生产计划多阶段动态规划

1、目录 TOC o 1-5 h z 摘要-2-一、问题重述-3-二、问题分析-4-问题(1)的分析-4-问题(2)的分析-4-三、模型假设-4-四、符号说明-4- HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 五、问题一的模型建立与求解-5-贮存函数及每月平均贮存数量的确定-5-利润函数的确定-8-六、问题二的模型建立与求解-9-七、模型的评价与改进-11-参考文献-11-附录-11-制砖机生产计划摘要一个厂是否盈利以及盈利大小与该厂在各个阶段的生产计划息息相关，如何 根据预期销售量、销售价格与销售成本等做出合理的生产计划，使得利润达到最 大化是每个决策者最

2、关心的问题，具有重大的意义。在处理问题(1)时，本文首先运用积分法建立存贮模型，求得每个月的平均 存贮数量，进而获知每个月的存贮费用和总的存贮费用，由于题目要求允许期货 销售，不同的产量会影响存贮函数，导致有的贮存函数为分段函数。其次，根据 利润二销售收入-(生产成本+销售费用+贮存费用)构造利润函数(即目标函数)W， 分别算出销售收入、生产成本、销售费用和贮存费用，然后将利润函数表示出来。 另外，依题意：到6月底前所有产品必须卖完以及生产数量非负等条件，确定约 束条件。最后，将目标函数以及约束条件输入LINGO进行求解，得出未来6个月 的生产计划为：一月份生产25台，二月份生产41台，三月份

3、生产32台，四月 份生产31台，五月份生产29台，六月份生产29台。在处理问题(2)时，我们发现本问在第一问的基础上，新增加了一项约束条 件：该厂每月的生产能力限于33台，将其用数学语言进行表达后，同样用LINGO 进行求解。解得未来6个月的生产计划为：一月份生产33台，二月份生产33台， 三月份生产30台，四月份生产31台，五月份生产30台，六月份生产30台。关键字：积分法存贮模型优化模型 Lingo、问题重述某重型机械厂通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并给合今年上 半年可能出现的影响制砖机销售的因素，预测该厂2011年上半年的销售情况如 下表所示：月份123456销售量（台）42

4、3241672529该厂的制砖机2010年12月的销售均价为48万元/台，今年上半年的售价保 持不变。2010年12月末尚有49台未售出。制砖机从计划生产到售出会发生下 列费用：（1）生产成本，包括固定成本（主要是指厂房、机器设备的折旧）和可 变成本（钢材、其他材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约 40%），按照2010年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与制砖机生产台 数的平方成正比，比例系数为0.5。且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如 建材价格上涨10%，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。（2）销售费用， 与当月的销售金额成正比。（3）贮存费，生产出的制砖机

5、未售出的必须贮存，即 该厂生产的制砖机平均每台每月的贮存费为0.1万元。2010年以来，央行和发改委出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建 材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年上半 年建材的价格仍会有一定的增长。预计的增长速度（以2010年12月的价格为基 准）见下表：月份123456增长速度10%10%20%20%30%30%该厂希望在上半年就把生产的制砖机全部销售完，为使利润最大化，需要制 定出从2011年1月到6月每月的生产计划（即每月完成多少台）。（1）如果该厂的月生产能力没有限制，并且允许期货（即尚未下线的制砖机） 销售，但在6月底前要全部完成交货，如

6、何制定月生产计划？（2）如果该厂每月的生产能力限于33台，并且允许期货（即尚未下线的制砖机） 销售，但在6月底前要全部完成交货，又该如何制定月生产计划二、问题分析问题（1）的分析概念理解：期货销售指延期销售，即第T周期的库存数量为零时仍可以继续 k销售，但延期数量（即尚未下线的制砖机）必须在第T 1周期补足生产。本问中，利润二销售收入-（生产成本+销售费用+贮存费），由于销售收入与实际 生产数量无关，因此我们可以仅考虑生产成本、销售费用和贮存费用的最小化问 题，其重点在于贮存函数的计算，主要约束条件为6月底前要全部完成交货。问题的分析第二问实质上就是对于第一问的扩展。我们可以在第一问的规划模型

