江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷

1、江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013 届高三第三次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分1 已知集合A2，1 ， B1，2 ，则 AB开始S0设复数z 满足 (34i)z5 0 （是虚数单位），则复数z的SS 400模为SY2000N右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是输出 S开始（第 3 题）“ MN ”是“ log 2 Mlog 2 N ”成立的条件（从“ 充要”，“ 充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）频率根据某固定测速点测得的某时段内过往的100 辆组距0.0175机动车的行驶速度(单位： km/h)绘制的频率分布0.01

2、50直方图如右图所示该路段限速标志牌提示机动0.0100车辆正常行驶速度为60 km/h120 km/h，则该时0.00500.0025段内非正常行驶的机动车辆数为40 60 80 100 120 140速度/ km/h( 第 5 题)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x 22 py( p0)上纵坐标为1 的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为从集合1， 2， 3， 4，5， 6， 7， 8 9中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3 倍的概率为第 1页 共 21页在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为 圆 C ： ( x1) 2y24 上的任意一点，点Q (2 a， a3 )(

3、 aR )，则线段PQ 长度的最小值为y 5函数f ( x)Asin( x) (A0，0 ， 02 ) 在 R 上的部分图象如图所示，则f (2013)的值为1O511 x 各项均为正数的等比数列an中， a2a11当 a 3 取最小值时，数列an的通项公式an=( 第 9 题)已知函数f (x)ax2，2 x 1 x 0是偶函数，直线yt 与函数yf ( x) 的图象自左向右依次交x2bx c ， x0于四个不同点A ， B ， C ， D 若 ABBC ，则实数的值为1111则点 过点 P( 1 ， 0) 作曲线 C ： yex 的切线，切点为T，设 T在 x 轴上的投影是点H，过点 H再

4、作曲线 C 的切线，切点为T2，设 T2 在 x 轴上的投影是点H 2 ，?，依次下去，得到第n 1 (nN ) 个切点 Tn 1Tn 1的坐标为 在平面四边形ABCD 中，点E， F 分别是边AD， BC 的中点，且AB1， EF2 ， CD3 若 AD BC15 ， 则 AC BD的值为已知实数a1， a2， a3 ，a4 满足 a1a2a30 ， a1 a42a2a4a 20 ，且 a 1a 2a3，则 a4 的取值范围是第 2页 共 21页二、解答题 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等（ 1）求证：AB / 平 面 PCD ；（ 2）求证：平面PAC平

5、面 ABCD PADOBC（第 15 题）222 在 ABC 中，角A ， B ， C 所 对的边分别为a ， b ， c已知（ 1）求角 B 的大小；（ 2）设 Tsin2A sin2B sin 2 C ，求 T 的取值范围sin C 2sin A sin Cac222ab某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图 1 是单层玻璃，厚度为8 mm；图 2 是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧T的温度差为T ，单位时间内，在单位面积上通过的热量Qkd，其中k 为热传导系数假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的

6、热量相等（注：玻璃的热传导系数为 410 3J mm/ C，空气的热传导系数为2.510 4 J mm/ C）（ 1）设室内，室外温度均分别为T1 ， T 2 ，内层玻璃外侧温度为T1，外层玻璃内侧温度为T2，第 3页 共 21页且 T1T1T2T2 试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用 T 1 ， T 2 及 x 表示）；（ 2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4% ，应如何设计 x 的大小？墙墙T1T2T 1T1T2T284x4室内室外室内室外墙墙图 1图 2（第 17题）x如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆222y

7、1(ab0)的右焦点为F (1 ， 0) ，离心率为分a2b22别过 O ， F 的两条弦AB ， CD 相交于点E （异于A ， C 两点），且OEEF （ 1）求椭圆的方程；y（ 2）求证：直线AC ， BD 的斜率之和为定值CAEDOFxB（第 18 题）第 4页 共 21页已知数列an是首项为1，公差为 d 的等差数列，数列bn是首项为1，公比为 q (q1) 的等比数列（ 1）若 a 5b5 ， q3 ，求数列anbn的前 n 项和；（ 2）若存在正整数k (k 2) ，使得 akbk 试比较a n 与 bn 的大小，并说明理由设 f (x) 是定义在(0，) 的可导函数，且不恒为0

