运筹学在企业管理中的应用

1、运筹学在企业管理中的应用摘要：运筹学作为一门基础学科，在企业管理过程中发挥着越来越重要的作用，特 别是在模型的应用，更是为企业管理各领域提供了一种较好的问题决策分析方法，本文 主要从企业管理几个不同角度，通过建立数学模型来解决实际问题，从而说明运筹学在 企业管理中的应用。关键词：运筹学数学模型企业管理前言运筹学是一门应用科学，至今还没有统一且确切的定义。莫斯和金博尔曾对运筹学下的定义是： “为决策结构在对其控制下业务活动运行决策时，提供以数量化为基础的科学方法。”它首先强调的 是科学方法，这含义不单是某种研究方法的分散和偶然的应用，而是可用于整个一类问题上，并能 传授和有组织地活动。它强调以量

2、化为基础，必然要用数学。但任何决策都包含定量和定性两个方 面，而定性方面又不能简单地用数学表示，如政治、社会等因素，只要综合多种因素的决策才是全 面的。运筹学工作者的职责是为决策者提供可以量化方面的分析，指出那些定性的因素。另一定义 是：“运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门 问题，为决策者选者最优提供定量依据。”这定义表明运筹学具有多学科交叉的特点，如综合运用经 济学、心理学、物理学、化学中的一些方法。运筹学是强调最优决策，“最”是过分理想了，在实际 生活中往往用次优、满意等概念代替最优。所以，运筹学的又一定义是:“运筹学是一种给出问题坏 的答案

3、的艺术，否则的话问题的结果会更坏。”在技术高度发展的时代，企业的竞争由此变得更加激烈。如何在自己的技术方面赶超别人，同 时最大程度地节约成本呢，减少开支，是每个企业必须关注的问题，更是企业管理中的首要问题。 日本丰田汽车公司第一次提出了著名的精益生产方法，包括零库存与即时生产等，以实现成本最小 化。一时风靡全球。世界上成功的企业无不是在成本上进行控制，技术上进行创新得以生存与发展 内的。因此，科学管理越来越被企业管理者所重视，发挥着越来越大的作用，而运筹学作为管理科 学的核心与基础，其作用显然是首当其冲的。在企业管理学科的发展中，可以感受到运筹学的重要性。运筹学作为工具，在企业产品定价问 题，

4、余数问题，生产库存问题等等一系列方面可以提供最优化模型合理分配材料使利润最大的问题2.2模型分析企业生产过程中常常会遇到生产不同的产品所需要的各种材料只是数量不一样，而这些材料的 合理分配将导致产品最后利润的不同。假设某企业生产m种产品j#为1#，2#m#，生产j#所需的n材料i*为1*,2*n*,已知单位产品材料定额%, i*的材料上限为,单位产品j #利润为七，有关信息如表1所示，问如何安排生产 计划，使得企业获得最大利润。表1古口 产品材料1#2#m#材料上限b1*a11a12a1mb12*a21a22a2 mb2n*a n1an 2anmbnAAACm设七表示产品j#的产量，由此可建立

5、数学模型:maxm az=乙 c xj jj=1s.t.a x + a x +. + a b11 112 21m1a x + a x +. + a b21 122 22 m 2a x + a x +. + a bn1 1 n 2 2nm n此问题可用线性规划来求解。2.2案例分析某企业生产3种产品，有关信息如表2所示。问如何安排生产计划，使得企业获得最大利润?表2单位产品的材料定额a.jj #产品i*材料上限b1#2#3#i*材 料1*3426002*2124003*132800单位产品利润Cj243解设产品的产量为）则得线性规划模型:max z= X c x = 2x + 4x + 3x ;

6、j=1s.t.3x + 4x + 2x 600,2x1 + x2 + 2x3 400,x1 + 3x2 + 2x3 0 ,j=1,2,3.将它化成标准型（LP）：min f= c x = 2x 4x 3x ; TOC o 1-5 h z j j 123j=1s.t.3x + 4x + 2x + x = 600, HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 12342x + x + 2x + x = 400,1235x + 3x + 2x + x = 800,1236X 0 ,j=1,2,3,4,5,6.用单纯形法求解(LP)，得到最优单纯形表如表3所示。

7、表3XBXXXXXXbX1/3101/3-1/30200/3X5/601-1/62/30500/3X-5/300-2/3-1/31800/3r11/6005/62/302300/3最优解 X *=(气,x2,x3)T = (0,2OO/3,500/3)t，最优值 z*=2300/3。运输问题3.1模型分析一类典型的运输问题可描述为:设某种产品有m个产地A1,A2,. A，产量分别为a1,a2,九; 有n个销地B1,B2B.，销量分别为b1,b2气。已知从第i个产地运送单位产品到第j个销地 的费用为%(i=1,2,m;j=1,2,n)。问如何调运产品才能使总运费最小。为了直观起见，列出表4,其中