7、基础上增加 一项新的约束条件：该厂每月的生产能力限于33台，从中得出最优的生产方案。三、模型假设在求得每个月的贮存总量后，取每个月的平均贮存量作为贮存数量进行计算；每月生产的产品在月底一次性补给；生产能力为无限大（相对于需求量），允许期货销售，但延期数量需要在下一 次生产时补足；销售费用与销售收入的比例系数，我们取0.1、0.3、0.5进行比较计算；固定成本每个月都存在，而且是个常数，对生产数量无影响，所以我们在计算 过程中取0计算（即不考虑）；产品每天的需求量为常数。四、符号说明T生产周期，本题中指个月q(t)表示储存函数Qi表示第i个月的储存量bi表示第i个月的需求量xi表示第i个月的生产

8、量k销售费用与销售收入的比例系数W总利润I销售收入C生产成本Cg固定成本Cu可变成本F销售费用S贮存费用五、问题一的模型建立与求解贮存函数及每月平均贮存数量的确定由于生产成本与销售费用都可简单的从生产与销售数量得出，所以考虑生产 成本(固定成本和可变成本)、销售费用和贮存费用的最小化问题，关键在于求 出贮存数量，从而确定贮存费用。设 (t)为第k个月的贮存函数(k = 1,26)，Q为第i个月的贮存量，力为第i个月的需求量，气为第i个月的生产量(i = 1,26)。下面对6个月的贮存情况进行讨论：因为第一个月不论是否有生产，第一个月都不会有贮存量为0的情况，所以第 一个月的贮存函数为：q( )

9、 = -%* t / T + 49(1)贮存量为： TOC o 1-5 h z Q1 = f (-1 *t/T + 49)dt = b1*T/2 + 49* T(2)0平均贮存量为：Q1 / T = -b2 + 49 = 28(3)假设第二个月的贮存函数为：q (t) = b * t / T + 49 b + x(4)211令式(4)二0,得：t = (7 + x1)*T/32(5)-1.若t = (7 + x1)*T/32 T，即气25时，表示第二个月不会有贮存量为0的 情况，此时贮存函数为：q (t) = b * t / T + 49 b + x ,0 t T2211贮存量为：Q = f

10、(b * t / T + 49 b + x )dt = f (32* t / T + 7 + x )dt = (x 9)* T 22111100平均贮存量为：Q2 / T = x1 9-2.若t = (7 + x1)*T/32T，即x1 25时，表示在第二个月末，有一段时间的 贮存量为0，则此时的贮存函数为分段函数：b / T * t + 49 b + x ,0 t (7 + x )* T /32 TOC o 1-5 h z 2111q2(t) =(9)0,(7 + x1)* T /32 t 25时，第二个月月末没有欠货，假设第三个月的贮存函数为：(12)q (t) = b * t / T +

11、 49 b + x b + x31122同样令式(12)=0，则 t = (x1+ x1 25)* T /41，-1-1、若t = (x + x 25)* T/41 T，即x + x 66时，表示第三个月末有一1111段时间贮存量为0，此时贮存函数为分段函数：112211-b *t/T + 49-b + x -b + x ,0 t （x + x -25）* T/413(13)此时的贮存量为:平均贮存量为:0,(气 + 气一25)* T/41 t T贮存量为0的情况，此时贮存函数为:即气+气 66时，表示第三个月不会有q3(t) = -b * t / T + 49 - b + x - b + x

12、 ,0 t T 此时的贮存量为:1122(16)平均贮存量为:Q3 =(气+ X2 -4 5. 5) T(17)Q3 /T =(气+ J2 - 45.5)(18)-2、.当气 25时月的欠货可减少贮存成本，也符合实际情况，此时假设第三个月的贮存函数为:第二个月末有欠货（25 -气）台，则在第三个月补齐第一个q3( t)= - b * t/ T- 4头 1 b +x - b + x -(2 5 x )(19)令式(19)=0，则 t = (2气 + 气-50)* T/41即2气+七 91时，表示第三个月末有-2-1、若 t = (2 x1 + x1 - 50)* T/41 T一段时间贮存量为0，

