合同线性化与线性化合同

1、.PAGE ：.；PAGE 10合同线性化与线性化合同张巍(东北财经大学 大连 116025)The Linearization of Contracts and Linear ContractsZhang Wei(Dongbei University of Finance and Economics, Dalian 116025)摘要：本文讨论了不对称信息下委托代理关系中合同的线性化与线性化的合同。我们的出发点是代理人之间的才干差别，由此诱发了同时存在的逆向选择和品德风险问题，为处置这一问题我们得到一个产出呈凹性的支付合同，并对其线性化，思索到这一参数线性合同系的不稳定性，我们最终以无参数的

2、线性合同来替代，从而更为接近现实中运用的合同。关键词：线性合同，委托代理，逆向选择，品德风险Abstract：The paper discusses the linearization of contracts and linear contracts in principal-agent relationships under asymmetric information. Our starting point is the difference of capability between agents; therefore adverse selection and moral hazar

3、d coexist. To handle such a problem, we get a parameterized payment contract concave on output, linearize it, and in view of its instability substitute it with non-parameterized linear contracts, which is more approximate to realistic contracts.Key Words: Linear Contracts, principal-agent, Adverse S

4、election, Moral Hazard中图分类号：C936JEL分类号：M52合同线性化与线性化合同0、引言在委托代理实际中，由于委托人与代理人具有不同的目的函数，在信息不对称的情况下，处于信息优势的委托人无法对代理人进展有效的监视，代理人追求本身成效最大化的行为就会偏离甚至损害委托人利益，从而产生了品德风险与逆向选择问题。处理此问题的关键在于委托人必需给与代理人适当有效的鼓励，那么补偿的方式是怎样的？以往的委托代理文献1-6阐明，在具有特定的分布函数与符合严厉的约束条件下，最优的补偿合同是线性的，换句话说，通常意义下的最优合同应该是非线性的。然而现实上恰恰是线性的补偿合同得到了大量的运

5、用，缘由能够下面两个方面：首先复杂的鼓励方案是难以实现的，制定这一方案必需思索众多与代理人私人信息相关的要素，而实行中代理人却能够以合谋等种种手段来放松委托人的约束条件，使得期望的最优配置难以实现；其次，信息构造或技术条件的即使是微小的变化都将使得这种鼓励方案很难坚持最优，或者说不具有稳健性Robustness。这些缘由激发了在线性合同方面大量的研讨。Holmstrom与Milgrom1 (1987)是讨论线性合同的经典文献，它假定委托人风险中性，代理人具有常数绝对风险躲避系数CARA和负指数成效函数，那么当随机误差服从正态分布，最优的合同关系就是线性的，这样使得比较静态分析变得非常简单，因此

6、也遭到了广泛的关注，但是这一模型仅仅思索了品德风险问题。Scattle和Sung(1993)2 ,(1997)3对其进一步的完善，前者得出了运用一阶方法的充分必要条件，后者指出了假设不满足时最优解将不再具有马尔可夫性质。Diamond4(1987)讨论了当代理人努力程度相对产出程度缩减时，假设代理人的控制空间是满秩的无法以套利等方式获取相关收益，最优合同就收敛为线性的。Laffont和Tirole5(1986)讨论了另一个极端，当委托人可以对工程信息充分了解并可以投资于本钱缩减，他会为代理人提供一个与本钱呈线性的鼓励合同。Levy和Vukina6 (2002)关注于代理人的才干差别，指出假设不

7、存在买卖本钱，委托人会向代理人提供一系列基于个人的线性合同，最终合同的线性程度取决于对代理人才干差别的鉴别本钱。国内这一方面研讨比较少见，罗大伟7等在二阶多项式及二点分布条件下，以合同的曲率来判别其凸凹性，但合同方式的假设过于苛刻。洪剑峭8以数值模拟的方式来比选预算报酬方案与线性报酬方案，其更加关注于本钱而非鼓励。我们的研讨起点接近于Levy和Vukina，成认才干差别导向一个线性合同系，但我们思索到同时存在的逆向选择和品德风险问题，更加关注与此情形下的鼓励特性与可操作性。本文余下部分的构造为：第2部分引见完全信息下的基准模型，第3部分在非对称信息下对合同线性化，第4部分给出两种可行的线性合同

8、，第5部分给出了一个数值例子，第6部分是本文的总结。1、基准模型我们由一个简单的完全信息模型开场，这一基准模型Laffont和Martimort9(2002)。思索一个风险中性的委托人，委托代理人消费单位的产出，从中获得的成效为，为代理人消费单位产出得到的转移支付，。代理人存在才干差别，表达在不同的边沿本钱，其累积分布函数为，分布密度，风险中性代理人的成效函数为。在完全信息情况下，没有了隐藏信息和隐藏行动，事前ex ante与事后ex post毫无区别，也就没有必要思索时序问题。委托人可以充分监测代理人的努力程度，因此不用思索鼓励相容约束IC，只需满足参与约束PC，那么委托人的规划式为12容易

