考点6导数、定积分

1、温馨提示:此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点6导数、定积分x（2010海南高考理科T3）曲线y二-在点-1,-1处的切线方程为（）(A)y=2x-1(A)y=2x-1(B)y=2x-1(Cy-2x-3(D)y-2x_2【命题立意】【思路点拨】【规范解答】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程2(-12厂2,选A.因为y=，所以，在点（-1,-1）处的切线斜率k=y（x+2）2所以，切线方程为y1=2（x1），即y=2x1，故选A.（2010山东高考文科8

2、）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）和年产量x（单位：万件）3的函数关系式为yx，81x-234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）3（A）13万件（B）11万件（C）9万件（D）7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选C.-x281,令yJo得x=9或x-9（舍去），当x：9时y0；当x9时y：0,TOCo1-5hz故当x=9时函数有极大值，也是最大值，故选C.（2010山东高考理科7）由曲线y=x2,y=X围成的封闭图形面积为（）1117（A）（B）（C）（D）124

3、312【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.23【思路点拨】先求出曲线y=x,y=x的交点坐标，再利用定积分求面积【规范解答】选A.由题意得：曲线y=x2,y=x3的交点坐标为（0,0）,（1,1），故所求封闭图形的面积为1/23、，111丄，、丄0(x-x)dx=1-1=,故选A.TOCo1-5hz4124(2010辽宁高考理科10)已知点P在曲线y=上，：为曲线在点P处的切线的倾斜角，则:ex+1的取值范围是()3:3：(A)0,)(B),)(C)(,(D)，二)42244【命题立意】本题考查了导数的几何意

4、义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角和斜率【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求:的范围.【规范解答】选D.(+2+1当且仅当即“耐J川成立。eX/0则-ltanz03又cr亡0,a0)的图像在点(ak,ak)处的切线和x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN讯，若a1=16，则a1+a3+a5的值是【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由y=0，即可求得切线和x轴交点的横坐标【规范解答】由y=x2(x0)得，y=

5、2x,所以函数y=x2(x0)在点(ak,a)处的切线方程为：yak2=2ak(xak),当y=0时，解得x=鱼,2所以ak1=鱼，ara3a5=1641=21.2【答案】21(2010江苏高考T14)将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S(梯形的周长)2梯形的面积则S的最小值是【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的使用，以及等价转化思想【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x，然后用x分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示出来，利用函数的观点解决【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x,则:则:(3-x)24(3-x)2、31-x2(0：x

6、1)方法一：利用导数的方法求最小值方法一：利用导数的方法求最小值2S(x:二，S(x)4(2x_6)(1_x2)_(3_x)2(_2x)(1-x2)2S(x)=0,0：x：1,x二1,3S(x)：0,递减；当S(x)：0,递减；当1x3,1)时，S(x)0,递增;1故当x时，S取最小值是31故当x时，S取最小值是332、33方法二：利用函数的方法求最小值111令3(2,3)，1(齐)，则:111令3(2,3)，1(齐)，则:2S=4t=41-1?+6t-8品十_1t2tS取最小值是【答案】【答案】32、3【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在使用题、函数导

7、数的综合解答题中考查高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法(2010陕西高考理科T13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部【命题立意】本题考查积分、几何概型概率的简单运算，属送分题TOCo1-5hz【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可求解1231【规范解答】阴影部分的面积为S阴影=3x2dx=x3o=1.所以点M取自阴影部分的概率为D_Sw_1_1S长方形3汉13【答案】-3(2010海南高考理科T13)设y=f(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有Owf(x)0).2+-x2(k0).2N(2010北京高

8、考理科T18)已知函数f(X)=ln(1+x)-x(1)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f)处的切线方程;求f(x)的单调区间【命题立意】本题考查了导数的使用，考查利用导数求切线方程及单调区间.解决本题时一个易错点是忽视定义域.【思路点拨】(1)求出f(1)，再代入点斜式方程即可得到切线方程；(2)由k讨论f(X)的正负，从而确定单调区间.21【规范解答】(1)当k=2时，f(x)=ln(1xxx，f(x)12X1+x3由于f(1)=1n2，f(1)=3，2所以曲线y二f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为3y-ln2(x-1)2，即3x-2y2ln2-3=0.(2)f(x)二1x(

