空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

1、Word资料空间向量在立体几何中的应用:直线的方向向量与平面的法向量：如图，l为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a的直线，对空间任意一点 O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得OP由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定.如果直线 吐平面 ，取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面的法向量.由此可知，给定一点 A及一个向量a,那么经过点 A以向量a为法向量的平面惟一确定.(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:设直线l, m的方向向量分别是 a, b,平面 ，的法向量分别是u, v,则l/ma/ ba= kb ,keR；l,ma ba b= 0;l /a ua

2、 u = 0；Ua/ ua = ku,kCR；II u II v u=kv, k R；X u X v uv=0.(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：异面直线所成的角：设a, b是两条异面直线，过空间任意一点 O作直线a /a, b b,则a勾 所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角. . ._ 冗 .设异面直线a与b的方向向量分别是vi, V2, a与b的夹角为，显然 (0, 一,则2| cosvi,v2 |vi v2 |vi |v2|直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面的射影所成的角.设直线 a的方向向量是 u ,平面 的法向量 是v,直线 a与平面的

3、夹角为，显然冗，I u v I0,1,则 |cos u,v | JL2|u|v|二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作-l- 在二面角的棱上任取一点 O,在两个半平面分别作射线 OAl, OB，l,则/AOB叫做二面角 l 的平 面角.利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB, CD分别是二面角一l 的两个面与棱l垂直的异面直线，则二面角 一l一 的大小就是向量AB与CD的夹角的大小.方法二：如图，m1, m2分别是二面角的两个半平面， 的法向量，则m1, m2与该二面角的大小相等或互补.(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方

4、法，从不同角度解决立体几何问题.【例题分析】例1 如图，在长方体 OAEB- OAEB中，OA=3, OB= 4, 00=2,点P在AAi上，且 AP= 2PA,点S在棱BB上，且B6= 2SB,点Q, R分别是 OB, AE的中点，求证： PQ/ RS【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k,使得PQ kRS解：如图建立空间直角坐标系，则0(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), Oi(0, 0, 2), Ai(3, 0,2), Bi(0, 4, 2),日3, 4, 0).2 24、.AP=2PA,AP- AAi-(0,0,2) (0,0,-),3334 P

5、(3,0)32同理可得：Q(0, 2, 2), R(3, 2, 0), S(0,4,-)3一 2 一PQ ( 3,2,-) RS,3PQ/RS,又 R PQ,PQ / RS.【评述】1、证明线线平行的步骤:(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可.2、本体还可采用综合法证明，连接PR, QS,证明PQRS是平行四边形即可，请完成这个证明.例2 已知体 ABCD AB1CQ1中，M, N, E, F分别是棱 AQi, AB, Di。，B1C1的中点，求证: 平面AMN /平面EFBD【分析】 要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个

6、平面的法向量平行.解法一：设体的棱长为 4,如图建立空间直角坐标系，则D(0, 0, 0), A(4, 0, 0), M(2, 0, 4),N(4, 2, 4),日4, 4, 0),日0, 2, 4), R2, 4, 4).取 MN 的中点 K, EF 的中点 G, BD 的中点 O,则 0(2, 2, 0), K(3, 1, 4), G(1, 3, 4).MN =(2, 2, 0), EF =(2, 2, 0), AK =(-1, 1, 4), 0G = ( 1, 1, 4),MN / EF , AK OG , . .MN/EF, AK/OG ,.MN/平面 EFBD AK/平面 EFBD，

7、平面AMN /平面EFBD解法二：设平面AMN的法向量是a=(au a?, a%平面EFBD的法向量是 b = (b1, b2, b3).由 a AM 0,a AN 0,2al 4a3 0,得取 a3= 1,得 a = (2, 2, 1).2a2 4a3 0,由 b DE 0,b BF 0,2b2 4b30,得取 b3= 1,得 b = (2, 2, 1).2b 4b3 0,.a/b, .平面 AMN/平面 EFBD注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试.例3 在体ABCD ARC1D1中，M, N是AR, B1B的中点，求异面直线 AM和CN所成角的余 弦值.解法2

8、,如图建立空间直角坐标系，则:设体的棱长为D(0, 0, 0), A(2, 0, 0), M(2, 1, 2),C(0, 2, 0), N(2, 2, 1).AM(0,1,2),CN(2,0,1),设AM和CN所成的角为，则cosAM CN 2| AM |CN | 52异面直线 AM和CN所成角的余弦值是 一5解法二：取AB的中点P,CO的中点Q,连接BP,BiQ,PQ,PC.易证明：BiP/ MA, B1Q/NC, / PBQ是异面直线 AM和CN所成的角.设体的棱长为2,易知B1P B1Q J5,PQPC2 QC26,222cosPBiQB1P2 BQ2 PQ22BP BiQ2异面直线 A

9、M和CN所成角的余弦值是 一 5【评述】空间两条直线所成的角是不超过 90。的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角（锐角）.例4 如图，正三棱柱 ABC- A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 J2a ,求直线 ACi与平面ABBA所成角的大小.G“ G【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标.求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABBA的法向量求解.解法一：如图建立空间直角坐标系，则 A(0, 0, 0), B(0, a, 0), A(0,0,J2a),

