释疑解难微分方程

1、释疑解难 微分方程问题1 什么是微分方程的解？它的通解和特解之间有何关系？答：微分方程的解是满足该方程的函数。若解中含有与方程阶数相同个数的相互独立的任意常数，则称之为微分方程的通解；如果利用初始条件将通解中的常数确定后，不含有常数的解称为特解。例如，函数和都是二阶微分方程的解，前者是方程的通解而后者是方程的特解。问题2 微分方程的通解是否包含它所有的解？答：微分方程的通解不一定包含它所有的解。例如方程有通解，但它不包含方程的解。问题3 是否所有的微分方程都存在通解？答：不是所有的微分方程都存在通解。例如方程不存在实函数解，而方程只有零解。如果微分方程的解中含有任意常数的个数与它的阶数相同，那

2、么这个解称为通解，以上二个方程有的没有实函数解，有的有解，但解中不含有任意常数，所以上述两个方程都不存在通解。问题4 求微分方程的通解时，写任意常数应注意什么问题？答：我们知道，有的微分方程的通解不能包含它的所有解，有的则能包含它所有的解。因此，在求解微分方程的通解时，一定要注意正确写为任意常数。例如解一阶线性微分方程 （1） 根据一阶线性微分方程通解公式：，得通解为： （2）注意下面解法的错误出在那里？用分离变量法来求解方程（1），分离变量后，得 两边积分，得 （3）从而有 （4）比较（2）式与（4）式，而为任意常数，因此（4）只是表达了方程（1）的一部分解，（2）中时的那一部分解，未能表达

3、出来。问题在于两边积分时，（3）式中的真数少了绝对值符号。事实上，（3）式应为，从而有 或，令，得出通解 。还有一种易犯的错误，就是求不定积分时，任意常数放在最后一步加，于是在解本题时，不但真数不加绝对值，而且不及时加任意常数，使解成为，从而通解为 ，这是错误的。由此可见，在解微分方程的过程中，如果积分出的对数的真数不加绝对值符号或把任意常数写成（应些为）它的变化就要受到限制，那么就回产生错误出现，所以，如果真数可正可负时，必须要注意加绝对值符号。问题5 从微分方程的通解能否得到这个微分方程吗？答：可以。事实上将通解求导数，阶方程就依次求阶导数，得到包括通解在内的关于任意常数的表达式，从其中个

4、方程求出任意常数的表达式，代入第个方程中就可得到所求的微分方程。例如求所满足的微分方程解：求导，得 （1）由 ，得 ，代入（1），得即所求微分方程为 。又例某微分方程为 写出该微分方程。问题6 给出阶线性齐次微分方程的个线性无关的特解，问能否写出这个方程及其通解？答：可以。因为设为个线性无关的特解，根据线性微分方程解的结构，阶线性齐次微分方程的通解为 ，其中为任意常数。求出微分方程的方法参见问题5。如果给出的是阶常系数线性齐次方程的个线性无关的特解，那么可以用以下方法求出方程：因为阶常系数线性齐次微分方程的特征方程是次代数方程，它的根可以是个不同的实根，也可以全是重根，或既有单根，又有重根；或既有实根，又有共轭复根；还可以是重共轭复根，不论是哪种情况，应对于这些根的特解我们是知道的，所以，可以根据给出的个线性无关的特解，先写出特征方程的根，然后再写出特征方程，从而就可以写出所求的微分方程。例 已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的四个线性无关的特解为：，求这个四阶微分方程及其通解。解：由与可知，它们对应的特征根为二重根；由与知，它们对应的特征根为共轭复根，所以特征方程为 或 它们对应的微分方程为 其通解为 。问题7 形如方程 （连续）问怎样求这种类型方程中的未知函数？ 答：解