9、kxk-1)1kx二1x1xx(-1,：).当k=0时,f(x)二所以，在区间(-1,0)上，f(x)0；在区间(0,：)上，f(x)：0.故f(x)的单调递增区间是(-1,0)，单调递减区间是(0,TOCo1-5hzkx(x-)k当0:k1时，由f(x)k0，得捲=0,x2一0，1+xk1-k1_k所以，在区间(-1,0)和(，：)上,f(x)0;在区间(0,)上,f(x)：0,kk1k1_k故f(x)的单调递增区间是故f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(，：)，单调递减区间是(0,).kk2x当k=1时，f(x)二故f(x)的单调递增区间是(-1,=).TOCo1-5hzkx(x丁)1

10、_k当k1时，f(x)k0，得人=一.(_1,0)，X2=0.1+xk1_k1k所以在区间(-1,)和(0：)上,f(x)0;在区间(，0)上,f(x)：0kk4_k1_k故f(x)的单调递增区间是(_1,-)和(0,：)，单调递减区间是(-,0)k【方法技巧】y二f(x)过(Xo,f(Xo)的切线方程为y-f(Xo)=f(Xo)(X-Xo).求单调区间时要在定义域内讨论f(x)的正负11.(2oio安徽高考文科2o)设函数fx=sinx-cosxx1,0：x：2二，求函数fx的单调区间和极值.【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和极值的方法，考查考生运算能力、综合分析

11、问题能力和问题的化归转化能力【思路点拨】对函数f(x)求导，分析导数f(X)的符号情况，从而确定f(X)的单调区间和极值【规范解解】：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0 x0,所以f(x)xbxexd在(-m,+m)内无极值点等价于f(x)二ax2bxe一03在(-m,+s)内恒成立.由(*)式得2b=9-5a,c=4a.又，=(2b)24ac=9(a1)(a-9)5丄a0ii解得a1,913=9(a-1)(a-9)兰0即a的取值范围为1,91【方法技巧】(1)当f(x)在X。的左侧为正，右侧为负时，X。为极大值点；当f(X)在X。的左侧为负，右侧为正时，x0为极小值点2一a0二次函数

12、恒成立冋题可利用开口方向和判别式来解决.y=axbxe(a“)恒大于0,则y)A02a：0y=axbxc(an)恒小于0，贝V(山0)la0.2(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;若在区间_丄1上，f(x)0恒成立，求a的取值范围122【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法【思路点拨】使用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值.3【规范解答】(1)当a=1时，f(x)=x3x21，f(2)=3;f(x)=3x2-3x,f(2)=6.2所以曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线

13、方程为y-3=6(x-2)，即y=6x-9.21(2)f(x)=3ax-3x=3x(ax-1).令f(x)=0，解得x=0或x=a以下分两种情况讨论：11(1)若0：a_2，贝V，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表:a2f(x)0等价于f(x)0等价于1f(7)0,1f(-)0,5-a即85a80,0.x(1I2丿0f(x)+0-f(x)极大值解不等式组得-5a2，则0.当x变化时，f(x),fa2.一11当x二，一221f(-3)，,f(x)0等价于2即f(l)o,a5a0,81-丄0.2a2解不等式组得:a:5或a.因此2a5.22综合(1)和(2),可知a的取值范围为0a0,

14、此时fx：0,函数fx单调递减；当x三1,：时，gx0,此时x，函数fx单调递增.当a=0时，由fxi；=O,21即ax-x1-a=0，解得x=1,x21.a1当a时，Xi=x2,gx0恒成立，此时x乞0,函数fx在(0,上单调递减i当0：a时，一一110,ax三0,1时，gx,此时X:0,函数fx单调递减，x1,1-1时，gx0,此时x-0,函数fx单调递增，Ia丿X三1-1,V时，gx0,此时X:0，函数fx单调递减,a1当a：0时，由于1：0,ax三0,1时，gx0,此时x:0,函数fx单调递减，x三1,=时，gx0,此时fx0,函数fx单调递增综上所述：当a-0时，函数fx在0,1上单