10、 3a aa _AD, OD.Ci( -,-,V2a)取 AB 的中点 D,则 D(0,：,J2a),连接匚3a则 DC (,0,0), AB (0,a,0), AAi (0,0, .2a), 2DC1 AB 0, DC1 AA 0,. DC，平面 ABBA,Ci AD是直线ACi与平面ABBA所或的角.ri-Ac1 ( -a,-, 2a),Ad (0,-, 2a), 222cosCi ADAC1 AD - 3|ACi|AD|2直线ACi与平面ABBAi所成角的大小是 303a a :一解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0), B(0, a, 0), A(0, 0, J2a),

11、 Ci( ，-02a), TOC o 1-5 h z 22从而 AB (0,a,0), AAi (0,0, 2a), ACi ( -a,-, 2a)22设平面ABBAi的法向量是a=(p, q, r),由 a AB 0,a AA 0,口 aq 0,什，口得，一 取 p=i,得 a=(i, 0, 0).2ar 0, 一. 工设直线ACi与平面ABBiAi所成的角为，0, 一,2sin | cosAC1,a | | AC1 a |-,30.|ACi|a|2【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出 了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互

12、余转换.面角A例 5 如图，三棱锥 PABC 中，PA,底面 ABC, AC BC, PA= AC= 1, BC 22 ,PB- C的平面角的余弦值.解法一：取PB的中点D,连接 CD,彳AE，PB于 E . PA=AC= 1, PAXAC,PC= BC= 42 , CD PB. EA PB,向量EA和DC夹角的大小就是二面角A-PB- C的大小.如图建立空间直角坐标系，则C(0, 0,0), A(1, 0, 0), R0, 2 , 0), R1, 0, 1),D是PB,1 ,.2 1的中点，得D(一，一)2 2 2由PEEBAP2AB71 m 一 ， 一,得E是PD的中点, 3从而32 3、

13、E(一，,)4 4 4EA1.2(4, 彳,3 一”DC (cosEA, DCEA DC|EA|DC |即二面角A- PB- C的平面角的余弦值是.3解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0), B(b,则下列结论正确的是（）(A) , m n(B) , m n二、填空题：5.在体ABCD-A1B1C1D1中，E, F, G, H分别为AA1, AB, BB, B1C1的中点，则异面直线 EF与GH所成角的大小是P6.3已知正四棱柱的对角线的长为V6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积3等于7 .如图，正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中，AA1=2AB,则异

14、面直线 AB与AD1所成角的余弦值为 4题图7题图9题图1 _ _ ，.四棱锥PABCD的底面是直角梯形，/BAD=90 AD/ BC, AB BC -AD , PA，底面ABCD,2PD与底面ABCD所成的角是30。.设AE与CD所成的角为 ，则cos =三、解答题：.如图，正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中，AAi=2AB= 4,点 E 在 CC 上，且 CE= 3EC.(I)证明：A1C，平面BED 冗一_ ABC , OA_L底面 ABCD, 4(n )求二面角 A DE B平面角的余弦值.如图，在四棱锥 OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形,OA=2, M为OA的中点，

15、N为BC的中点.(I )证明：直线MN /平面OCD;(n )求异面直线 AB与MD所成角的大小.如图，已知直二面角一PQ , ACPQ, BC , CC , CA= CB, / BAP= 45 ,直线CA和平面所成的角为30 .(I)证明：BC PQ;(n )求二面角B- AC- P平面角的余弦值.练习答案5.选择题：B 2. A 填空题：606. 2解答题：3. B4. D9.10.8. C9题图10题图11题图以D为坐标原点，射线 DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz.依题设，B(2, 2, 0), C(0, 2, 0), E(0, 2, 1), A(2, 0, 4).D

16、E (0,2,1),DB (2,2,0),AC ( 2,2, 4),DA1(2,0,4).(I)AC DB 0,AC DE 0, . .AiC BD, AiCDE.又 DBADE= D, .A1C，平面 DBE(n)设向量n = (x, y, z)是平面DAiE的法向量，则n DE,n DA1.2y2xz 0,人 后令 y= 1,得 n = (4, 1, 2).4z 0.cos(n, AC)n AC 1414 ，一面角A1- DE- B平面角的余弦值为 7T-|n|AC|4242作API CD于点P.如图，分别以 AB, AP, AO所在直线为x, y, z轴建立坐标系.222八则 A(0,0

17、,0),B(1,0,0), P(0,-2-,0), D( -2-,-2-,0) ,O(0,0,2),M(0,0,1), N(1：/2 、. 2丁2(I)MN (1 , , 1),OP (0,-p 2),OD (,2)设平面OCD的法向量为n = (x, y, z),则n OP 0,n OD 0,22y2z0,.22万 x2z取z0.(0,4, ,2). MN n 0, MN /平面 OCD.(n)设AB与MD所成的角为，| AB MD |1|AB|MD| 22 .2AB (1,0,0),MD (彳 丁 1), cos花即直线AB与MD所成角的大小为一311. (I)证明：在平面 过点C作COLPQ于点O,连结 OB. , n =pq, . co .又. CA=CB, . . OA=OB. ZBAO=45 , /ABO= 45 , ZAOB= 90 , . BOPQ,又 COPQ, . PQ,平面 OBC, PQ BC.(n)由(I )知，OCXOA, OCXOB, OAXOB,故以O为原点，分别以直线 OB, OA, OC为x轴, y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图). COX ，/ CAO是CA和平面 所成的角，则/ CAO= 30不妨设 AC= 2,