, IABI 39知2p=4,故利用弦长公式IABI-2 =9 . sin26 21111323法二 因为IAFI = 2IBFI, 1 +工=+工=2=1,解得IBFI=3, AFIAFI IBFI 2IBFI IBFI 2IBFI p2=3，9故 IABI = IAFI + IBFI = 9 .2答案B 【例2】设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,D.94r b9_J B. 8B两点，O为

4、坐标原点，则方的面积为（）C，C.32一般解法由已知得焦点坐标为F4, ，因此直线AB的方程为 即 4x4 3y3 = 0.与抛物线方程联立，化简得4y2-12 3y9 = 0, 故 IyA-yB= （yA+yB）2-4yAyB = 6.1,13.9因此 S OAB = |OFIIyA-yB = X-X6 22 44应用结论由2p = 3,及ABI=3 sin2Q得 ABI=A =3 =12.=3,8sin2Q sin230原点到直线AB的距离刁=IOFIsin 30,1139故 SA0=IABId= X12X3=9228 4.答案D【例3】（2019-益阳、湘潭调研）如图，过抛物线y2 =

5、2px（p0）的焦点F的直线交抛物线于点A, 8,交其准线l于点C若F是AC的中点，且IAFI=4,则线段AB的长为（)A.5B.616C.3一般解法D.20如图，设l与x轴交于点M,过点A作ADl交l于点D由抛物线的定义知IADI = IAFI=4，由 F 是 AC 的中点，知 ADI = 2IMFI = 2p,所以2p=4,解得p = 2，所以抛物线的方程为y2=4x.设 A（x1，y1），B（x2，y2），ijIAFI=x1+p=x1 + 1=4，所以 x1 = 3，可得 y1 = 2 3， 23所以A（3, 2 3），又F（1，0），所以直线AF的斜率k= =3，所以直线AF3-1的方程为y= 3(x 1)，代入抛物线方程y2=4x得3x210 x+3 = 0,所以x1+x2 =1, AB=x1+x2+p=6 故选 C.3 *应用结论法又 x xp21 2 = 法二设 Ag y) B(x2, y2)，则MAg=x1+P=x1 + 1=4,所以 x1 = 3, 211所以