8、 ，记 g n ( x)f (x)*xn(nN) 若对定义域内的每一个 x ，总有n ()0f (x)gn (x) ，g x，则称为“ n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有则称 f (x) 为“ n 阶不减函数”（g n ( x)为函数gn ( x) 的导函数）（ 1）若 f ( x)a1x( x0) 既是“ 1 阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数 a 的取值范3xx围；（ 2）对任给的“2 阶不减函数”f ( x)，如果存在常数c ，使得f (x)c 恒成立，试判断f (x) 是否为“ 2 阶负函数”？并说明理由数学附加题【选做题】选修4 1：几何证明选讲如图，O 的半径为3

9、，两条弦AB ， CD 交 于点P ，且 AP1，CP3 ， OP6 F求证：APC DPB ADPBCO第 5页 共 21页E（第 21 A 题）选修 4 2：矩阵与变换已知矩阵Mx5不存在逆矩阵，求实数x 的值及矩阵M 的特征值66选修4 4：坐标系与参数方程0在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0 ， 1) ， B(0 ， 1) ， C (t ，0) ， D3，t，其中 t0 设直线AC与 BD 的交点为P ，求动点P 的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程选修4 5：不等式选讲an 1n1已知 a0 ， b0 ， nN * 求证：nbnab ab 【必做题】设 nN* 且 n 2 ，证

10、明：a1a222n123ana1 2a2a22 aaaana2a 3a4anan 1 an【必做题】第 6页 共 21页下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中，部分的面积各占转盘面积的1 ，121 ， 1，1游戏规则如下：642 当指针指到，部分时，分别获得积分100 分， 40 分， 10 分， 0 分； （）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40 分，则按获得相应的积分，游戏结束；（）若参加该游戏转一次获得的积分是40 分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0 分，否则最终积分为

11、100 分，游戏结束设某人参加该游戏一次所获积分为（ 1）求0 的概率；（ 2）求的概率分布及数学期望（第 23题）南通市 2013届高三第三次调研测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分1 已知集合A2， 1 ， B1， 2 ，则 AB【答案 】 ( 2，2)设复数 z 满足 (34i)z50 （是虚数单位），则复数z 的模为【答案】开始S0SS400S 2000YN右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是输出 S【答案】 2400第 7页 共 21页开始（第 3 题）“ MN ”是“ log 2 Mlog 2 N ”成立的条件（从“ 充要 ”，“

12、充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）【答案】必要不充分频率组距根据某固定测速点测得的某时段内过往的100 辆0.0175机动车的行驶速度(单位： km/h)绘制的频率分布0.0150直方图如右图所示该路段限速标志牌提示机动0.0100车辆正常行驶速度为60 km/h120 km/h，则该时0.00500.0025段内非正常行驶的机动车辆数为40 60 80100 120 140速度/ km/h【答案】15( 第 5 题)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x22 py( p0) 上纵坐标为1 的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为【答案】 4从集合1，2，3，4，5，6 ，7

13、，8 9 中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3 倍的概率为1【答案】12在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为 圆 C ： ( x1)2y24 上的任意一点，点Q (2 a， a3 )( aR )，则线段PQ 长度的最小值为y【答案】525函数f ( x)Asin(x) (A0，0 ， 02 ) 在 R 上的部分图象如图所示，则f (2013)的值为1O511 x【答案】53( 第 9 题)2 各项均为正数的等比数列an中， a2a11当 a3 取最小值时，数列an的通项公式an =【答案】 2n 1第 8页 共 21页已知函数f (x)ax2x22 x 1 x 0，是偶函数，直线