15、调递减；函数fx在1,亠上单调递增,a冷时,函数fx在0上单调递减,当0：a.2时，函数fx在0,1上单调递减；函数fx在1，-1上单调递增;函数f(X)在11-1I上单调递减la丿【方法技巧】1、分类讨论的原因某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数和底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能2、分类讨论的原则要有明确的分类标准；对讨论对象分类时

16、要不重复、不遗漏；当讨论的对象不止一种时，应分层次进行明确讨论对象，确定对象的范围；确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；逐段逐类讨论，获得阶段性结果；归纳总结，得出结论.16.(2010陕西高考文科21)已知函数f(x)二&4匕)二alnx,aR.若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；设函数h(x)二f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值-(a)的分析式；对(2)中的:(a)，证明：当a(0,=)时，:(ab0时，令h(x)=0,解得x=4a2,所以当0 x4a2时，h(x)0,h(x)在(4a2,：)上递增.所以

17、x=4a2是h(x)在(0,+R)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点22.最小值(a)二h(4a)=2a-aln(4a)=2a(1-ln(2a).当aw0时，h(x2a0,h(x)在(0,+1递增，无最小值.2x故試町扩宀趴Mlln(2)0由(2)知:(a-2ln2a,(a.0).1由：(a)=-2ln(2a)0,得0:a;21由：(a)=-2ln(2a)：0,得a;2i所以(a)在(0,-)上是增函数，在(丄：)上是减函数，21所以;:(a)的最大值为:(-),2又(1)=2-ln(2*)=1.所以当a(0,=)时，(a)叮.17.(2010陕西高考理科21)已知函数f

18、(x)=x,g(x)=alnx,aR.若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；设函数h(x)二f(x)g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值(a)的分析式；对(2)中的(a)和任意的a0,b0，证明：甲冒+勺兰取(a)+寳(b)兰甲(2ab)22a+b八【命题立意】本题将导数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】曲线y二f(x)和y二g(x)在交点处有相同的切线=交点坐标=a的值及该

19、切线的方程;由h(x)=利用导数法求h(x)的最小值-(a)的分析式=利用基本不等式证明(3).【规范解答】1a(1)f(x)=(x)v0),長=anx,q由已知得：ia解得a=e,x=e.2.xx二两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为k=fe2)=丄2e所以切线的方程为y-e(x-e2),即x-2eye2=0.2e(2)由已知条件知h(x)=.：;汉_alnx,(x.0).h(x)叮xx-2a2x当a0时，令h(x)=0,解得x=4a2,所以当0 x4a2时，h(x)4a2时，h(x)0，h(x)在(4a2,二)上递增.所以x=4a2是h(x)在(0,+g)上的唯一极值点，且是极小

20、值点，从而也是h(x)的最小值点.最小值(a)二h(4a2)=2a-aln(4a2)=2a(1-1n(2a).当a0(3)由(2)知(a)二-2ln2a,(a0).对任意的a0,b-0,a+b.(一-)=-2ln(ab)_-21n(2.ab)=-ln(4ab),2二Tn(4ab),(a)：(b)_-21n(2a)-21n(2b)2ab4ab4ab(兀)_2ln(兀八Wf(4ab),【方法技巧】不等式的证明方法综上可得：崔a+b厂取(a)+叩(b)2ab)(2_2(ab).1证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当

21、的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.2在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的.、，_218.(2010湖南高考理科T4)已知函数f(x)=xbxc(b,R),对任意的xR，恒有f(x)乞f(x).(1)证明：当x_0时，f(xi(xc)2

22、;若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)冬M(c2-b2)恒成立，求M的最小值.【命题立意】以二次函数为载体，考查导数，不等式的证明，消元等知识.考查了等价转化的思想.【思路点拨】(1)在对任意的xR，恒有f(x)乞f(x)下可以得到b,c的关系，目标是证明当x_0时,2f(X)乞(Xc)，其实是寻找条件和目标的关系，连接的纽带是b和c的关系.(2)恒成立，转化为求函数的最值，而且是二元函数的最值的求法，没有等式的条件下常常用整体消元【规范解答】(1)易知f(x)=2x+b.由题设，对任意的w0,从而w0,从而1.222xR,2xbxbxc,即x(b-2)xcb_0恒成立，所以

