高考数学压轴专题2020-2021备战高考计数原理与概率统计基础测试题含答案解析

1、【高中数学】数学计数原理与概率统计复习知识点一、选择题1.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 7 23 .在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是1A.12【答案】C【解析】分析：先确定不超过1B.141C.15D.11830的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率 详解：不超过30的素数有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,共10个，随机选取两2个不同的数，共有 C10 45种方法，因为7+23=11+19=13

2、+17=30 ,所以随机选取两个不31同的数，其和等于 30的有3种万法，故概率为 一=,选C.45 15点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有 有序”与无序”区别的题目，常采用树状图法 .（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目2.从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（）1A. 一5【答案】B【解析】【分析】【详解】B.3102 C.-5D.从1,2,3,4,5中任取三个数，

3、取法总数为:C5310这三个数能构成三角形的情况有：2,3,4 , 2,4,5 , 3,4,53，这三个数能构成三角形的概率为：一10故选B3,设某中学的女生体重 y （kg）与身高x （cm）具有线性相关关系，根据一组样本数Xi,yi i 1,2,3,L L ,n ,用最小二乘法建立的线性回归直线方程为? 0.85X 85.71 ,给出下列结论，则错误的是（） a. y与x具有正的线性相关关系B.若该中学某女生身高增加1cm,则其体重约增加 0. 85kgC.回归直线至少经过样本数据x,yi i 1,2,3,L L ,n中的一个d.回归直线一定过样本点的中心点（x,y）【答案】C【解析】【分

4、析】根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可【详解】因为k 0.85 0,所以y与x具有正的线性相关关系，故 A正确； 该中学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0. 85kg,故B正确； 回归直线一定过样本点的中心点（x,y）,回归直线有可能不经过样本数据,故D正确；C错误.故选：C.【点睛】本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题1 n4.若（X -）的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 X（ ）A. 252B. 70C. 56X2D. 56x 2【答案】B【解析】由题意可得C2 C6,所以n 8,则展开式中二项式系数最大的项为第

5、五项，即 TOC o 1-5 h z 一一 4 4 1 4- 4 一T5 C；X4（一）4 C8470 ,故选 B.x5.三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两 人选择的科目完全相同的概率是（）A. 1B. 1C. 1D. 2 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 4323【答案】D先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总 数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概 率计算公式即可得到答案.【详解】三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每

6、人都选择其中两个科目共有（C力3 27种不 TOC o 1-5 h z 2_ 2_ 1 一结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有C3 C3 C2 18种，故由古典概型的概率计182算公式可得所求概率为 18 2273故选：D【点睛】不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学 运算能力，是一道中档题.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形 ABC的BC, AB和AC .若BC 10, AB 8, AC 6,VABC的三边所围成的区域记为i ,黑色部分记为n,其余部分记为in.在整个图形中随机取一点，此点

7、取自n的概率为（a9A.2524【答案】D【解析】【分析】B.16252425C.24 2548D.48 25根据题意，分别求出I, n ,【详解】ID所对应的面积,即可得到结论由题意，如图：I所对应的面积为n所对应的面积S22425224,整个图形所对应的面积S2424至2所以，此点取自n的概率为4848 25故选：D.【点睛】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件 A三个点数之和等于15”，B至少出现一个5点”，则概率P A|B等于（）511A.B.C.-108137【答案】B7 D.10【解析】【分析】根据条件概率的计算公式即

8、可得出答案【详解】Q P(AB)1 Ac6c6c6P A| BP(AB)P B216P(B)17216121691137C；C；C；216c5c5c59i故选：B【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题 TOC o 1-5 h z . 6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放 回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）A. 3B. 1C. D. 1 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 53155【答案】C【解析】【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品

9、，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案【详解】题目包含两种情况：Co 1第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，p1c3；C： 5， C41第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，p2 V 一；C： 15故 p Pi P2 415故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误9.如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）1工个布关座* till平*借*IOOOH 7JOM 5.00M 工vmOK-S.CMM Jfl

10、K IOjOOK的格 MA.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B.深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D.平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 【答案】D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可.【详解】由图可知，选项 A、B、C都正确，对于 D,因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅 度，所以错误.故选D.【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题.把15个相同的小球放到三个编号为 1,2,3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编

11、号数，则共有多少种放法（）A. 18B. 28C. 38D. 42【答案】B【解析】【分析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3 .个球，则 原问题可以转化为将剩下的 9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放 1个的问题，由挡板 法分析可得答案.【详解】根据题意，15个相同的小球放到三个编号为 1,2,3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的 9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放 1个的问题，将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入

12、挡板，有 8 7C8228种不同的放法，2即有28个不同的符合题意的放法；故选B.【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题.根据中央对 精准扶贫”的要求，某市决定派 7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研， 其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选 3人去甲村若要求这 3人中既有男性，又有 女性，则不同的选法共有（）A. 35 种B. 30 种C. 28 种D. 25 种【答案】B【解析】【分析】 TOC o 1-5 h z 首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情 况，即可得到既有男性，又有女性的情况.【详

