解非线性方程论文初稿9

1、兰州理工大学毕业设计摘要非线性方程的求解有着很重要的意义。WU于1998年提出解非线性方程的二阶敛速指数迭代法。如果把李雅普诺夫和S函数相结合，并进行加速可以得到一种新的二阶敛速方法，这种方法是OU于2003年提出的，称之为S型迭代法。通过计算分析，本文证明了 S型迭代方法和 WU提出的方法达到同样的效果。同时， S 型迭代方法所需要的计算量减少了。关键词：非线性方程；李雅普诺夫函数；S函数；二阶敛速；S型迭代法兰州理工大学毕业设计AbstractSolving nonlinear equations has a very important significance. In 1998, WU

2、 put forward a second order convergence velocity index iterative method of solving nonlinear equations. If combining the Lyapunov function with the S function, we can can obtain a new second order convergence rate method by taking a accelerating process. The method is called S-type iteration method,

3、 which is proposed by OU in 2003. Through the calculation and analysis procedure, this paper prove that S-type iterative method and the method proposed by WU can achieve the same effect. Moreover, the S-type iterative method reduce the calculating step.Key Words: Nonlinear equations; Lyapunov functi

4、on; S function; The second order convergence speed ; S-type iteration methodII兰州理工大学毕业设计目录 TOC o 1-5 h z 第一章绪论 1非线性方程的概念 1研究背景及意义 1非线性方程常用的解法 2二分法 3迭代法 4牛顿迭代法 5第二章 解非线性方程的 S迭代法 11基于ODE方法原理的非线性迭代方法 11二阶敛速指数迭代法 11S型迭代法 12课题任务及目标 12S型迭代法的基本原理及证明 13第三章算例及结果 16第四章总结和展望 17参考文献 错误！未定义书签。致谢 18外文原文及翻译 20iii兰

5、州理工大学毕业设计第一章 绪论非线性方程的概念来自两个独立变量和因变量的结果的数学问题是非线性方程f(x) = 0的基本概念的量的作用。非线性方程组可以分为两类：现在比常用的迭代法迭代数量的增加可被解析的数值要领，解决多项式方程如往常所以更：首先是一个多项式方程f (x)+ex + 2x2+L xn=0, nW Nae,aW C ,这些方程可以被定义为更接近方程的解。其次是非多项式方程，它不能在一个多项式方程的形式表示，没有一个明确的模型。求解第一个这样的非多项式方程，现已在数学类的一个关键的方向，这是一个非常广泛的区。目前已经有超过成熟的理论和要领的力量，求解非线性方程组的大多是随机搜索的方

6、法。尽管复杂的非线性关系，但还是有一些相似之处，但这种共性是不同的线性方程，非线性方程不少，如指数，三角函数关系。下面这些例子是常见的非线性方程x3-x2+x + 1 = 0, x-tanx = 0, x -aex =0 等。研究背景及意义随着谋略机的普遍应用，非线性问题也是每每遇到的一类难题。被誉为本世纪天然科学的“第三次革命”，科学界认为：非线性科学的研究不但具有庞大的科学意义，形成了一种新的天然观。特别黑白线性方程组的数值求解问题构成了非线性科学的一个重要的成分，在如今的科学研究范围内在各门以非线性为特征的分支学科的根本上滋生长起来的综合性学科，就好像如在浅水波方程中发明白“孤子”，这门

7、学科是很有意义的，非线性性科学涉及了环境科学和社会科学的兰州理工大学毕业设计等各个角落。长期以来，环境孕育产生了新的革命。处理惩罚起来非常棘手，如 反散射法，对一些范例的非线性方程给出相识法，由非线性科学所引起的如在地 理学、环境学还有大多数问题中，如神经科学，量子捕捉系统，桥梁结构的长期 性力学检测，对肯定论和随机论、有顺序与无顺序、偶然性与肯定性等范畴和见 解的在一次认识。这些都可以利用非线性的方法得出较好的结论。对一些看起来 相当简略的不行积体系的研究。科学家们以谋略机为本事，从中发掘出纪律性的 了解。因此，在数值谋略中。它是自20世纪六十年代以来，从上个世纪开始到现在，人们同时从非线性

