多元正态总体均值向量与协差阵的假设检验

1、本资料来源第三章 多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验 3.1 均值向量的检验 3.2 协差阵的检验 3.3 附注本章学习目标熟练掌握多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验的基本思想、基本步骤以及统计量的选取。掌握 Hotelling 分布和 Wilks 分布的定义。会运用假设检验的方法解决实际的问题。假设检验的步骤第一步：提出待检验的假设 和 ； 第二步：给出检验的统计量及它服从的分布；第三步：给定检验水平 ，查统计量的分布 表，确定临界值 ，从而得到否定域；第四步：根据样本观测值计算出统计量的值，看 是否落入否定域中，以便对待判假设检验做出决策。 3.1 均值向量的检验Hotelling

2、 分布均值向量的检验单个正态总体均值向量的检验 协差阵已知时的检验 协差阵未知时的检验两个正态总体均值向量的检验 协差阵相等时 协差阵不等时多个正态总体均值向量的检验 3.1 均值向量的检验 1 Hotelling 分布 定义：设 则统计量 的分布为非中心Hotelling 分布，记为 当 ，称 服从（中心）Hotelling 分布，记为 。 （这个统计量的分布首先由 Harold Hotelling 提出来的，我国著名统计学家许宝騄先生在1938年用不同的方法也导出了此分布的密度函数） 在一元统计中，若 来自总体 的样本，则统计量： 其中 显然， 与上面给出 的统计量形式类似。 分布是一元统

3、计中 分布的推广。 基本性质： 定理 若令 ，则 2 均值向量的检验 设 元正态总体 ，从总体中抽取容量为 的样本 已知时均值向量的检验 检验统计量： 给定检验水平 ，查 分布表，可确定出临界值 ，再用样本值计算出 ，判断是否接受 。 思考： 统计量的选取 ，联系一元统计为什么取这样的统计量；二这个统计量为什么服从这样的分布 。 未知时均值向量的检验 检验统计量： 其中 给定检验水平 ，查 分布表，确定出临界值 ,判断是否接受原假设。 统计量的选取：当 未知时，用 的无偏估计 来代替，而样本离差阵 Hotelling 3 协差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验 （1）有共同协差阵时 检验统计

4、量： 给出检验水平 ，查表，确定出临界值。 思考：这个统计量当 时是我们学习过的三大统计量中的哪一个？ 检验统计量： 其中： 给定检验水平，做出判断 下述假设检验统计量的选取和前面的思路是一样的，只给出统计量和分布。 4 协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验 分两种情况： 令检验统计量： ，不妨假设 令检验统计量： 5 多个正态总体均值向量的检验复习一元方差分析Wilks 分布多个正态总体均值向量的检验 5 多个正态总体均值向量的检验 复习一元方差分析（单因素方差分析） 多元方差分析是一元方差分析的推广 ，先复习一元方差分析。 Wilks分布 在一元总体中，方差是刻划随机变量分散程度的一个

5、重要特征，而方差概念在多变量情况下变为协差阵。使用一个数量指标来反映协差阵所体现的分散程度的方法很多，我们用行列式这种方法。 定义 1 若 ，则称协差阵的行列式 为 的广义方差。称 为样本广义方差。其中 。 定义 2 若 且 和 相互独立，则称 为Wilks 统计量， 的分布称为Wilks 分布，其中 为自由度 在实际应用中，经常把 统计量化为 统计量进而化为 统计量，利用 统计量来解决多元统计分析中有关检验问题。 得到下面的关系式： 对一些特殊的 统计量可以化为 统计量，而当 ，可用 统计量或 统计量来近似表示。 多个正态总体均值向量检验 给定检验水平,查 Wilks 分布表，确定临界值，作出判断。 当查 Wilks 分布表不方便时，可用的 或 来近似。 想一想：Wilks分布与 ， 的关系。 3.2 协差阵的检验 一个正态总体协差阵检验 多个协差阵相等检验 1 一个正态总体协差阵检验 2. 多个协差阵相等检验 例 1 人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系。今测20名健康成年女性的出汗多少 其数据如下