14、y t 与 函数ybx c ， x0f ( x) 的图象自左向右依次交于四个不同点A ， B ， C ， D 若 ABBC ，则实数的值为【答案 】74 过点 P( 1 ， 0) 作曲线 C ： yxe 的切线，切点为T1 ，设 T1 在 x 轴上的投影是点H 1 ，过点H 1再作曲线 C 的切线， 切点为 T2 ，设 T2 在 x 轴上的投影是点H 2 ，?，依次下去，得到第 n1 (nN) 个切点 Tn 1 则点 Tn 1 的坐标为【答案 】 n ， en 在平面四边形ABCD 中，点E， F 分别是边AD ， BC 的中点，且AB1， EF2 ， CD3 若 AD BC15 ，则 ACB

15、D 的值为【答案 】 13 已知实数a1 ， a2 ， a 3， a4 满足 a1a 2a30 ， a1a42a2a4a 20 ，且 a1a 2a3 ，则 a 4 的取值范围是【答案 】15 ， 1522二、解答题 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等（ 1）求证：AB / 平 面 PCD ；（ 2）求证：平面PAC平面 ABCD 证明：（ 1 ）在矩形ABCD中， AB / CD ，P又 AB平面 PCD ，CD平 面 PCD ，所以 AB / 平面 PCD ?6 分（ 2）如图，连结BD ，交 AC 于点 O ，连结PO ， 在矩形 ABCD中，点 O 为 A

16、C ， BD 的中点，第 9页 共 21页ADOBC（第 15 题）又 PAPBPCPD ，故 POAC ， POBD ，?9 分又 ACBDO，AC， BD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD，?12分又 PO平 面 PAC ，所以平面PAC平面 ABCD ?14分 在ABC 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c已知sin Cb 2a2c2222 （ 1）求角 B 的大小；（ 2）设 Tsin2Asin 2 B sin 2 C ，求 T 的取值范围2sin A sin Ccab解：（ 1 ）在 ABC 中，asin Cb22c22accos BccosBsin C c

17、os B，?32222sin Asin Ccab分2ab cosCb cos Csin B cos C因为 sin C0 ，所以 sin B cos C2sinA cos Bsin C cos B，所以 2sin A cosBsinBcosCsinC cosBsin(BC )sinA ，?5分因为 sin A0 ，所以 cos B1，2因为 0B，所以 B?7 分32（ 2） TsinA2sinBsin2C1(1 cos2 A)31(1cos2C )24271 (cos2 Acos2C)71cos2 Acos 4 2 A4242313171cos2Asin 2A7cos 2 A?1142224

18、23第 10 页 共 21页分因为 0A2，所以 02A4，33 5 1故 32 A333，因此91 cos 2 A32 ，所以T 24?14 分某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图 1 是单层玻璃，厚度为8 mm ；图 2 是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，T两侧的温度差为T ，单位时间内，在单位面积上通过的热量Qkd，其中k 为热传导系数假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等（注：玻璃的热传导系数为 410 3J mm/ C，空气的热传导系数为2.5 10 4J mm/ C）（ 1）设室内，室

19、外温度均分别为T1 ， T 2 ，内层玻璃外侧温度为T1，外层玻璃内侧温度为T2 ，且 T1T1T2T2 试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用T1 ， T2 及 x 表示）；（ 2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4% ，应如何设计x 的大小？墙墙T1T2T1T1T2T284x4室内室外室内室外墙墙图 1图 2（第 17题）第 11 页 共 21页解：（ 1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为Q 1 ， Q 2 ，则 Q 14103 T1T2T1T 2 ，?282 000分TTTTTTQ2410

20、31 12.510412410322?64x4分（ 2 ）由（ 1）知T1T1T1T2T2T24x4410 32.510 4410 3T1T1T1T2T2T24x4410 32.510 44 10 3T1T2?9 分4 000 x2 000Q21，Q12x1当 2x1 14% 时，解得x12（ mm ）答：当x12 mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4% ?14 分x2如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2y21(ab0) 的右焦点为F (1 ， 0) ，离心率为a 2b 22分别过 O ， F 的两条弦AB ， CD 相交于点E （异于A ， C 两点），且OEEF （ 1）求