8、乂可(i=1,2,m;j=1,2,n)为产地A到销地B的运输量，匕 为A到B的单位运价。i i表4产地 销地A1A2Am销量B1(C11, X11)(1, X21)CL ”b1B2、2, X12)(J, X22)(Cm2, Xm2)b2气(C1n，七)(C2n，(Cmn，Xmnbn产量a1a2a m TOC o 1-5 h z 由于总产量弋a与总销量Eb之间可能存在“” “” =”三种关系，故下分三种情况讨论 Zji=1j=1模型的建立：（1）产销平衡（Ea =Eb（1）产销平衡（iji=1j=1该种情况下数学模型为min z= EE C x ij ij i=1 j =1Ex = a (i =

9、 1,2.m)j=1 s.t x = b (j = 1,2.刀)i=1七(2)总产量大于总销量( EaEb) ij i=1j=1该种情况下数学模型为min z= EE C x ij iji =1 j=1Ex a (i = 1,2.m)j=1 ls.t x = b (j = 1,2.刀)i=1x（3）总销量大于总产量（ Ea Eb） ij i=1j=1min z= EEcxij iji=1 j=1Ex a (i = 1,2.m)s.t 0第k阶段库存费用气（s ）= psk故第k阶段成本费用为* （气）+ （sk）因而上述问题数学模型为k=1_k=1_ min g乙h (s )k k曰s = s

10、 , s = 0s = s +交(x -d ) 0(k = 2,.,n-1 )i=10 x m(k = 1,2,.n)kx 为整数(k =1,2,.n)此问题可用动态方法求解。4.2案例分析已知三个时期内对某种产品的需求量,、各时期的定货费用Cq及存存储费用cp如表9所示， 又生产费用函数为：C (q ) = 10%0 ， 4)ii要求确定各个时期最佳定货批量q*，使三个时期各项费用和为最小。已知第1时期初有一件 i库存，第3时期末库存为零。表9idCDDc p133122733462解：利用动态规划的算法，当i=3时，因有d =4而q + x d，故0 x 4，0 q 4，333333计算过

11、程见表10表10q3xCd + C3( q3)f (x )33q *0123406+5056416+3036326+2026236+101614000当i=2时，有d q + x d + d = 6,故0 x 6 , 0 q 6，计算过程见表112222322表11q2A x2A * +C (x ) + f (x ) p233 3f (x )22q *012345607+107+207+307+507+707+90027+5637+3957+3277+2597+12763117+5627+3937+3257+2577+1266220+5617+3927+3237+2557+1256030+39

12、17+3227+2537+1239040+3217+2527+1232050+2517+1225060+12120* A = CC + C2(qJ当k=1时，有q1+x1 d1+d2+d3=9，因已知x1=1，故2 q1 8。计算过程见表12表12q1Ax1A * +C (x2) + 匕(x2)f(气)q *23456783+203+303+503+703+903+1103+130123+7633+6753+5873+4293+36113+30133+18992由计算结果知：x1=1，q1*=2； x2=0，q2*=3； x3=1，q3*=3；三个时期最小费用总和为99。设备更新问题5.1模型

13、分析企业管理中经常会遇到因设备老化，损坏，后审查后效率底下而需要更新的问题。一台机器使用 的太久，必然性能低下，影响效率与生产质量，因而影响利润。但如果更新过快，必然需要增大投资， 增加成本，也影响到利润。如果更新可提高年净收入，但是当年要指出一笔数额巨大的购买费，为 了选择最优决策，常常要在一个较长时间内考虑更新决策问题。现以一台机器为例，随着使用年限的增加，机器的使用效率降低，收入减少，维修费用增加。而 且机器使用内线越长，它本身的价值就越小，因而跟心时所需的净支出费用就越多。设：匕(t)-在第j年机器役龄为t年的一台机器运行所得的收入。OJ(t)-在第j年机器役龄为t年的一台机器运行时所