8、体系的两个极度偏向取得了很重要的成就，对着未知领域 逐渐有了新的了解，这多得助与数学家的不懈努力终于在研究多自由度的非线性 偏微分方程的这一方向得到庞大盼望，而且对国计民生的决定筹划和人类生存环 境的利用也具有实际意义，另一方面。从不行积体系的极度，但与大量促成这种 变革的一个紧急缘故因由十谋略机的出现和广泛应用。存在的非线性方程相比， 都发明白确定性体系中存在着对初值极为敏感的巨大活动，并正在变革人们对现 实天下的传统见解，将深刻地影响人类的头脑要领，大胆地探查那些已往不能用 我们的逻辑思维要领处理的非线性问题，非线性科学是一门研究非线性征象共性 的根本学科。并突破了之前固有的的学科边界，从

9、通性、普适性方面来探究非线 性体系的活动，对非线性问题的研究不停疏散在天然科学和技能科学的各个范畴。到如今，数学领域对非线性科学的探索还有很大的空间。非线性方程常用的解法下面介绍求解非线性方程f (x) = 0的几种常见和有效的数值方法。无论在理论上,还是在实际应用中，这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充兰州理工大学毕业设计许多问题的求解，在解析方法无能为力时，数值方法则可以借助于计算机出色完成。二分法二分法是区间迭代法的一种。它是重复运用零点存在性定理，每次将区间压缩 一半且其中一个区间至少包含一个根，逐步缩短区间，直至最终区间长度满足一定的精度要求为止。先考察有根区间a,b,

10、取中点=(a+b)/2,将它分成两半，然后进行根的搜索，即检查f(%)与f(a)是否同号，如果确系同号，说明所求的根x在X。的右侧，这时令 a1 = x。，b = b。 一*4 、-4 .否则X必在X。的左侧，这时令 ai = a, bi=x0,不管出现哪一种情况，新的有 根区间ai,bj的长度仅为a,b的一半。对压缩了有根区间acbj又可施行同样的过程，即用中点 xi= ( ai + bi) /2,以将区间为由再分为两半，然后通过根的搜 索判定所求根在 Xi的哪一侧，从而又确定一个新的有根区间a2b2,长度是ai,bi的一半。如此反复二分下去，可得出一系列有根区间回功二6由二旧2与3-ak,

11、bk3，其中每个区间都是前一个区间的一半，因此ak，bk的长度bk-ak = (b-a)/2k,当kT g时趋向零，就是说，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必将 、 . . .收缩于一点X，该点显然就是所求的根。每次二分后，设取有根区间ak,bk的中点Xk = (ak + bk)/2作为根的近似值，则在二分过程中可以获得一个近似根的序列(c,d,则该序列必以根 X为极限。不过在实际计算时，不可能完成这个无限过程，其实也没有这个必要，因为兰州理工大学毕业设计数值分析的结果允许带有一定的的误差，由于：|x*-xk |(bk-ak)/2 = (b-a)/2k1(1.1)只要二分足够多次(即k

12、充分大)便有|x -xk|M名，这里名为顶止的精度。迭代法迭代法的思想：迭代法是一种逐步逼近的方法，首先选定方程 f(x) = 0的一个近似根后，然后使用某个固定公式，反复校正这个根的近似值，使之逐步精确化，一直到满足给定的精度要求为止。迭代法的推理：设方程f(x)=0有根，把方程化为等价方程 TOC o 1-5 h z x=q：(x)(1.2)这种方程是隐式的，不能直接得出它的根，但如果给出根的某个猜测值x代放在(1.2)的右端，可得xi=%x0),然后，又可取X作为猜测值，进一步得到 x2 =中(为),如此反复迭代如果按公式“1 = (xk),k =0,1,2(1.3)确定的数列xk有极限