21、椭圆的方程；yC（ 2）求证：直线AC ， BD 的斜率之和为定值A Ec2）解：由题意，得c1 ， e，故 a2 ，OFDx从而 b2a2c 21 ，2xa2B2（第 18 题）所以椭圆的方程为2y1 ?5分第 12 页 共 21页）证明：设直线AB 的方程为ykx ，直线 CD 的方程为yk( x1) ， ?7分由得，点A ， B 的横坐标为2，2k 212k 22(k 21)由得，点C ， D 的横坐标为2k 21，记 A( x1，kx1 ) ， B( x2，kx2 ) ， C (x3，k(1x3 ) ， D (x 4，k(1x4 ) ，?9 分则直线AC ， BD 的斜率之和为kx 1

22、k (1x3 )kx 2k(1x4 )x1x3x2x 4k(x1x31)(x 2x4 )(x 1x3 )(x2x41)(x1x3 )(x 2x4 )k2( x 1 x 2 x3 x4 ) ( x1x2 )(x3x 4 )?13(x1x3 )( x2x4 )分2k2k 222(k 21)12k 214k 202k21(x1x3 )( x 2x4 )0 ?16分 已知数列an是首项为1，公差为d 的等差数列，数列bn是首项为1，公比为q( q1) 的等比数列（1）若 a 5b 5 ， q3 ，求数列anbn 的前 n 项和；（ 2）若存在正整数k (k 2) ，使得 akbk 试比较an 与 bn

23、 的大小，并说明理由解：（ 1 ）依题意，a5b5b1q5 113481 ，a5a181120 ，故 d514第 13 页 共 21页所以 an120(n1)20n19 ，?3 分令 Sn112134132(20n19) 3 n 1 ，3则 3S n13212(20n39) 3 n 1(20n19) 3 n ， 得，2Sn1+203 323n 1(20n19) 3n ，1+203(1 3n1 )13n(20n19)3(29n20n) 329 ，所以 Sn(20 n29)3n29 ?7 分2（ 2）因为 akbk ，所以 1(k 1)dqk 1 ，即 dqk 11 ，k1故 an1 (n1)qk

24、 11 ，k1又 bnqn 1 ，?9分n所以 bnaq n 11( n1)q k 11k1n1k 11(k1)k1q1(n1) q1q1n2n3k 2k3(k 1) qqq 1( n 1) qqq 1k1?11分（）当1nk 时，由 q 1 知bnanq 1k1( k n) qn 2n 3k 2k 3n 1qq 1(n 1) qqqq1 ( kn)( n1)q n 2(n1)( k n)q n 1k1第 14 页 共 21页2n 2(q1) q(kn)( n 1)k10 ，?13分（）当 nk 时，由 q1 知q1k 1k1 ( k1)(nk )q(nk)(kq 1q1n2n 3k1k2k3

25、bnank1(k 1) qqq(nk) qqk 21)qq2( q1)k2 ( nk)0 ，综上所述，当1nk 时， anbn ；当 nk 时， anbn；当 n1，k 时， anbn ?16分（注：仅给出“1nk 时， anbn ； nk 时， anbn”得2 分）设 f (x) 是定义在(0 ，) 的可导函数，且不恒为0， 记 g n ( x)f (nx) (nN * ) 若对定义域内的每x一个 x，总有 gn (x)0 ，则称f ( x) 为“n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有gn ( x)0 ，则称 f ( x)为“n 阶不减函数”（g n ( x)为函数 g n ( x)

26、 的导函数）（ 1）若 f ( x)a 3x围；1x( x0)既是“1 阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范x（ 2）对任给的“2 阶不减函数”f ( x) ，如果存在常数c ，使得f (x)c 恒成立，试判断f (x)是否为“2 阶负函数”？并说明理由f (x)1解：（ 1）依题意，g1 ( x)a42xxx21 在 (0 ，) 上单调递增，1故 g1 ( x)4a0恒成立，得a x 2 ，?2 分x5x32因为 x0 ，所以 a 0 ?4 分第 15页共 21 页42而当 a 0 时， g1 ( x)a11 0 显然在 (0 ，) 恒成立，xx所以 a 0 ?6分（ 2）先