23、(b-2)-4(c-b)于是c1,且c|b|,因此2c-b=c+(c-b)0.2故当x0时，有(x+c)-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)0.即当x0时，f(x)乞(xc)2.由(1)知,c|b|时，有Mf(c)-f(b)c2-b2be-b2c2b2222_c-bc-bbc令则，書21而函数g(t)=2(-V.t：1)的值域是3因此，当c|b|时，M的取值集合为I，：)22当c=|b|时，由(1)知,b=2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0,c-b=0,3从而f(c)-f(b)w0,M无最小值.综上所述，M的最小值为一.2【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点.解题的思路是，首先

24、看变量的个数，如果是三个变量常有三条路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题.如果是两个变量常常有三条路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可以用数学规划如果是一个变量，常用方法：基本函数模型，单调性法和导数法19.(2010辽宁高考文科21)已知函数f(x)=(a+1)Inx+ax2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性；设aw-2，证明：对任意X1,X2：=(0,+g),|f(xj-f(X2)|4|xX2|.【命题立意】本题考查了函数的单调性和导数，求参数的取值范围，考查了分

25、类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力【思路点拨】(1)求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，(2)转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,通过g(x)的单调性证明.【规范解答】（0/（询定义域为（0,+m）,JC当心庐L在(a+00)上单调递増；当“兰时，(0,+)单调递减;测当测当故在上单调递増，在上单调递减。2)不妨设耳壬吩由a-2,所以/饲在+E上追调递减所帧耳)-/(七申4|耳-对等价幵-/(对王妬-化2ax+4i+a+lJC于是XX从而嵐琳Co,+)上单调递减，所如对立(4即/W*4耳古I-4总所以对任SXi(0F42【命题立意】本小题主要考查导数的使用，利用

26、导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力【思路点拨】利用导数及函数的性质解题.【规范解答】(1)f(x)=(1-x)e，令f(x)=0,解得x=1,当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表x(严1)1(1严)f(X)+0-f(x)极大值所以f(x)在(-：,1)内是增函数，在(1,=：)内是减函数1函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=-e.(2)由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex,令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)二xe(x2)ex，于是F(x)=(x-1)(e2x-1)e当x1时，2x-20,从而

27、e2x-2-10,又e0,所以F(x)0,从而函数F(x)在1,+)是增函数.11又F(1)=e-e，0,所以x1时，有F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).若(xq7)(x：2=0”由(1)及f(x11)=fx易”则x,=诜二1与TJ：施矛盾。若x(%1刃伪(电1十1)0”由曲(j及及xf(x)冃統”錦得xx2与与xx2矛矛盾。TOCo1-5hz根据得(x1)(x2T)：0,不妨设x1：:：1,x21.由(2)可知,f(x2)g(x2)，又g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)f(2-x2)，从而f(x1)f(2-x2)因为x21,所以2X2：1，又由(1)可知函数f(x)在区间(-

28、s,1)内是增函数，所以X12X2,即x1x22.22.(2010江苏高考T20)设f(x)是定义在区间(1,：)上的函数，其导函数为f(x).如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x(1,：)都有h(x)0,使得f(x)=h(x)(x?-ax1)，则称函数f(x)具有性质P(a).(1)设函数f(x)=Inxb_-(x-1)，其中b为实数.x+1(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单调区间.已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x(1,=),人：x?,设m为实数，:=mx1(1-m)X2，:=(1-m)x1mx2，且芒，1：，：1，若1g(：)

29、-g(：)Kg(xj-g(x2)|，求m的取值范围.【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析和解决问题的综合能力【思路点拨】求出f(x)，并将其表示为f(x)二h(x)(x2-ax1)的形式，注意h(x)0.利用(1)的结论求解.【规范解答】1b+212(1)(i)f(x)二-2-2(x2-bx1)，x(x+1)2x(x+1)21x1时，h(x)=冇0恒成立,函数f(x)具有性质P(b).bb2(ii)(方法一)设(x)=x2bx1=(x一)21，(x)和f(x)的符号相同24b2当1.0,-2：b：2时，(x)0，