9、验证，最优配置下参与约束PC是紧的，那么我们可以将其代入1式，求得一阶条件3二阶条件有假设可知，故充分必要条件成立。我们可以将一阶条件FOC对求导， 即这意味着最优合同具有单调性质，才干越高，产量越高。由参与约束我们得到代理人获得的转移支付为，将其对求导可得，它的符号是不确定的，这意味者代理人收入并未呈现出单调性质，举个例子，当即，每个代理人的收入都是一样的，从本钱角度而言这是公平的，才干高的人单位本钱低，就应该多消费，但从效率角度而言这不符合多劳多得原那么，完全信息呵斥了静态下的棘轮效应ratchet effect 简单的了解为，假设信息不对称，那么代理人必将减少产出以使委托人以为其才干较低

10、，从而获取租金，由于产量越高，委托人以为其本钱越低，对其规范越高，而完全信息单期下就实现了这一效应。2、合同线性化在不对称信息情况下，委托人面临代理人逆向选择与品德风险问题，简单的说，前者使得某种类型的代理人有动机冒充其他类型的代理人，经过选择其他合同以获利；后者影响代理人在选定的合同执行过程中能否偷懒。我们思索此时的合同时序这里A和P代表代理人Agent和委托人Principal。逆向选择发生在，品德风险发生在。为防止其发生，必需参与一些假设和条件。假设：类型的分布函数满足单调风险率性质monotone hazard rate property，即。这一假设条件很容易为通常的分布函数所满足，

11、如均匀分布，正态分布，伽玛分布或贝塔分布等，只需对某些参数加以适当的限制。这时我们必需参与代理人的鼓励相容约束，得到新的规划式45 6这里为类型为的代理人报告类型为所能获得的收益，根据显示原理存在一个直接的显示机制。为了使代理人真实报告其类型，应该有也就是说，当代理人报告真实类型时成效最大。根据包络定理可以得到7为保证我们获得的是最大值，二阶条件要求，这一条件将在下面得到满足。由7我们可以求出代理人的成效函数8留意6和8式不是等价的，8式只能保证代理人报告真实类型，6式同时保证了代理人按委托人期望提供产出，我们将在命题1中对这后一性质进展处置。由8式可知成效是才干的递增函数，那么参与约束5可变

12、为，可验证最终这一约束是紧的。这样我们将简化后的5，8代入4，得到无约束的规划问题。 9对上式求导我们可以得到次优产出的一阶条件：10由于假设其满足单调风险率性质，10式对求导可得到，这就阐明次优合同同样具有单调性质，才干越高，产量越高，同时也满足了7式的二阶条件。留意到当，即最高才干代理人类型时，10式与3式是等价的，也即产出是无扭曲的，这就是通常所说的“角点无扭曲原理。此时我们可以得出代理人获得的转移支付11其中第一部分是本钱补偿，第二部分是信息租金，第三部分是保管成效。此时的转移支付表达了一些有趣的性质，将其对求导可得到，阐明转移支付具有单调性质，才干越高，支付越高。对求一，二阶导数可得

13、，这意味着转移支付对产出具有凹性，这一结果与Popova和Haubrich101998的实证结论是一致的，那么一个直观的想法就是用一组切线逼近转移支付曲线来实现合同的线性化，有如下命题。命题1.如下的线性合同诱导代理人报告真实类型并实现了次优的产出。(12)这里，。证明：见附录这样一个线性合同同时处理了逆向选择与品德风险问题，但是必需留意到这个线性合同是发生在事后的，详细而言是发生在，也就是说，针对委托人确立的对，代理人选择实现以获取相应的，而12只是对这一非线性合同的线性逼近方式。实践上，由于转移支付的凹性，给定产出不变，选择其他代理人的线性合同是绝对占优的，但是产出暴露了代理人的类型，使得

14、他只能选择真实类型的合同。因此，可以看出，这种线性合同是事后不稳定的，假设产出的遭到随机扰动的影响，那么代理人必将从中获得风险租金。3、线性化合同毫无疑问，以为参数的一组线性合同对次优配置有良好的拟合性质，但是，正如我们前面所说，这样的合同是复杂且不稳健的。我们的思绪是用无参数的线性合同来实现11式的转移支付，直观的，有以下两种选择：鼓励强度平衡II坚持代理人的鼓励强度不变，对参数在可行域上积分，容易得到这里，。期望支付平衡EP另一个思绪最小平方法，求残差的最小平方13由概率论的根本知识 详见普通的概率论教材，如性质3.1.4，中山大学数学系编著，高教社：北京，1988，pp194，当且仅当1

