运筹学第2章答案

1、2.1某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150单位， C不少于180单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分.已知六种食物每百克 的营养成分含量及食物价格如表2-22所示.（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费 最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A， B，C三种营养成分.试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能 获得最大利益，建立数学模型.表2-22含量营养成分-食物一二三四五六虽曲与 需要量80B24930251215N150C1872134100N18

2、0食物单价（元/100g）0.50.40.80.90.30.2【解】(1)设为每天第j种食物的用量，数学模型为 min Z = 0.5x + 0.4x2 + 0.8x3 + 0.9七 + 0.3 + 0.2x6 13 x + 25 x + 14 x + 40 x + 8 x + 11 x 80 12345624 x + 9 x + 30 x + 25 x + 12 x + 15 x 150 180 x、x、x、x、x、x 0 123456则数学模型为携义为第z种单位营养的价格，则数学模型为max w = 80 y + 150 y + 180 y 13 y + 24 y + 18 y 0.5 2

3、5 y 1 + 9 y2 + 7 y3 0.4 14 y + 30 y + 21 y 0.8 40 y + 25 y + 34 y 0.98 y 1 + 12 y 2 + 10 y 3 0.31 y + 15 y + 02.2写出下列线性规划的对偶问题（1（1） 8 123x + x - x 4x , x , x 0 123max w = 8 y + 4 y-y 1 + 2 y2 33 y 1 + y 2 56 y 1 - y 2 012(2)max Z = 2x - x ix + 2x =9 12x 3 x + 12X无约束， 1X3X2max Z = x+ 3x310+ 2x1 2+ 4x

4、【解】3x410 X -1X2-x - 4x3=847 x +6x2 x 5x 10i234-Sx+ 6x + x 0,x 6i34f +2 x 无+2x -2i2345 x 102xZ3x+ 6x - 7 x+max4(4)1无约束346y2对偶问题为:2. 3考虑线性规划min Z = 12 xx + 4x 12A： + 5工12y 32y无约束；1-1mm【解】【解】m in w = 9 y +3y + 6y - y + y 1234一2y + 2y = 313y+5y - y = 6123-6y - y + 2y = -7 123y无约束；y V 123y 02w = 8 y + 10

5、 y +6y 12310y + 7y +4y 1123J + 6y -Sy 2123 -J 一2y + 6y 4123-4y -5y + y = -33y 02312y无约束；1max Z3xi6xiX + 2 X1=2.xi2x + x2+ 3x + 6x - 7 x234-6x = 934+ 20 a：21X 1X 1XI 1+ 5工-x 634x + 2 V 234102y +5y +lOy3y 54-20,y 05说明原问题与对偶问题都有最优解；通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解;利用公式Ck 求原问题的最优解；D利用互补松弛条件求原问题的最优解.【解】(1)原问题的对偶问题

6、为max w = 4 y + 2 y + 7 yy + y 2 + 2 y 3 124 y1 + 5 y2 + 3 y3 0, j = 1,2,3容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X = (2, 1)、Y = (1, 0, 1),由定理2.4知都有 最优解。(2)对偶问题最优单纯形表为C(j)42700R. H. S.BasisC(i)y1y2y3y4y5y370-1/514/5-1/528/5y1417/50-3/52/54/5C(j)-Z(j)0-11/50-16/5-1/5w=42.4对偶问题的最优解Y = (4/5,0,28/5),由定理2.6,原问题的最优解为X=(16/5, 1

7、/5), Z=42.441-41-(3) Cb=(7,4),b-1 =55，X = (7, 4)55=(16 /5,1 /5)3232L- 55 _L- 55 _(4)由七、y3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式f x + 4 x = 4 2 x + 3 x = 7112得到原问题的最优解为X=(16/5, 1/5)。2.4证明下列线性规划问题无最优解min Z = x. - 2x - 2x2 x 1 + x - 2 x = 3 2x , x 0, x无约束123证明：首先看到该问题存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为max w = 3 y + 2 y2 y 1

8、 + y 2 1y广 2 y 2 0, y无约束 21由约束条件知七00,由约束条件当y230知七31,对偶问题无可行解，因此原问题 也无最优解(无界解)。2.5已知线性规划max Z = 1 5x + 20 x + 5xx + 5 x + x 55 x + 6 x + x 6x + 10 x + x 0, x 0, x无约束1123的最优解X = （怎样安排生产，使利润最大. 若增加1kg原材料甲，总利润增加多少. 设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg，怎样安排生产，使利润最大.若增加1kg原材料甲，总利润增加多少.设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，

9、为什 么？单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变.4【解】其对偶问题是：min w = 5 y + 6 y + 7 yy 1 + 5 y 2 + 3 y 3 15y 1 + 6 y2 + 10 y3 20y 1 + y 2 + y 3 = 原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A和C两种产品.原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A和C两种产品.由于市场的变化，产品B、C的单件利润变为3元和2元，这时应如何调整生产计划.工厂计划生产新产品D，每件产品D消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg，2kg及1kg， 每件产品D应获利多少时才有利于投产.【解】(1)设气、x2、x3分别为产

10、品A、B、C的月生产量，数学模型为y , y , y 0 123由原问题的最优解知，原问题约束的松弛变量不等于零（x*。0 ），%、x3不等于零，则对偶问题的约束、约束为等式，又由于xs3。0知y3=0；解方程y 1 + 5 y 2 = 15y + y = 512得到对偶问题的最优解Y=（5/2,5/2,0）； w=55/2=27.57.某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A、B、C，有关资料见表2-23.表 2-23材产品 一材料消耗集原材料有每月可供原材料(Kg)品ABC甲211200乙123500丙221600每件产品利润413max Z = 4x + x + 3x2x + 1 x + x 200 x + 2x + 3x 5002x + x + x 0, x 0, x 01123最优单纯形表:C(j)413000R.H.S.RatioX B-CBX1X2X3X4X5X6X1411/503/5-1/5020X3303/51-1/52/50160X60000-101400C(j)-Z(j)0-8/50-9/5-2/50Z=560最优解X= (20, 0, 160), Z=560oX厂应生产产品A20件，产品C160种，总利润为560 元。由最优表可知，影子价格为y = 9, y = 2, y = 0 ,故