30、f(x)0,故此时f(x)在区间(1：)上递增;4当b=2时，对于x1，有f(x)0,当b=2时，对于x1，有f(x)0,所以此时f(x)在区间(1：)上递增;当b”-2时，:(x)图像开口向上，对称轴当b”-2时，:(x)图像开口向上，对称轴Ky，而n，所以当x1时(xx2；(0)=0,ffxx)0,所以此时f(x)在区间(1,上递增;当b2时，(x)图像开口向上，对称轴K“厂1，方程X0的两根为:bb2-4bib2-4(0,1)而一.!,一XJ22b+Jb2_4b+yb24b+Jb24当x(1,一)时，(x)：0，f(x)2时，f(x)在(一b+s/54)上递减；f(x)在b+Jb24，代

31、)上递增.(方法二)当b_2时，对于x1，(x)=x2_bx1_x2_2x1=(x_1)2.0b-,b2-4所以f(x)0，故此时f(x)在区间(1,：)上递增;当b2时，(x)图像开口向上，对称轴x=b，1，方程(x)=0的两根为：bb42b+Jb2_4b-Jb2_4_而b_D_1,_u_4(0,1),22b+Jb2-4b+Jb2-4b+Jb24当x(1,)时，(x)：0，f(x)0,所以对任意的x(1,v)都有g(x)0,g(x)在(1：)上递增又-x一x2,：-(2mT)(x一一x2).A-当m一,m鬥时，二，且：-论=(mT)x(1_m)x2,-x2=(1m)x(m-1)x2，2-*(

32、a-AjO?-l)3-花尸0T/aXjx2U戸或:Tia/?T若人：X2：，则gdg(N)：g(x2)：g(J,乜(皿)艺UO卜2(耳)艺(叨丨，(不合题意).解得1当=1时*口=00=|g(a)-g()|s()-S2)*符合题意.当桶U时*20、且肚_巧=用(旺_召),0_壬=一用不一工,同理有咼05g即卩严？+刑解得51,+(1-ffiJAjXj2综合以上讨论，得所求m的取值范围是(0,1).(方法二)由题设知，g(x)的导函数g(x)二h(x)(x2-2xT)，其中函数h(x)0对于任意的x(1/：)都成立所以，当x1时，g(x)=h(x)(x-1)20,从而g(x)在区间(1,=)上单

33、调递增.当m(0,1)时，有：=mx-i(1-m)x2mx(1-m)x论，：=mx-!(1-m)x2:mx2(1-m)x2=x2，得卫-(x1,x2)，同理可得：-(x1,x2)，所以由g(x)的单调性知g(：)、g(J(g(xj,g(x2)，从而有Ig(：)-g(：)l1及g(x)的单调性知g(：)-g(xj：g(x2)-g()，所以Ig()-g(：)IIg(xj-g(x2)i，和题设不符.当m_1时，同理可得：乞x1-x2，进而得Ig()-g(：)IIg(xj-g(x2)I，和题设不符.因此综合、得所求的m的取值范围是(0，1)23.(2010浙江高考文科21)已知函数f(x)=(x-a)

34、2(x-b)(a,bR,ab).当a=1，b=2时，求曲线y=f(x)在点(2，f2)处的切线方程设捲兀是f(x)的两个极值点，X3是f(x)的一个零点，且X3=人，X3=X2，证明：存在实数X4，使得X1,X2,X3,X4按某种顺序排列后得等差数列，并求X4【命题立意】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数使用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识定X4在等差数列中的位置【规范解答】(1)当a=1,b=2时，f(x)=(x_1)2(x-2),因为f(x)=(x-1)(3x-5)，故f(2)=1，f(2)=0,所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y

35、=x-2.(2)因为f(x)=3(Xa)(Xa+2b),由于ab.故aa*2b33所以f(x)的两个极值点为x=a,x=葺竺.3不妨设X1=a,X2=-_,3因为X3X1,X3X2,且X3是f(X)的零点,故X3=b.又因为b31所以x4=2所以存在实数a+qu.a=2(b),所以x-i,x4,x2,x3成等差数列3/,a+2b、2a+b33X4满足题意，且X4=旦卫.3【方法技巧】(1)函数y二f(x)在(Xo,f(Xo)处的切线方程为y-f(X。)=f(x)(x-x)；在函数的极值点处f(x)二0.24.(2010广东高考文科21)已知曲线Cn：y=nx2,点Pn(Xn,yn)(Xn0,y