27、证f ( x) 0 ：若不存在正实数分，使得20，则2恒成立?8 x0g( x ) 0g ( x) 0假设存在正实数x0 ，使得 g 2 ( x 0 )0 ，则有f ( x 0 )0 ，由题意，当x0 时， g2 ( x) 0 ，可得g2 (x) 在 (0 ， ) 上单调递增，恒成立，即f ( x)f ( x 0 )f ( x 0 )2f (x)x 恒成立，当 x x0 时，故必存在 x 1x2x02x02f (x 0 )2x0 ，使得f ( x 1 )x0 2x1m （其中 m 为任意常数），这 与 f ( x)c 恒成立（即f ( x) 有上界）矛盾，故假设不成立，所以当x0 时， g2

28、(x) 0，即 f ( x) 0 ；?13 分再证f ( x)0 无解：假设存在正实数x2 ，使得f (x 2 )0 ，f ( x3)f ( x2)则对于任意x 3x20 ，有x3 2x220 ，即有f ( x3 )0 ，这与矛盾，故假设不成立， 所 以 f ( x)0 无解，综上得f ( x)0 ，即 g2 ( x)0 ，故所有满足题设的f (x) 都是“2阶负函数”?16 分南通市 2013届高三第三次调研测试数学附加题参考答案及评分建议第 16 页 共 21页【选做题】选修4 1：几何证明选讲如图， O 的半径为3，两条弦AB ， CD 交 于点P ，且 AP1，CP3 ， OP6 求证

29、： APC DPB证明：延长 OP 交 O 与点 E ， F ，?2 分C由相交弦定理得AFDPBOCP DPAP BPFP EP36363，又 AP1 ， CP3 ， 故 DP1， BP3 ，?6 分E（第 21 A 题）?8分所以 APDP ， BPCP ， 而APCDPB ，所以APC DPB ?10分选修 4 2：矩阵与变换x5已知矩阵M不存在逆矩阵，求实数x 的值及矩阵M 的特征值66解：由题意，矩阵M 的行列式x50 ，解得 x5 ，66?4 分矩阵 M55 的特征多项式6655f ( )(5)(6) ( 5) ( 6)，?8 分66第 17 页 共 21页令 f ( )0 并化简

30、得2110 ，解得0 或11 ，所以矩阵M 的特征值为0 和 11 ?10分选修4 4：坐标系与参数方程0在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0 ， 1) ， B(0 ， 1) ， C (t ， 0) ， D3，t，其中 t0 设直线AC与BD 的交点为P ，求动点P 的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程x解：直线AC 的方程为y1 ，tx直线 BD 的方程为3t分y1 ，?2由解得，动点P 的轨迹的参数方程为x6tt2，3（为参数，且t0 ），?6 分t23y2t32将 x6t平方得x 236t 2，t2将 yt33 平方得y2(t 2t 23) 223，?82t 23t 23分x2由得，

31、y231(x0) ?10 分（注：普通方程由直接消参可得漏写“x0 ”扣1 分）选修4 5：不等式选讲an 1n1已知 a0 ， b0 ， nN * 求证：nbnab ab 第 18 页 共 21页an 1bn 1ab，证明：先证nanb2只要证 2(a n 1bn 1 ) (ab)(a nbn ) ，即要证 an 1bn 1an b ab n 0，b即要证 ( ab)(a nn ) 0 ，?5分若 a b ，则 ab 0 ， a nbn0 ，所以 (ab)(a nbn ) 0 ， 若 ab ，则 ab0 ， a nbn0 ，所以 (ab)(a nbn )0 ，综上，得( ab)(a nbn ) 0 an 1bn 1从而anbnabab ，2?8 分因为 a