2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：第7章第6节空间向量及其运算

1、第六节空间向量及其运算考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的根本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.抓基础自主学习|知识榜理1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)单位向量：对于任意一个非零向量 a,把窗叫作向量a的单位向量，记作 Tao.(3)相等向量：方向一样且模相等的向量.(4)相反向量：方向相反而模相等的向量.一 . .一 (5)向量a, b的夹角：过空间任意一点 O作向量a, b的相等向量OA和OB,那么

2、/ AOB叫作向量a, b的夹角，记作a, b，范围是0, nt当a, b =”寸，记作a，b;当a, b =0或冗时，记作a / b.(6)平行向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或更合空么 这些向量叫作平行向量或共线向量.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：空间两个向量a与b(bw0)共线的充要条件是存在实数 使 a= *.(2)空间向量根本定理如果向量e1，e2, e3是空间三个不共面向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数为,3电使得a= 2ie1+返+斐3.两个向量的数量积(1)非零向量a, b的数量积a b=|a|b|cosa, b.(2)空间向量数量积的运算律：

3、交换律：a b=ba；分配律：a (b+c) = a b+a c. Xa b)=( b(入C R).空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算彳贸设 a=(xi, yi, zi), b= (x2, y2, z2),那么 a b = xtx2+ yiy2 + ziz2.(2)共线与垂直的坐标表示设 a=(xi, yi, zi), b=(x2, y2, z2),么 a/ b? a= b? xi=入宽，yi=入0，zi=入应入C R)(bw0),ab? a b=0? xix2+ yiy2+ zin= 0.(3)模和夹角公式设 a=(xi, yi, zi), b=(x2, y2, z2).那么 |a

4、| = Va-a=Vx2+y2+-z2,a bxix.2+ yiy2 + zizcosa, b= . = iii ( n(aw0, bw0).，|a|b| 十丫2+是 Jx2+y2+z2学情自测 TOC o 1-5 h z i.(思考辨析)判断以下结论的正误.(正确的打“，错误的打X)(i)空间中任意两非零向量a, b共面.()(2)对任意两个空间向量a, b,假设a b= 0,那么ab.()(3)假设a b1 - Y 111A BM = BB1 + B1M = AA1 + /(AD AB)= c+ /(b a) = 2a+/b+ c. . .3 1 1 . 一 .（2021倘州模拟）0为空间

5、任意一点，假设OP=3OA+ 1OB + 1OC,那么 488A, B, C, P 四点（）一定不共面一定共面C.不一定共面D.无法判断B 由3 + 8 + 8= 1 知，A, B, C, P 四点共面.（2021广东高考）向量a= （1,0, 1）,那么以下向量中与a成60夹角的 是（）A. （-1,1,0）B.（1, -1,0）C. （0, -1,1）D.（-1,0,1）B 各选项给出的向量的模都是V2, |a| = V2.a b 1 x 11对于选项A,设b=(1,1,0),那么cosa, b =丽=正讨2 = 2.因为 0 Va, b = 120 :对于选项B,设b=(1, 1,0),

6、那么cosa,ba b 1X11 田=丽=；/2=2.口为 0 Va, b =60 ,正确.对于选项C,设 b=(0, 1,1),那么 cosa,b二 |a|b/业 x 二12.因为0 Va,ba b 一1一 1=丽=?2 一.因为 0 Va, b = 180 .5.向量 a=(4, 2, 4), b= (6, 3,2),那么(a+b) (ab)的值为【导学号：57962349】|考空间向量的线性运算-13 (a+b) (a b) = a2 b2=42+( 2)2+ (-4)2- 62+ (3)2+22=如图7-6-2所示，在空间几何体ABCD-AiBiCiDi中，各面为平行四边形，设AA1

7、= a, AB=b, AD = c, M, N, P 分别是 AA1, BC, C1D1 的中点，试 用a, b, c表示以下各向量:刃fl/ I凤一I JIIA图 7-6-2(1)AP；(2)MP+NCi.解(1)因为P是CiDi的中点，1 所以 AP= AAi+AiDi+DiP = a + AD + 2DiCi1 一I= a+c+ 2AB= a+ c+ 2b.(2)因为M是AAi的中点，i所以 MP=MA + AP = 2AiA+AP TOC o 1-5 h z ii i i=2a+ a+ c+ 2b =2a + 2b+c.因为N是BC的中点， i 那么 NCi = NC + CCi =

8、BC + AAii0分i2分i Tt f i=/AD + AAi = /c+ a, Y i i.i所以 MP+NCi= 2a+ 2b+c + a +2c2a + 2b+ 2c.规律方法i.(i)选择不共面的三个向量作为基向量，这是利用空间向量根本定理求解立体几何问题的前提.(2)用基向量表示指定向量时，应结合和所求向量观察图形，将向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法那么或平行四边形法那么 进展运算.2.首尾相接的假设干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法那么称为向量加法的多边形法那么.变式训练i如图7-6-3所示，空间四边形OABC,其对角