36、n0)是曲线Cn上的点(n=1,2).试写出曲线Cn在点Pn处的切线In的方程，并求出In和科轴的交点Qn的坐标；若原点O(0,0)到In的距离和线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点巳的坐标(焉，丫.)；设m和k为两个给定的不同的正整数，xn和yn是满足(2)中条件的点巳的坐标，s证明：n:(m1)Xn-J(k+1)yn|VmS-囲(s=1,2,)【命题立意】本题为一道综合题，主要考查分析几何、导数、不等式等的综合使用【思路点拨】(1)利用导数求解；(2)利用不等式的性质求解；(3)用数学归纳法证明【规范解答】(1)y=2nx,f(xn)=2nxn2切线In的方程为：y-nXn=2nXn(

37、X-Xn)即：2nxnx-y-nxn2二0，令x=0，得y=-nXn2令x=0，得y=-nXn22Qn(0，-nXn)（2）设原点到I.的距离为d，则（2）设原点到I.的距离为d，则2nXn2nXnd=(2nXn)212nXn224nXnPnQn=族2+(2门汀)所以，nXnnXn212nXn2PnQn1+4门从，当且仅当1=4n2Xn2即42Xn14?(Xn0)时，等号成立，此时,1X_2n(3)所以,pn(2?4n)(m1)Xn.mk1.ms-：ks成立，2-,(k1)yn1ns要证、n=1(m1)Xn即证龙(FT即证:11F2（J用-1）（近第即证:即证:F面用数学归纳法证明1+亠+亠+

38、i|+A2JS成立.V2V3Vs当s=1时，左边=1，右边=2、1=2，不等式成立.假设s=k时，不等式成立，即1+-i+|十一2Jk成立,V273y/k1111当s=k1时，1罷7311R1.k.k1.k120k2k22112kk：kk(k)，42.k2k:k2l21112(.kk-)2(k-)-_2：二2-k1k1、k1当1时，有1；川？蓉2厂成立，111f-综上，2J2S成立，又:m、k.N.，且m”m.i、k111111：2.S22忌E厂23.s=(x-a)2(xb)ex,bR,x=a所以，原不等式成立(2010浙江高考理科t22)已知a是给定的实常数，设函数f(x)是f(x)的一个极

39、大值点.求b的取值范围；设x-i,x2,x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4R，使得x-i,x2,x3,x4的某种排列兀，程，鼻，况(其中J1,i2,i3,i?=,2,3,4?)依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的X4；若不存在,说明理由.【命题立意】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数使用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识【思路点拨】(1)利用函数取得极大值的条件，求b的范围；(2)可先求出x1,x2,x3，利用等差数列的相关知识来求X4.由于x,x2,x3,x4的排列有多种情况，因此要注意讨论【规范解答】(1)f

40、(x)=ex(x-a)x2+(3a+b)x+2baba丨,令g(x)=x2(3-ab)x2b-ab-a,贝,：=(3-a+b)24(2baba)=(ab1)28.0,于是，假设XX2是g(x)=0的两个实根，且X|:x2.当xi=a或X2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意.当xi=a且X2严a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故xiaX2.2即g(a)：0，即a(3-ab)a2b-ab-a：0所以b：-a，所以b的取值范围是(-：，-a).由(1)可知，假设存在b及x4满足题意，解方程g(x)=0得X1二X1二(a-b-3)-(ab-1)282，X2(a-b-3)(ab-1)

41、282当x2-a二a-Xj时，贝Ux4=2x2-a或=2论-a，于是2a二捲x2二a-b-3，即b二-a3.此时X4=2x2-a=a-b-3、(ab-1)28-a=a2.6或x4二2x2-a=a-b-3-,(ab-1)28-a二a-2.6.当x2-a=2(a-xj或(a-xj=2(x2-a)时，(i)若X2-a=2(a-xj，则xa生,2于是3a=2片X2二33)-b1)28，即.(ab-1)28二-3(ab3)，于是ab-1=或3(舍).22此时j=2a3)一33b可十一彳卩1乜TOCo1-5hz242ax-j右a-捲=2(x2-a)，则x4-,2于是32忑十召H十丫即问话1=逾十切9139