14、需的运行费用。C.(t) 在第j年机器役龄为t年的一台机器更新时所需净费用。a-折扣因子(0 a 1)，表示一年以后的单收入的价值视为现年的a单位。T-在第一年开始时，正在使用的机器的役龄。n-计划的年限总数。g. (t)-在第j年开始使用一个役龄为t年的机器时，从第j年至第n年内的最佳收入。x.(t)给出g .(t)时，在第j年开始时的决策(保留或是更新)。为了写出递推关系式，先从两方面分析问题。若在第j年开始时购买了新机器，则从第j年至 第n年得到的总收入应等于在第j年中由新机器获得的收入，减去在第j年中的运行费用，减去在 第j年开始时役龄为t年的机器的更新净费用，加上在第j+1年开始使用

15、役龄为1年的机器从第j+1 年至第n年的最佳收入；若在第j年开始时继续使用役龄为t年的机器，则从第j年至第n年的总 收入应等于在第j年由役龄为t年的机器得到的收入，减去在第j年中役龄为t年的机器的运行费 用，加上在第j+1年开始使用役龄为t+1年的机器从第j+1年至第n年的最佳收入。然后，比较他 们的大小，选取达到，并的出是该更新还是保留的决策。将上面这段话写成数学形式，即得到递推关系式为：_ m *F ： I.(0) -O.(0) - C (t) + ag.+i(1) g.=心K : / (t) - O： (t) + ag.+i (t + if _(t=1,2,n t=1,2,j-1,j+t

16、T)其中“K”是Keep的缩写，表示保留使用；“R”是Replacement的缩写，表示更新机器。由于研究的是n的计划，故还要求：g (t) =0n+1对于gi(.)来说，允许的t值只能是T。因为当进入计划过程时，机器必然已使用了丁年。应指出的是：这里研究的设备更新问题，是以机龄作为状态变量，决策是保留和更新两种。但 它可推广到多维情形，如还考虑对使用的机器进行大修作为一种决策，那时所需的费用和收入，不 仅取决于机龄和购置的年限，也取决于上次大修后的时间。因此，必须使用两个状态变量来描述系 统的状态，其过程与此类似。5.2案例分析假设n=5, a=1，T=1，其有关数据如表13所示。试制定5年

17、中的设备更新策略，使在5年内的 总收入达到最大。表13产品 年序机龄项目第一年第二年第三年第四年第五 年期前0 1 2 3 40 1 2 30 1 20 101 2 3 4 5收入22 21 20 18 1627 25 24 2229 26 2430 283218 16 16 14 14运行 费用6 6 8 8 105 6 8 95 5 64 548 8 9 9 10更新 费用27 29 32 34 3729 31 34 3631 32 3332 333432 34 36 36 38解：因第j年开始机龄为t年的机器，其制造年序应为j-t年，因此，15(0)为第五年新产品 的收入，故15(0)=

18、32。13(2)为第一年的产品起机龄为2年的收入，故13(2) =20。同理05(0) =4, 03(2) =8。而C5(1)是第5年机龄为1年的机器(应为第四年的产品)的更新费用，故C5(1)二33。同 理C5(2) =33，C3(1)=31，其余类；当j=5时，由于设T=1，故从第5年开始计算事，机器使用了 1、2、3、4、5年，则递推关系 式为 g (t) = maxR I5(0) -05(0) - C5(t)+1g65 LK : 15(t)-05(t) + 1g t +1)因此幻=maxR :32 - 4 - 33 + 0 = 5K :28 - 5 + 0 = 23=23 所以 (1)

19、 = Kg (2)二 maxR :32 - 4 - 33 + 0 = -5K :24 - 6 + 0 = 18=18 所以 (2) = K同理A=13, X=K ；X5(4) = K ； g5=4, %=K当j=4时递推关系为g (t) = maxR: I (0) - O (0) - C (t) + g (1)14445K : 14(t) - O4(t) + g5(t +1)_故 g 4(1) = maxR :30 - 4 - 32 + 23 = 17K :26 - 5 +18 = 39=39所以气(1) = K同理 g (2) = 29, x (2) = K ； g (3) = 16, x

20、(3) = K ； g =13,x =K444444当j=3时，有g (t) = maxR: I (0) - O (0) - C (t) + g (1)13334K : I (t) - O (t) + g (t +1) 334故土=maxR :29 - 5 - 31 + 39 = 32K :25 - 6 + 29 = 48=48 所以 x3(1) = K同理 g (2) = 31,x (2) = R ； g (3) = 27, x (3) = R3333当j=2时，有g (t) = maxR: I (0) - O (0) - C (t) + g (1)12223K : 12(t) - O2(t) + g3(t +1)_故 g2(1) = maxR :27 - 5 - 29 + 48 = 41K :21 - 6 + 31 = 46=46 所以 x2(1) = Kg (2)二 maxR :27 - 5 - 34 + 48 = 36K :16 - 8