15、4这也是我们将其称为期望支付平衡的缘由。14式左边为，右边第一项变化如下那么可得到这里，。根据前面的假设和论证，显然是小于0的，那么可见，。进一步我们有如下命题。命题2.期望支付平衡要比鼓励强度平衡付出更少的期望转移支付。证明：见附录我们可以在图形上表示出合同线性化和线性化合同，如下首先，是一个凹性合同，上面的两条切线是12定义的线性化合同，从图形上更容易看出其事后的不稳定性，同样的产出在其他合同下带来的收益更高；其次，是我们设定的无参数的线性合同，两者斜率与截距的差别由，可知，思索到代理人的成效曲线与合同曲线直线相交以确立其成效，比更高的鼓励强度使得高才干代理人获得更高的成效；最后， 的交点

16、是容易求出的，4、一个数值例子为了更明晰的了解上述线性合同的含义，以下的数值例子是有协助 的。委托人：，满足，代理人：服从在上的均匀分布，即，易得，令。由一阶条件式10，可得，代入的上下限，得，这满足。思索分别为14，15，16三种情形，简单计算得到，留意到，当代理人隐瞒真实类型，按其他类型的代理人的合同消费，其成效低于选择本身类型合同：比如类型，中选择获得信息租金350，选择获得信息租金348，选择获得信息租金348，因此代理人倾向于选择本身类型合同，而一旦选定，产量变动带来的收益变动会被本钱变动抵消，那么代理人就倾向于按委托人要求消费产出，这里即；另一方面，事后的不稳定性表达在，代理人在选

17、择本身类型合同按委托人要求消费产出时，其成效低于选择其他类型合同消费同样产出，比如类型，中选择获得信息租金350，选择获得信息租金352，选择获得信息租金352，即产出的变动影响了合同选择的稳定性。无参数的线性合同计算结果如下：为了防止不消费或过度消费，加上的限制是必要的。显而易见，只对高于平均类型的代理人产生鼓励作用，并且其鼓励程度相对较低，低于平均类型的代理人会倾向于消费，而那么对除了最低才干之外的其他代理人全部具有鼓励作用，这在实际中有着重要意义：对业绩要求较高的职业倾向于采用，而合同那么有利于人才的选拔。5、结论本文讨论了不对称信息下委托代理关系中合同的线性化与线性化的合同。我们的出发

18、点是代理人之间的才干差别，由此诱发了同时存在的逆向选择和品德风险问题，为处置这一问题我们得到一个产出呈凹性的支付合同，并对其线性化，思索到这一参数线性合同系的不稳定性，我们最终以无参数的线性合同来替代，从而更为接近现实中运用的合同。值得留意的是，最终实现的无参数的线性合同丧失的灵敏性使得对于代理人的逆向选择问题再次呈现，对此我们的解释是：我们制定的无参数的线性合同具有次优配置下参数的整体特性，这一点上要远远强于其他方式；当参数分布的方差不大时，均值占据了分布的绝大部分信息，此时的无参数的线性合同也向次优配置逼近，极端情况下，三者重合为一条直线。附录命题1的证明：对这一问题的证明实践上是将代理人

19、报告真实类型后按委托人期望提供产出这一性质添加进来，留意到，委托人确立的合同是针对的对，代理人能够虚报类型选择其他合同，也能够选定合同后变动产出，那么代理人所面临的规划是(A.1)其一阶条件为(A.2)(A.3)当且时，这些条件得到满足，留意这里的，是由委托人确定的次优产出。由于取最大值的二阶条件得到满足。证毕命题2的证明：分别求出两者的期望支付。 A.4 A.5可见A.5式仅比A.4式多个，而根据第三部分的论证，因此前者要比后者付出更多的期望转移支付。证毕参考文献1Holmstrom. Bengt and P. Milgrom, Aggregation and Linearity in th

20、e Provision of Intertemporal IncentivesJ, Econometrica, (1987), Vol:55, pp:303-328, 2Scattler, H and J. Sung, The First-Order Approach to the Continuous-Time Principal Agent Problem with Exponential UtilityJ, Journal of Economic Theory, (1993), Vol:61, No.2, pp:331-3713Schattler, H ,and J. Sung, On

21、Optimal Sharing Rules in Discrete- and Continuous-Time Principal-Agent Problems with Exponential UtilityJ, Journal of Economic Dynamics and Control, (1997), Vol:22, No. 2-3, pp: 551-5744Diamond. Peter, Managerial Incentives: On the Near Linearity of Optimal CompensationJ, Journal of Political Economy，(1987),Vol:106(5), pp: 931-957,5Laffont. JJ and J. Tirole, Using Cost Observation to Regulate FirmsJ, Journal of Political Economy, (1986), vol:94, pp:614-6416Levy. A. and T. Vukina, Optimal linear contra