13、解】 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 3_ 3从7名党员选3名去甲村共有C7种情况，3名全是男性党员共有 C4种情况，33名全是女性党员共有 C3种情况，一一 3 一 3一 3一3名既有男性，又有女性共有C7 C4C330种情况.故选：B【点睛】本题主要考查组合的应用，属于简单题.8b ,一12.已知1 2x展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为 b,则一的值a12612855【答案】B【解析】【分析】C.125D. 26根据二项式系数的性质求得 a ,系数的最大值为b求得b,从而求得-的值.a【详解】4r r r由题意可得a C8

14、70 ,又展开式的通项公式为 Tr 1 C8 2 x ,设第r 1项的系数最大，则求得r = 5或6,此时，b 7 28,b 128a 5故选：B.【点睛】本题主要考查一项式系数的性质，第 中档题.n项的二项式系数与第 n项的系数之间的关系，属于C8 2r y12r1 即 r-5C8 2r12r 1 r, 6-113P(1 p)22p(1 p)2p13 .设0 p 1,随机变量的分布列是则当P在(0,1)内增大时，E()减小”是D()增加”的()A.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】D【解析】【分析】B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件首先求E 和D ,然后换元t E1t2 3t 3

15、22221t 321,利用函数的单调性，判断充分必要条件228由题意可知:，22 八1 p 2p 1 p p 0 ,L22且0 1P 1, 0 2p 1 p 1, 0 p 1解得：0 p 1 ,211 p 1 2p 1 p21 4p 1 2p1 pc/223 4p 1 p28p 8p ,设 E 4p 1 t 1,3 ,t 184所以当1.1时，D增大，当t1.2时,减小,E减小时，不能推出D增加;8P28p1一时,22rt 1，当 dt增加时,E也增加,1时,1，当 Dt增加时，E减小，所以当D增加，不能推出E减小.综上可知:E 减小”是D 增加”的既不充分也不必要条件y = x2 和圆 x2

16、 y2B.故选：D【点睛】 本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调 性，属于中档题型.2 a、6 14.在二项式(x )的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2xa及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为()C.D.【答案】B【解析】【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a,然后利用定积分求阴影部分的面积.【详解】（x2+ _ ） 6展开式中，由通项公式可得 Tr 12xr 1r 12 2rX令12-3r= 0,可得r = 4,即常数项为 C46，可得c4= 15,解得 a = 2.曲线y=x2和圆x2+y2=2的在第一象限的交点为1

17、所以阴影部分的面积为 一-x-x2 dx 4 o41,1)10故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式,属于基础题.15. 一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为;当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为A. E 1E 2, D 1B. E 1C. E 1D. E 1分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系 【详解】1可能的取值为0,1,2；2可能的取值为0.1,0222121202E 2, D2 .故选B.离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随

18、机变量所有可能的取值，再利用排列组合知 识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型 中摸出的球有放回与无放回的区别 .16.有一散点图如图所示，在 5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是()“* (0J2),j *DC (4.5)*B M A.残差平方和变小B.相关系数r变小C.相关指数r2变小D.解释变量x与预报变量y的相关性变弱【答案】A【解析】【分析】由散点图可知，去掉 d(3,10)后，y与x的线性相关性加强，由相关系数r,相关指数r2及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】C(尸A从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去掉

19、 D点，变量x与变量y的线性相关性变强，相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选 A. 【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目一 、 一_ 1.随机变量X的分布列如表所示，若 E(X) 一，则D(3X 2)()3X101P16ab5A.一9【答案】【解析】【分析】由 E(X)5B.3C. 5D. 71-，利用随机变量 X的分布列列出万程组，求出 3111-a 一，b -,由此能求出32D(X),再由 D(3X 2) 9D(X), 【详解】能求出结果.1Q E(X) -3由随机变量X的分布列

20、得:1-a616D(X)1 21 3)(013)1 21(1 3)2D(3X2) 9D(X)1,解得13故选：C.【点睛】本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.古代人常常会研究 最大限度”问题，下图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个ABC中（阴影部分是三个半径ABC的三边分别相切），则质点落同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形 相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形在阴影部分内部的概率是（B.(2 3 3)4p2C.2D (2,3 3)2【解析】【分析】设圆的半径为r,表示出三角

21、形的边长，分别求出圆的面积和三角形面积，根据几何概型 求解概率.【详解】设 质点落在阴影部分内部”为事件M.如右图所示：设圆的半径为r,正三角形 ABC的边长为a.因为 PBO130 ,所以-tan30 BP、3 ,解得 BP . 3r.同理，CQ 、, 3r.3又因为PQ O1O2 2r ,所以BP CQ PQ 、.3r .3r 2r影部分内部的概率是2）r BC a ,所以由几何概型得，点落在阴P(M)3 r23 r21 a2故选：D.【点睛】2)2r2(2、3 3)2此题考查求几何概型，关键在于准确求出圆的面积和三角形的面积，找出其中的等量关系 即可得解.概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个 赌金分配 的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了 2局，乙赢了 1局.向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为概率 的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（）A.甲48枚，乙