一维波动方程的达郎贝尔公式

1、数理方程学院：制冷及低温工程姓名：赵瑞昌学号：120160159 维波动方程的达郎贝尔公式1达郎贝尔公式在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无限长弦的自由振动问题Jd2ud2u=a2,gx0dt2dx2VduuI=申（x）,I=（x）t=0dtt=0作自变量的代换Jg二x+at打二x-at利用复合函数的微分法有：TOC o 1-5 h zdududu=aadtdgdqd2ud2ud2ud2u莎=a2（葺2奇*而）d2ud2ud2ud2u冋理有：茶=溶+2研+齐将化为：d=0并将它两端对进行积分得:=fo（g）其中f0

2、（g）是g的任意函数，再将此式对g积分U（Xt）J用）心f2们）二半）+f2们）=f(x+at)+f(x-at)12其中f、f是任意两次连线可微函数，式即为方程的含有两个任意函数的12通解。由初始条件可得：f(x)+f(x)=9(x)12af(x)+f2(x)=0(x)通过积分可得：11u(x,t)=9(x+at)+0(x一at)+Jx+(g)dg22ax-at称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。解的物理意义由于波动方程的通解是两部分f(x+at)与f(x-at)。u=f(x-at)表示了1222以速度a向x轴正方向传播的行波，称为右行波。同理，u=f(x+at)表示了以11速度a向x轴负方向

3、传播的行波，称为左行波。由达郎贝尔公式，解在点(x,t)的值由初始条件在区间x-at,x+at内的值决定，称区间x-at,x+at为点(x,t)的依赖区域，在x-1平面上，它可看作是过点1(x,t)，斜率分别土1为的两条直线在x轴上截得的区间。a这里要掌握半无限长弦的自由振动问题和一维非齐次波动方程的柯西问题的解。半限长弦的自由振动问题定解问题TOC o 1-5 h zdudu八八宀c、=a，t0,x0(4.8)dtdx0 x0-e(-x),x0考虑定解问题Q2uQ2u=a2,Qt2Qx2一gx0uI=(x),一I=屮(x)x=0Qtt=0它的解可由达郎贝尔公式得：11U(x,t)=(x+at

4、)+(x-at)+Jx+呷忆)dg。2ax-at一维非齐次波动方程的柯西问题定解问题(4.11)(4.12)QuQu冲、八=a2+f(x,t),-gx0Qt2Qx2VQuuI=申(x),一I=(x)x=oQtt=0令u(x,t)=U(x,t)+V(x,t)，可将此定解分解成下面两个定解问题:TOC o 1-5 h zd2ud2uc=a2,-sx0Qt2Qx2QuuI=申(x),I=(x)x=0Qtt=0Q2uQ2u中、八=a2+f(x,t),-sx0Qt2Qx2uI=0,QuI=0 x=0Qtt=0其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：11U(x,t)=(x+at)+Q(x一at)+Jx+a

5、(g)dg。22ax-at对于问题(II)，有下面重要的定理。定理(齐次化原理)设(x,t,T)是柯西问题TOC o 1-5 h zd2d2=a2,ttdt2dx2I=0,I=f(X,T)x=Tdtt=T八的解(T0)，则V(x,t)=ft(x,t,T)dT是问题(II)的解。0二三维波动方程的柯西问题1三维波动方程的泊松公式问题考虑三维波动方程的柯d2u/d2ud2ud2u、crr、=a2(+)-gx,y,z0(4.17)dt2dx2dy2dz2duuI=p(x,y,z),I=e(x,y,z)(4.18)It=0dtt=0(1)三维波动方程的球对称解如果将三维波动方程的空间坐标用球坐标表示，

6、则波动方程化为1ddu1du1d2u(r2)+(sm0)+=r2drdrr2sin0d0r2sin20dp21d2ua2dt24.19)如果波函数u与0,p变量无关，而只与变量r,t有关，即u是所谓球对称的,这时式可简化为：1ddu1d2uTOC o 1-5 h z(r2)=r2drdra2dt2d2ud2udu=a2(r+2)dt2dr2dr即有：d2(ru)d2(ru)=a2-dt2dr2这是关于的一维波动方程，其通解为：ru(r,t)=f(r+at)+f(r-at)1 从而ru(r,t)=f(r+at)+f(r-at)即得到三维波动方程关于原点为球对称的r12解。(2)三维波动方程的泊松

7、公式d2U2Ud2Ud2U、cn、=a2(+)-gx,y,z0(4.17)dt20 x2dy2dz26uuI=申(x,y,z),I=(x,y,z)(4.18)t=oatt=o的解为：u(x,y,z,t)=?JJ点，几匚)ds+丄ds，称它为三维波动方程柯4兀aatat4兀aatSMSMatat西问题的泊松公式。这里要求掌握三维波动方程柯西问题的泊松公式的推导过程。2降维法利用三维波动方程柯西问题的泊松公式来导出二维波动方程柯西问题的解。这种利用高维问题的解推导低维问题的方法称之为降维法。二维波动方程的柯西的问题：a2uz62ua2u、c=a2(+)gx,y,z0at2ax2ay2u1=(x，y1=e(x，y)It=0att=0令u(x,y,z)=i_(x,y,z)，将上式的解视为特殊的三维问题，最后得到问题的解为:u(