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文档简介

1、欧几里得算法，又称辗转相除法，用于求两个自然数的最大公约数.算法的思想 很简单，基于下面的数论等式gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数,mod是模运算，即求a除以b的余数.算 法如下：输入：两个整数a, b输出:a和b的最大公约数function gcd(a, b:integer):integer;if b=0 return a;else return gcd(b, a mod b);end function欧几里得算法是最古老而经典的算法，理解和掌握这一算法并不难，但要分析它 的时间复杂度却并不容易.我们先不考虑模运算本身的时间复

2、杂度(算术运算的 时间复杂度在Knuth的TAOCP中有详细的讨论)，我们只考虑这样的问题：欧几里 得算法在最坏情况下所需的模运算次数和输入的a和b的大小有怎样的关系？ 我们不妨设ab=1(若a=2),显然，若算 法需要n次模运算，则有un=gcd(a, b), un+1=0.我们比较数列un和菲波那契数 歹列Fn, F0=1=un, F1=1=uk+1+uk+2, 由数学归纳法容易得到uk=Fn-k,于是得到a=u0=Fn, b=u0=Fn-1.也就是说如 果欧几里得算法需要做n次模运算，则b必定不小于Fn-1.换句话说，若b(1.618)n/sqrt(5),即 b(1.618)n/sqrt

3、(5),所以模运算的次数为 O(lgb).算法一：连续整数检测#includeint t=(mn?n:m);while(m%t!=0 lln%t!=0)if(m%t=0)if(n%t=0)return t;else t=t-1; else t=t-1;printf(%d”,t);void main()int m,n;scanf(%d”,&m);scanf(%d”,&n);gcd(m,n);时间复杂度：T(n)=O(n);基本语句执行次数C(n)=n;算法二：欧几里得算法includeint gcd(int m,int n)int r=m%n;while(r!=0)m=n;n=r;r=m%n;return n;void main()int m,n;scanf(%d”,&m);scanf(%d”,&n);printf(%d”,gcd(m,n);辗转相除法的运算速度为O(n2)其中n为输入数值的位数。算法三：欧几里得算法的减法版本#include/int fun(int m,int n)while(n!=m)if(mn)m=m-n;else n=n-m;retur

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