13、x* =|mxk,则称迭代过程式(1.3)收敛，这时极限值 x*显然就是方程x=(x)的根。这种迭代法又称为不动点迭代法，由迭代过程所产生的数列并不都是收敛于某个数，与迭代方程的选取有关。迭代法的误差公式定理1假定函数中(x)满足下列条件：10对任意xa,b,有a三(x)三b兰州理工大学毕业设计20存在正数L1,使对任意xwa,b,有 TOC o 1-5 h z | (x)归 L ：二1(1.4)则迭代过程xk41 =邛(xk)对任息初值x0 w a,b均收敛于方程x = (x)的根x ,且 有如下误差估计式：*k_、| xk -X |- L | xi 1/(1 - L)(1.5)证明由式(1

14、.4)有|xk 1_xk |=| (xk) (x)|_ L |人xkj |据此反复递推得|xk*-xk | M Lk |x1 - % |,于是对任意正整数P ,有：| xk.? xk | -| xk -.? xk -：.| xk,?_1- xk;?.2|xk 1xk|W(Lk4p+ Lk 上二 +Lk)|x1 xo 怪 Lk |x1 -xo|/(1-L),在上式中令 Pt=o ,注意到laxk+p = x*,即得(1.5),证毕。迭代法的局部收敛性定理2设x*为方程x-(x)的根，中(x)在x*的邻近连续且|%x*)|1,则迭代 过程x+ =中(xk)在x邻近具有局部收敛性。证明由连续函数的性

15、质，存在x*的某个邻域 R: |x-x*住每，使对任意xW R成立|9(x)旨L E 1。止匕外，对任意 xWR,总有邛(x)WR,这是因为| (x)-x*h| (x)- ：(x*)|1时称为超线性收敛，P=2时称为平方收敛。定理3对于迭代过程乂小=中他卜)，如果5(x)在所求根x*的邻近连续，并且(x*)=(x) =(x*) =0. = (*(x*)=0(1.12)则该迭代过程在点 x邻近是P阶收敛的。证明 由于中(x )=0,据定理2可以马上断定迭代过程人书=9(人)具有局部收 敛性。再将中(xk)在根x处展开，利用条件(1.12),则有兰州理工大学毕业设计 TOC o 1-5 h z *

16、 0,x= a,b,且使初值问题(2.6)满足解的存在惟一条件,则类似于文献1的讨论可得：定理1非线性方程(1)在a, b内的根x*是自治系统(2.6)的渐进稳定奇点.定理2 初值问题(2.6)所确定的积分曲线x = x(t,x0)以非线性方程在a,b内的根x所在的x=x直线z = t为水平渐进线，即在平面TOX内hm x(t,x0) = x ,x0 a,b(2.7)t_方程定理2中(2.7)的解之间的关系给出了一个非线性方程(2.1),包括在a,b的根和初值问题(2.6)。因为我们通常很难给出表达式x(t,x0)在(2.6)中解决方案的初始值。它不能直接利用的关系，(2.7)求非线性方程(2

17、.1)的根。但是这并不影响该结果的实际应用。一个完全类似于 Lambert和WU得出具体做法非线性迭代法。.设xn为x(t,x)的近似值，并且 wn fn =w(xn)f (xn)将微分方程(2.6)从tn到1书积分有n Tx(tn .1,%)=xnn -w(x(t,x。)f(x(t,%)dt(2.8)其中tn = nh在区间积分部分的每一部分tn ,tn+的初始值问题(2.6),我们使用一个表格，以满足s：n)n需要近似的函数s(t)=1/(A + Be*) I S(tn) -wn fn1ZT .A Be n nBe*.(2.9)tr 二-wn fn(A Be n)2 n n14兰州理工大学

