2019-2020学年高中数学人教A版选修4-5学案：第一讲一3.三个正数的算术几何平均不等式含解析

1、3.三个正数的算术-几何平均不等式1.探索并了解三个正数的算术一几何平均不等式的证明过程.2.会用平均不等式求一些式子或函数的最大（小）值.3.会用平均不等式解决实际中的应用问题.预习案酯主学习_T星二思考.裳镇一T*,学生用书P9）新知提炼，.三个正数的算术-几何平均不等式（定理3）如果a, b, cC R+,那么a + b+c孤瓦，当且仅当a= b=c时，等号成立.3.基本不等式的推广对于n个正数ai,a2,，a*它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1+a1 2+ + annaia2an,当且仅当 3i= a2= , = an时，等号成立.一一a自我尝试， TOC o 1-5 h z

2、.判断（正确的打“，”，错误的打“X”）（1）任意n个数的算术平均值不小于它们的几何平均值.（）（2）红土匣nanjn/a1a2,an只对 n = 2和n= 3的情形适用.（）（3）算数-几何平均不等式是针对 n个正数而言的，否则不一定成立.（）答案：（1）X（2）X （3）V.若a, b, c都是正数且a+b+c=6,则abc的最大值为（）A. 2B. 27C. 8D. 3解析：选 C.因为 a0, b0, c0, a+b+c=6,所以 abcbcd,求证:【证明】 因为abcd,所以 ab0)b c0)cd0)a d0)所以a b b c c d(a-d)3*x 3yj_(a b) ( b

3、 c) ( c d) = 9,ab b c cd卜J, a b b c cd a d即当且仅当ab= bc=cd时，等号成立.等号成立的条件是所以2x+x2 2xy+ y产 2y+3.证明不等式的方法,看是否满足“一正、二定、(1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件 相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明.(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的平均不等式 的式子.过跟踪训箍 1.已知 x0, y0,证明：(1 + x+ y2)(1 + x2+y)9xy.证明：因为x0, y 0,所以 1 + x+ y2 3-3/xy2 0,1 + x2+ y 33x

4、2y 0,故(1 + x+ y2)(1 + x2 + y) 33/xy2 33x2y= 9xy. TOC o 1-5 h z ，、1c C2.已知 x, y 均为正数，且 xy,求证：2x+2xy+y22y+3.证明：因为 x0, y0, x y0,一,1所以 2x+ -2 -2- 2y一， 、1=2(xy)+7P1= (x-y) + (x-y) + (x-y)2_2= x y,即 x y= 1.(x y)=3231(x-y)探究点2 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值学生用书P104.一一求函数y=x+ . 1)2(x1)的最小值. TOC o 1-5 h z 一. 4【解】因为 x1

5、, 所以 x- 10, y=x+；(x-1) 2二211)+ %下 +1c 3 113、/2(x1) 2(x-1):当且仅当-1) =2(x-1)=2 , (x1)即x= 3时等号成立.即 ymin = 4.反思惬升用平均不等式求最值的注意点(1)应用平均不等式，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”同时具备时,获得定值需要一定的技巧取得最值.其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性系数、拆项、分离常数、平方变形等.(2)当不具备使用平均不等式的条件时,求函数的最值可考虑利用函数的单调性.1跟跆训练若x0，求函数y= 4x2+1的最小值解：因为x0, 2 1211所以 y=4x +x= 4x

6、+2x+2x34xk224 k22 .22U=3.； 2x 2x21当且仅当4x=2x(x0),即x=所以当1皿x=2时,y=4x2+X(x0)的最小值为 3.探究点3 应用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题学生用书例3|如图所示，在一张半径是 挂得太高，桌子边缘处的亮度就小；2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.众所周知,挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的.桌子边缘一点处的灯光亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角P10灯由物理学知道, 0的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即 E=ksT,这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h,才能使桌子边

7、缘处最亮?【解】 因为r= 一，cos 02也a l , sin (cos式k2 2sin2 0+ cos2 0+ cos2 32 I03 / )108.所以 E=k 一4(00, y0, z0,且 4(x+ y+ z)= 72,即 x+ y+z= 18.所以体积 V=xyzW；+ zJ=作;=216.当且仅当 x=y=z= 6 时，Vmax=216.因此当长方体的长、宽、高均为 6 cm时，其体积最大，最大值为216 cm3.2.已知圆锥的底面半径为R,高为H,求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积.解：设圆柱体的底面半径为 r,如图，由相似三角形的性质可得

8、HJ =, H R所以 r = R(H-h).所以V圆柱=4飞 = 等田一h)2h(0hVObC的理解 3(1)在不等式中a, b, c的范围是a0, b0, c0 ,等号成立的条件是 a=b=c.(2)a+ :+ abc与，； /Ob都是01土鬼土 土里拉班佬an的特例，它们统称为均 32n值不等式.因此与基本不等式的应用是一样的.(3)将不等式a3+b3+c33abc中的a, b, c分别以 北，证,加代替就可得到 弋十。3 3 abc.定理3的两个推论(1)当abc为定值时：a+ b + c3Vabc,当且仅当a=b=c时取等号.（2）当a+b+c为定值时：abcw，+ :+ C，当且仅

9、当a=b=c时取等号.用定理3求最值时的关注点一 “正”：项或因式为正.二“定”：项（因式）的和或积为定值.三“相等”：各项相等或各因式相等时等号成立. 当堂检测.正实数x, y, z满足xyz= 2,则（）x+y+z的最大值是3小x+y+z的最大值是33/2x+y+z的最小值是3mx+y+z的最小值是33/2解析：选D.由三个正数的算术-几何平均不等式，得x + y + z3xyz=3%f2,当且仅当x=y= z= 3/2时，x+ y + z取得最小值3*. TOC o 1-5 h z 2.设a, bCR+,且a+b=3,则ab2的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 6解析：选C.因为ab2=4axbxb2 2b b b X0,则 x2（12x） = x x（1 _ 2x） w 卜 +x+ （ 1_2x_ Y = + = *.当且仅当 x=1 2x,即 x=T时_33273等号成立.故x2（12x）的最大值为27.,1答案：27.4 , 一，一.当x0时，（1）求丫=*+ /的最小值.x27,(2)求y=x + /的最小值.4_2X十X- 2+X- 24斛：（1）因为x0 ,所以y=x+ xx 42尸.x 4 一当且仅当2=2,即x=2时，ymin=3.(2)因为 x0,所以 y=x+ 27 = 3+3+x+27X 3 3 3 x一，I x 27 一