13、此时贮存函数为分段函数：-b *t/T + 49-b + x -b + x -(25 -x ),0 t (x + x -25)* T/41 3112211(21)(22)(20)0,(气 + x -25)* T/41 t T，即2气+七91时，表示第三个月不会 有贮存量为0的情况，此时贮存函数为:q (t )= b * t / A 49- b + x - b + x -(2 5 - x )，也 t 0,为整数(33)123456分别取k=0.1，0.3, 0.5, Cg=0 (因为是固定成本都会扣除，这里就不考虑)运用LINGO进行求解后，可得如下结果:1月2月3月4月5月6月生产数量2541

14、32312929表3计算结果显示：无论k取何值，对输出结果无影响，说明该模型适用于销售费用 与销售收入比例不同的情况。(运行结果见附录3)六、问题二的模型建立与求解已知目标函数： TOC o 1-5 h z Max11328*(1 - k) - C - 0.55* x 人2 -0.55* x 人 2 -0.6* x 人2 - g1230.6* x 人 2 -0.65* x 人2 -0.65* x 人 2(34)456因为在问题一的基础上限制了该厂每个月的最大生产能力为33台，新的约束条 件为：x + x + x + x + x + x = 187(35)1234560 25q(t) = -b2

15、* t / T + 49 - bj + x0 t Tx 25q(t)= -b / T * t + 49 - b + x ,0 t (7 + x )* T /32 2 1 1 1、0,(7 + X)* T /32 t 25Q2 = j q(t )dt = f (-32* t / T + 7 + x)dt =(七9)* T 00 x 25QJT = xi -9x 25x + x 66q(t) = -b * t / T + 49 - b + x - b + x ,0 t T31122x + x 66q(t)=b * t / T + 49 b + x b + x ,0 t (x + x 25)* T

16、/41 3112211、0,( x + x 25)* T /41 t Tx 9 1q(t) = -b * t / T + 49 - b + x - b + x ,0 t T311222 x + x 9 1q(t)=)b * t / T + 49 b + x b + x (25 x ),0 t (x + x 25)* T / 41311221110,(%1 + 七25)* T/41 t 25x + x 66Q3 = (x1 + x2 - 45.5)* Tx + x 66Q3 =(气+ x2 - 25)人 2* T /82x 91Q3 = (2 x1 + x2 - 70.5)* T2 x + x

17、25x + x 66QJ T = (x1 + x2 - 45.5)x + x 66QJT =(气+ x2 -25)人 2/82x 91Q3 / T = (2x1 + x2 - 70.5)2 x + x 91Q3/T = (2x1 + x2 -50)人 2/824月贮 存 函 数2 x + x 224b * t / T + 49 b + x b。+ x b + x ,0 t T1233x + 2x + x 2241+J.J.QQJJb * t / T + 49 一 b + x 一 b + x 一 b + x - (91 - 2x 一 x ),0 t (3x + 2x + 二41122331211

18、0,(3气 + 2气 + % -157)* T /67 t T-157)* T /67q(t)x + x 199-b * t / T + 49 b + x b + x b + x ,0 t T41122332(x1 + x2) + x3 199b * t / T + 49 一 b + x 一 b + x 一 b + x 一 (66 一 x 一 x ),0 t (2x + 2x + x411223312110,(2 气 + 2气 + %3 -132)* T /67 t 91x + x 66x + x + x 133123b * t / T + 49 b + x b + x b + x ,0 t

19、T4112233x + x + x 133123b * t / T + 49 一 b + x 一 b + x 一 b + x ,0 t (x + x + x 一 66)* T / 6741122331130,(气 + 气+ % 66)* T /67 t T贮 存 量Qi2 x + x 224Q4 = (3x1 + 2 x2 + x3 190.5)* T3x + 2x + x 224Q4 = (3x1 + 2 x2 + x3 157)人 2* T /134x + x 199Q4 = (2 x1 + 2 x2 + x3 165.5)* T2(气 + x2) + x3 91x + x 66x + x