18、毕业设计而且Xn=S(ty),解方程(2.9)得A也 xn(xn)B - -Wn fn etne e(xn)其中xn/0,由此得到s(t)=(xnn,xn =0将s(t)带入表达式(2.8)得到xn Wnfn - Wn 证(2.10)(2.11)x =( , x - 0 xn 1r r _h，xn 0 xn Wnfn -Wnie取 W(x)=1/ f (x),h=1 得到迭代公式xn4=(xn),xn#0 xn fn / fn其中九=(1_e),对方法(2.11)进行加速，得到(xn)22UU(一1(2.12)定理3方程(2.12)在满足收敛性条件时是二阶收敛的,证明方法(2.12)的迭代函数

19、g(x)=(x? /(1 -1)xx , fn / fn2x2 2x f/f -x21(ff ff)ffg =rw ( FX , fn / fn从而方法(2.12)具有平方收敛性速度。15兰州理工大学毕业设计第三章算例及结果数值实验：利用WU的二阶敛速和 OU的S型迭代法求所给问题在指定区间a,b内的根的X*近似根x ；结果要求要求 X*与又充分接近，并满足 f (x) 8=10 TOC o 1-5 h z 问题 1f (x)=X3 -2x-5,x 1,5,X =5;问题 2f (x)=arctgx sin x x- 2, x1,4,x=4;问题 3f (x)=(x3 x 11)/(3x4 -

20、 2x25),x1,2,8x = 2.8;问题 4f (x)=xex -5x3 6, x 4, 6,x= 6;问题 5f (x)=- -2x3-x 1,x 1,2,x =2问题 6f (x)=esinx -x -1,x 1,2,4,x= 4将六个问题的所得结果列于下表问题初值WU算法的迭代步数OU算法的迭代步数WU算法的结果OU算法的结果问题1576x7 球 2.09455148x6 定 2.09515374问题2444x4 处 0.71858677x4 定 0.71934682问题32。844x4 电 2.07434076x4 % 2.07435006问题4555x5 球 4.6785308

21、4x5 ft 4.67841039问题521110X1 为 1.11033918x10 之 1.11051632问题6444x4 部 1.69681238x 定 1.6970312516兰州理工大学毕业设计第四章总结和展望以上数值结果由双精度运算得到.WU算法的结果来源于文献 3 . WU算法与OU算法具有相同的敛速，而 OU算法在一定程度上比 WU算法计算量小，所 以可以S型迭代方法和 WLg出的方法相比再达到同样效果的同时，所需要的计算量减少了。有更多的范畴涉及到非线性方程的求解问题，非线性是实际问题中每 每出现的，比方，许多我们熟习的线性模型都是在肯定的条件下由非线性问题简 化得到的，动

22、力体系，每每必要直接研究非线性模型，从而孕育产生了非线性科 学这门学科，所谓的非线性科学是在当今的科学环境中有着很崇高的地位，非线性问题的数学总来的来说可以分为两大类，第一类就包括了无限的问题，例如微分方程等，二是有限的，对付这两类问题求解的要领差异，此中包罗了非线性有限元问题，方程的性质有素质的差异，是显而易见的，特别是在种种非线性问题的科学谋略中更显出它的独树一帜性。并且在科学与工程谋略中的职位地方越来越 紧张，为得到更切合实际的解答，从线性到非线性是一个质的变革，以是对付这些问题的解法就有了很紧张的意义，非线性方程的数值解法我们这天常生存中有着很紧张的职位地方和应用。17州理工大学毕业设

23、计. X.Y.Wu. Exponential iterative method of 2th order for solving nonlinear equation J. Math. Numer. Sinca, 1998, 20(4): 367-370. X.L.Feng, Y.N.He. Parametric iterative methods of second-order for solving nonlinear equationJ. Applied Mathematics and Computation, 2006,173(2):1060-1067.袁媛，杨建伟.求解非线性方程重根的二阶迭代法J.南京信息工程大学学报，2010, 1: 71-73.武鹏.解非线性方程的高阶迭代算法及其收敛性分析J.浙