42、13于是ab-1(舍)或222a(-3)%b3)十.4综上所述，存在b满足题意,b=-a-3b-ab-a【方法技巧】1函数在1+后X4=a2xa.宁X0处取得极大值的条件是，在X0的左侧f(X)0，在X0的右侧f(X)：:0；2、由于本题的f(x)的3个极值点间存在关系xiaX2,所以可能有四种情况：x4,X|,a,x2或x,a,x2,x4或%,X4,a,X2或Xi,a,X4,X2.讨论时要做到不重不漏1(2010福建高考文科22)已知函数f(x)=x-X2，axb的图像在点P(0,f(0)处的切线3方程为y=3x-2.求实数a,b的值；设g(x)=f(x)+是2,：上的增函数x1求实数m的最

43、大值；当m取最大值时，是否存在点Q,使得过点Q的直线若能和曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【命题立意】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数和方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类和整合的思想【思路点拨】第一步利用切线方程列出两个方程求解a,b的值；第二步(1)利用导数的符号和单调性的关系，把单调性问题转化为恒成立问题进而转化为求最值的问题进行解决；(2)利用函数图像的中心对称,得两个封闭图形的面积总是相等的【规范解答】【规范解答】2(1)由f(X)二X-2xa，及题设得0

44、=3a=3f0=-2b2(2)由gxx3-x23x-2旦得gx=x2-2x3社，：gx是2,二上的增3x-1(x-1)函数，.gx-0在9,亠上恒成立，设x-1$二t,：x2,=,-t1,=，即不等式t2半亠0在1,：上恒成立.当m-0时，不等式t2-m0在1,上恒成立；t当m0时，不等式y=t2,t三1,亠i,因为y=1右0，所以函数y=t2-在1,亠i上tt2t单调递增；因此ymin=3-m，Vymin_0,.m3，又m，0，故0：m空3，综上所述，m的最大值为3；13由得gX飞八宀3，其图像关于点13由得gX飞八宀3，其图像关于点qi,-i成中心对称.313证明如下：；gx二X3-X23

45、x-2丄,x113证明如下：；gx二X3-X23x-2丄,x1g(2-x)W(2-xj-(2-xf+3(2-X)-2+(2_；円x3x2_3x8331x2因此gxg2-X，上式表明，若点Ax,y为函数gx的图像上的任意一点，则点3Bi2x,2yI3也一定在函数g(x)的图像上，而线段AB的中点恒为Ql,-1由此即知函数g(x)的图像关于点Q图像关于点Q1,1成中心对称,3这也表明，存在点Q、,1:使得过点Q的直线若能和函数g(x)的图像围成两个封闭的图形，则这两个I3丿封闭的图形的面积总相等导数的计算，利用函数判断函数单调性、【方法技巧】函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程、极值、最值

46、等问题，以及和不等式、三角函数、数列、立体几何、分析几何等知识相联系的综合题目，类型有交点个数、恒成立问题等，其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化和化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用1a27.(2010山东咼考理科22)已知函数f(x)=1nx-ax1(aR).x1(1)当a时，讨论f(x)的单调性;2(2)设g(x)二x2-2bx4.当a=-时，若对任意x(0,2)，存在x1,21,4使f(xjg(X2)，求实数b的取值范围.【命题立意】本题将导数、二次函数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考

47、查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,同时应注意分类标准的选择;【思路点拨】(1)直接利用函数单调性和导数的关系讨论函数的单调性利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间1,2上的最大值,然后解不等式求参数1_a【规范解答】(1)因为f(x)=lnx_ax1x，21a-1ax-x1-a所以f(x)a22，x二(0，)xxx，2令h(x)=ax_x+1_a，x运(0,址)当a=0时，h(x)-x1，x(0,：)所以当x(0,1)时，h(x)0,此时f(x)：o函数f(x)单调递减；当(1,：)时，h(x):：:0，此时f(x)0,函数f(x)单调递增当a=0时，由f(x)=0，21即ax一x1-a=0，解得x-i=1,x21a(1)当护时羽=兀/(.巧羽恒成立