七年级数学下册25.乘法公式(提高)知识讲解

1、乘法公式(提高)【学习目标】掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；学会运用平方差公式、 完全平方公式进行计算. 了解公式的几何意义， 能利用公式进行乘法运算； TOC o 1-5 h z 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】【高清课堂乘法公式 知识要点】要点一、平方差公式平方差公式：(a b)(a b)a2b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式抓住公式的几个变形形式利于理解公式 . 但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项” ，而结果是“相

2、同项”的平方减去“相反项”的平方 . 常见的变式有以下类型：( 1 )位置变化：如 (a b)( b a) 利用加法交换律可以转化为公式的标准型2 )系数变化：如 (3x5y)(3x 5y)3)指数变化：如(m3 n2)(m3 n2 )4 )符号变化：如 ( ab)(a b)5 )增项变化：如 (m np)(m n p)(6)增因式变化：如 (a b)(a b)(a2 b2)(a4 b4)要点二、完全平方公式完全平方公式： a b 2a22ab b2222(a b)2 a2 2ab b2两数和 ( 差) 的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍 .要点诠释： 公式特点：左边是两数的

3、和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的 2 倍 . 以下是常见的变形：a2 b2a b 2 2ab a b 2 2ab22a b a b 4ab要点三、添括号法则添括号时， 如果括号前面是正号， 括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式,、，、22,2、3,3(xp)(x q)x(p q)x pq ； (ab)(a mab b) a b ；(ab)3 a33a2b3ab2 b3 ; (a bc)2 a2 b2c2

4、2ab 2ac2bc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2+1)(221)(241)(281)(2161 )(2321 ) + 1.【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2 + 1与2 1,22 1与22 1 , 24 1 TOC o 1-5 h z 与24 1等能够构成平方差，只需在前面添上因式(2 - 1),即可利用平方差公式逐步计算.【答案与解析】解：原式=(2 1)(2 + 1)( 22 1)( 24 1)( 28 1)( 216 1 )( 232 1 )+1202481632=(21)( 21)( 21)( 21)( 21)( 21) + 1=264 - 1 +

5、 1 = 264 .【总结升华】 对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力.举一反三：【高清课堂乘法公式例1 (7) (8)】【变式】计算： TOC o 1-5 h z 2_一(x 3)(x9)(x 3)(2)( a + b)( a - b)( a2 b2)( a4 b4)【答案】解：(1)原式=(x+3)( x 3)(x29) = ( x29)(x29) = x481 .原式=(a + b)(a - b)(a2 b2)(a4b4)2,22,24 I 4=(a b )( a b )( a b )/ 4 4、/4 4 8 8=(a b

6、 )( a b ) = a b .2、解方程：(2x 1)(2x 1) 3(x 2)(x 2) (7x 1)(x 1).【答案与解析】 解：(2x)2 1 3(x2 4) 7x2 7x x 1 ,2一 2 一 2 一4x 1 3x 12 7x 6x 1,22_7x 7x 6x 1 1 12,6x 12 , x 2 .【总结升华】 先利用平方差公式， 再按多项式乘法法则展开， 此题把平方差公式与解方程综 合起来考查.举一反三：【变式】解不等式组：(x 3)(x 3) x(x 2) 1, (2x 5)( 2x 5) 4x(1 x).【答案】. (x 3)(x 3) x(x 2) 1，牛：(2x 5

7、)( 2x 5) 4x(1 x).由得 x2 9 x2 2x 1 , 2x 10, x 5.由得 52 (2x)2 4x 4x2, 25 4x2 4x 4x2,4x 25, x 6.25.不等式组白解集为x 6.25.类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：,_2一一(1) (a 2b 3) ； (2) (a 2b 3c)(a 2b 3c).【思路点拨】(1)是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将a 2b 3化成a (2 b 3),看成a与(2b 3)和的平方再应用公式；(2)是两个三项式相乘，其中a与a完全相同，2b, 3c与2b, 3c分别互为相反数，与平

8、方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”.【答案与解析】解：(1)原式 a (2b 3)2 a2 2a(2b 3) (2b 3)2 TOC o 1-5 h z 2-2_4a4ab6a4b12b922_a4b4ab6a12b9.(2)原式a (2b3c)a (2 b 3c)a2 (2 b3c)2a2 4b2 12bc 9c2.【总结升华】 配成公式中的“ a ” “ b ”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1) a b c a b c ；(2) 2x y 1 y 1 2x ；(3) x y z2；(4) 2a 3b

9、 1 1 2a 3b .【答案】解：(1) a b c a b c = a -( b - c) a + ( b- c)2222_2=a b c a b 2bc c222=a b 2bc c .(2)2x y 1 y 1 2x=2 x+( y-1)2 x-( y-1) TOC o 1-5 h z 2，2， 22=2x y 1 4x y 2y 12222x y z x y z x y 2 x y z z222=x 2xy y 2xz 2yz z .(4) 2a 3b 1 1 2a 3b =2a 3b TOC o 1-5 h z _2_ _2=(2a+ 3b) 2(2a+ 3b)+1 22=-(2a

10、)2 2a 3b 3b 4a 6b 1. 22=4a 12ab 9b +4a +6b1C4、已知 ABC的三边长a、b、c满足a2 b2 c2 ab bc ac 0 ,试判断 ABC 的形状.【思路点拨】 通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系. 【答案与解析】解：- a2 b2 c2 ab bc ac 0,-2- 2_2_,2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac 0 ,即 (a2 2ab b2) (b2 2bc c2) (a2 2ac c2) 0 即 (a b)2 (b c)2 (a c)2 0 ab0,bc0,ac0,即a b c, . ABC为等边三角形.【总结升华】 式子 a2 b2 c2 ab bc a