20、 + x 133Q4 = (x1 + x2 + x3 99.5)* Tx + x + x 133123Q4 =(气+ x2 + x3 66)人 2* T /134平 均 贮 存 量Qi/ T2 x + x 224Q4 = (3x1 + 2 x2 + x3 190.5)3x + 2x + x 224Q4 = (3x1 + 2 x2 + x3 157)人 2/134x + x 199Q4 = (2 x1 + 2 x2 + x3 165.5)2(x1 + x2) + x3 91x + x 66x + x + x 133123Q4 = (x1 + x2 + x3 99.5)x + x + x 1331

21、23Q4 =(气 + x2 + x3 66) a 2/134-132)* T /675月贮存 函数 q(t)3x + 2x + x 382b * t / T + 49 b + x b + x b + x b + x ,0 t T12344x + 3x + 2x + x 382511223344b * t / T + 49 b + x b + x b + x b + x 一 (224 3x 2x x ),0 t (4x 5112233441231、0,(4 气 + 3气 + 2% + 七357)* T /25 t T2(气 + x ) + x3 357b * t / T + 49 b + x b

22、 + x b + x b + x ,0 t T 5112233443(x + x ) + 2x + x 357b * t / T + 49 一 b + x 一 b + x 一 b + x 一 b + x - (199一 2x 一 2x 一 x ),0 t (3x51122334412310,(3x + 3x + 2x + x 一 332)* T /25 t TL1134x + x + x 2911234-b * t / T + 49 b + x b + x b + x b + x ,0 t T5112233442(x + x + x ) + x 2911234b * t / T + 49 b

23、+ x b + x b + x b + x (133 x x x ),0 t (2(x +51122334412310,(2( x + x + x ) + x 一 266)* T /25 t 2242(气 + x2) + x3 199x + x + x 133123x + x + x + x 1581234b * t / T + 49 b + x b + x b + x b + x ,0 t T511223344x + x + x + x 1581234b * t / T + 49 一 b + x 一 b + x 一 b + x 一 b + x ,0 t (x + x + x + x 133)

24、* T /51122334411340,( x + x + x + x 133)* T /25 t TL1134贮存量Qi3x + 2x + x 382Q5 = (4 x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 369.5)* T4x + 3x + 2x + x 382Q5 = (4 x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 357)人 2* T /502(气 + x2) + x3 357Q5 = (3x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 344.5)* T3(x1 + x2) + 2x3 + x4 357Q5 = (3x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 332)人 2* T /50

25、x + x + x 2911234Q5 = (2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 278.5)* T2(x + x + x ) + x 2242(气 + x2) + x3 199x + x + x 133123x + x + x + x 1581234Q = (x + x + x + x 145.5)* T51234x + x + x + x 1581234Q = (x + x + x + x 133)A2* T /5051234平均贮存量Qi/T3x + 2x + x 382Q5 = (4 x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 369.5)4x + 3x + 2x + x 3

26、82Q5 = (4 x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 357) a 2 / 502(气 + x2) + x3 357Q5 = (3x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 344.5)3(x + x ) + 2x + x 357Q5 = (3x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 332) a 2/50 x + x + x 2911234Q = (2x + 2x + 2x + x 278.5)512342(x + x + x ) + x 2242(x + x ) + x3 199x + x + x + x 1581234Q = (x + x + x + x 145.5)51234%

27、+ % + % 133123% + % + % + % 1581234Q = (% + % + % + % - 133)A2/50512346月贮 存 函 数q(t)4% + 3% + 2% + % 569-b * t / T + 49b + % b + % b + % b + % b + % ,0 t 1234 55% + 4% + 3% + 2% + % 5691234 561122334455b * t / T + 49 一 b + % b + % b + % b + % b + % (382 一 4% 3% 61122334455120,(5 %1 + 4 %1 + 3%3 + 2 %

28、4 + %5 540)3(% + % ) + 2% + % 544b * t / T + 49b + % b + % b + % b + % b + % ,0 t 123454(% + % ) + 3% + 2% + % 5441234561122334455b * t / T + 49 b + % b + % b + % b + % b + % (357 3% 3% 61122334455120,(4( %1 + %2) + 3%3 + 2 %4 + %5 5152(% + % + % ) + % 47812345b * t / T + 49 b + % b + % b + % b + %