9、线为OB, AC, . M, N分别为OA, BC的中点，点G在线段MN上，且MG = 2GN,假设OG = xOA+ yOB+ zOC,那么 x+ y+ z=图 7-6-3 TOC o 1-5 h z 5、6 连接 ON,设OA= a, OB= b, OC = c,11 那么 MN = ON OM = 2(OB + OC) /OA= 2b + gc 2a,一 一 一 1 一 2 一OG= OM + MG =-OA+ -MN 23= 2a + 31b+ 1c1a =1a+1b+1c.y=3,1 z=3. 一1又OG=xOA+yOB+zOC,所以 x=6,1115因此 x+ y+ z= 6；+

10、+ = 61L”？l共线向量与共面向量定理的应用卜例一（1）（2021佛山模拟）a=（在1,0,2）, b=（6,2厂1,2九 假设all b,且a与b反向，那么壮尸.（2）如图7-6-4所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1,点M, N分别在AC1和BC上,且满足AM = kAC1，BN = kBC(0&k& 1).图 7-6-4向量MN是否与向量AB, AA1共面？直线MN是否与平面ABB1A1平行?5(1)2 . all b,且 a 与 b反向,. .(6,2 厂 1,2= k(狂 1,0,2), k . 一 -一所以由共面向量定理知向量 MN与向量AB, AA1共面.6分当k= 0时，点

11、M, A重合，点N, B重合，MN在平面ABBiAi内；当0k01时，MN不在平面 ABBiAi内，一 ，一又由知MN与AB, AA1共面，所以MN /平面ABBiAi.12分规律方法1.判定空间三点共线，要结合向量从三点中提炼两个共点向量， 利用共线向量定理判断，但一定要说明两线有公共点.2.证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P, A, B, C四点共面，只要能证明PA=xPB+yPC,或对空间任一点。，有OA= OB + xPB+yPC,或 OP= xOA+ yOB + zOC(x+ y+ z= 1).变式训练2 A, B, C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,假设点M

12、一 1 潴足 OM = -(OA+ OB+OC).3(1)判断MA, MB, MC三个向量是否共面；判断点M是否在平面ABC内.一 解(1)由 OA+OB+OC = 3OM, TOC o 1-5 h z 广 八 .OA- OM = (OM OB) + (OM OC).2 分 77即 MA= BM + CM = -MB-MC,一八 .MA, MB, MC 共面.5 分, , 二一一一、，一 ,(2)由(1)知MA, MB, MC共面且过同一点 M.I考向3四点M, A, B, C共面，从而点M在平面ABC内.12分空间向量数量积及其应用例!3 如图7-6-5所示，空间四边形 ABCD的各边和对角

13、线的长都等于 a,点M, N分别是AB, CD的中点.c图 7-6-5(1)求证：MNXAB, MNXCD;(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.【导学号：57962350】解(1)证明：设AB=p, AC = q, AD=r.由题意可知，|p|=|q|=|r|=a,且p, q, r三个向量两两夹角均为60.11 MN = AN AM = 2(AC + AD) 2AB1= 2(q+r p), 1MN AB= 2(q+ r p) p= 2(q p+r p-p2)1c =2(a2cos 60 4 a2cos 60 a2) = 0.一一，二一 .MNXAB,即 MNXAB.同理可证MNXCD.(

14、2)设向量AN与MC的夹角为9. TOC o 1-5 h z 1 1AN = 2(AC + AD)=2(q+r),_1MC = AC AM = q _ 2p,之一 111 2 11AN MC = 2(q+ r) q2P =5 q -2q p+r q 亍 p121 221 2=2 a 2a cos 60 + a cos 60 2a cos 601 2 a2 a2 a2 a2=2a又 AN| = |MC| = 3a,.AN MC= AN|MC|cos 4aX5aXcos 4，八2 cos 8= 3.与CM所成角的余弦12分,一一 , 一 一,八一 *一、一 . 2 一一一.,向量AN与MC的夹角的

15、余弦值为2,从而异面直线AN 3值为3.规律方法(1)基向量法:ab=|a|b|cosa, b.(2)坐标法:设 a=(xi, yi, zi), b=(x2,乎,z2),那么 a b= xix2 + yiy2+ziz2.2.利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(i)ab? ab = 0.(2)|a| = V?.a bcosa, b=丽.变式训练3如图7-6-6,在平行六面体 ABCD-AiBiCiDi中，以顶点 A为端点的三条棱长度都为求ACi的长；求AC与BDi夹角的余弦值.解(1)设AB = a, AD = b, AAi = c,那么 |a| = |b|= |c| = 1,a, b= b, c= =%.，6|BDi|AC|12分AC与BDi夹角的余弦值为 噜.名师微博今思想与方法.利用向量的线性运算和空间向量根本定理表示向量是向量应用的根底.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.用向量解决立体几何问题时，可用基向