29、b + % ,0 t 611223344553(% + % + % ) + 2 % + % 47812345b * t / T + 49 一 b + % 一 b + % 一 b + % 一 b + % 一 b + % 一 (291 一 2% 一 2% 一61122334455120,(3(% + % + % ) + 2% + % 一 449)、12345% + % + % + % 34512345b * t / T + 49 b + % b + % b + % b + % b + % ,0 t 611223344552(% + % + % + % ) + % 34512345 3823(% +

30、 % ) + 2% + % 3572(% + % + % ) + % 291 1234% + % + % + % 1581234% + % + % + % + % 18712345b * t / T + 49 b + % b + % b + % b + % b + % ,0 t 61122334455% + % + % + % + % 18712345b * t / T + 49 b + % b + % b + % b + % b + % ,0 t (% + % + %611223344551230,( % + % + % + % + % 158)* T /29 t T、12345贮 存 量Q

31、i4% + 3% + 2% + % 56912345Q6 = (5%1 + 4 %2 + 3%3 + 2 %4 + %5 554.5)* T5% + 4% + 3% + 2% + % 56912345Q6 = (5%1 + 4 %? + 3%3 + 2 %4 + %5 540) a 2* T/583(% + % ) + 2% + % 54412345Q6 = (4 %1 + 4 %2 + 3%3 + 2 %4 + %5 529.5)* T4(% + % ) + 3% + 2% + % 54412345Q6 = (4 %1 + 4 %2 + 3%3 + 2 %4 + %5 515)人2* T/5

32、82(% + % + % ) + % 47812345Q6 = (3%1 + 3%2 + 3 %3 + 2 %4 + %5 463.5)* T3(% + % + % ) + 2 % + % 47812345Q6 = (3%1 + 3%2 + 3%3 + 2 %4 + %5 449) a 2* T/58% + % + % + % 34512345Q = (2 % + 2 % + 2 % + 2 % + % 330.5)* T6123452(% + % + % + % ) + % 3823(x + x ) + 2x + x 3572(x + x + x ) + x 291 1234x + x +

33、x + x 1581234x + x + x + x + x 18712345Q = (x + x + x + x + x 172.5)* T612345x + x + x + x + x 18712345Q = (x + x + x + x + x 158)八2* T/58612345平均贮存量Qi/T4x + 3x + 2x + x 569Q6 = (5x1 + 4 x2 + 3x3 + 2 x4 + x5 554.5)5x + 4x + 3x + 2x + x 569Q6 = (5x1 + 4 x2 + 3x3 + 2 x4 + x5 540) a 2/583(x1 + xj + 2x3

34、 + x4 544Q6 = (4 x1 + 4 x2 + 3x3 + 2 x4 + x5 529.5)4(x + x ) + 3x + 2x + x 54412345Q6 = (4 x1 + 4 x2 + 3x3 + 2 x4 + x5 515)人2/582(x + x + x ) + x 47812345Q6 = (3x1 + 3x2 + 3x3 + 2 x4 + x5 463.5)3(x + x + x ) + 2 x + x 47812345Q6 = (3x1 + 3x2 + 3x3 + 2 x4 + x5 449)人 2 / 58x + x + x + x 34512345Q6 = (

35、2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 2 x4 + x5 330.5)2(x + x + x + x ) + x 3823(x + x ) + 2x + x 3572(x + x + x ) + x 291 1234x + x + x + x 1581234x + x + x + x + x 18712345Q = (x + x + x + x + x 172.5)612345x + x + x + x + x 0;x20;x30;x40;x50;x60;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);k2=0.1;end第二问在第一问的基础上，新增约束条件:x1=33;x2=33;x3=33;x4=33;x5=33;x6=33;附录3：第一问中不同k值时的运行结果K=0.1 时：Linearization components added: TOC o 1-5 h z Constraints:355Variables:228Integers:166Local optimal solution found.6706.7506706.750