道路照明的优化问题

1、数学建模竞赛论文题目：道路照明的优化问题姓名学院专业班级联系方式队员1队员2队员3道路照明的优化问题摘要：本问题主要针对道路两盏路灯照明的实际问题，建立数学模型，利用MATLAB程序，求出方程组最值，从而得到连线路面上最小照明强度点以及优 化道路照明方案。关键词：道路照明 数学模型 MATLAB程序 最值、问题重述：两盏路灯照明的一条水平道路如图所示，其中p是路灯的亮度，是灯的 高度，两盏路灯的坐标分别是(0,)和(s, h)，其中s是两灯之间的水平距离。 令X =(x,0 )是两灯之间道路上的一点，1、建立数学模型找出具有最小照明强度的点X ；2、如何改变第二盏灯的高度以极大化X点的照明强度

2、；3、调整两盏灯的高度来优化道路照明，给出你的优化方案。二、模型假设:假设路灯的光照强度I=k竺站。r 2假设路灯工作正常。假设路灯的发光强度相同，型号相同。道路路面照度不受周围环境影响，仅由路灯提供光照。其他物体对路灯的遮挡影响忽略不计。假设两路灯在道路上的照射半径长度之和刚好为s。假设把两只路灯连线的路面看做一条直线。假设忽略其他因素对路灯光照强度的影响。假设把两个路灯看为质点。三、变量说明：P.路灯的功率七路灯的垂直高度r.路灯到路面上某点的距离七路灯光线与路面的夹角I.路灯的光照强度k路灯光照强度系数S道路宽度x路面上的点到O点的距离c0最低照明强度C3)路面上某 点的光照强度四、问题

3、分析:以第一个路灯为坐标原点建立直角坐标系，利用光照强度公式建立方程，利 用MATLAB程序求出最小值。以x、h2为未知量，建立方程C (x,h2)，利用MATLAB程序求出最大值。改变hh2的值，找到最优解，使得路灯既满足照明需求，有不会使能源浪 费。五、模型建立得：两个路灯在点x处光照强度分别为=ky, 1217 P sin a=k 2r 22记k = 1,由图可知有以下结论:r2 = hr2 = h2 + (s - x)211hsin a =1 1(h2 + x 2sin a2仇2 +(S - X)2PhPha由 C (x) = I1 + 12得到X点的照度为C由 C (x) = I1

4、+ 12(0 xsolveC-3*P1*h1*X/(P1*P1+XA2)A5/2+3*P2*h2*(s-X)/(h2*h2+(s-X)A2)A5/2=0,X)结果如下：X=RootOf(P2*h2*zA11 + h1*P1*zA11 - P2*h2*s*zA10 - 10*h1*P1*s*zA10 + 45*h1*P1*sA2*zA9 + 5*P1A2*P2*h2*zA9 + 5*h1*P1*h2A2*zA9 - 5*P1A2*P2*h2*s*zA8 - 40*h1*P1*h2A2*s*zA8 - 120*h1*P1*sA3*zA8 + 140*h1*P1*h2A2*sA2*zA7 + 210

5、*h1*P1*sA4*zA7 + 10*P1A4*P2*h2*zA7 + 10*h1*P1*h2A4*zA7 - 280*h1*P1*h2A2*sA3*zA6 - 10*P1A4*P2*h2*s*zA6 -60*h1*P1*h2A4*s*zA6 - 252*h1*P1*sA5*zA6 + 350*h1*P1*h2A2*sA4*zA5 +150*h1*P1*h2A4*sA2*zA5 + 210*h1*P1*sA6*zA5 + 10*P1A6*P2*h2*zA5 + 10*h1*P1*h2A6*zA5 - 280*h1*P1*h2A2*sA5*zA4 - 200*h1*P1*h2A4*sA3*zA

6、4 - 10*P1A6*P2*h2*s*zA4 - 40*h1*P1*h2A6*s*zA4 - 120*h1*P1*sA7*zA4 + 150*h1*P1*h2A4*sA4*zA3 + 140*h1*P1*h2A2*sA6*zA3 + 60*h1*P1*h2A6*sA2*zA3 + 45*h1*P1*sA8*zA3 + 5*P1A8*P2*h2*zA3 + 5*h1*P1*h2A8*zA3 - 60*h1*P1*h2A4*sA5*zA2 - 40*h1*P1*h2A6*sA3*zA2 - 40*h1*P1*h2A2*sA7*zA2 - 5*P1A8*P2*h2*s*zA2 - 10*h1*P1

7、*h2A8*s*zA2 - 10*h1*P1*sA9*zA2 + 10*h1*P1*h2A6*sA4*z + 10*h1*P1*h2A4*sA6*z + 5*h1*P1*h2A8*sA2*z + 5*h1*P1*h2A2*sA8*z + h1*P1*sA10*z + PA0*P2*h2*z + h1*P1*h2A10*z - P1A10*P2*h2*s, z)Ph(2)以x, h 2为未知量，建立万程Ph(2)以x, h 2为未知量，建立万程C (x, h) = h+Ph TOC o 1-5 h z +2 2，V；(h2 + (S x)2)3竺=3 dxPh (s 一x竺=3 dx3 ,11分

8、别把C(x，h2)对x、h 分别把C(x，h2)对x、h 2求导数，acp )Ph 2=2 32 2ah2 v；(h 2 + (s x)2)3X,h2=solve(P2/(h2A2+(s-X)A2)A(3/2)-3*P2*(h2A2)/(h2A2+(s-X)A2)A(5/2),-3*P1*h1*X/(P1*P1+XA2)A5/2+3*P2*h2*(s-X)/(h2*h2+(s-X)A2)A5/2)结果如下：X = (2A(1/2)*P2*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)-(2A(1/2)*P2*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)(由于

9、0 xX,h1,h2=solveCP2/(h2A2+(s-X)A2)A(3/2)-3*P2*(h2A2)/(h2A2+(s-X)A2)A(5/2),-3*P1*h1*X/(P1*P1+XA2)A5/2+3*P2*h2*(s-X)/(h2*h2+(s-X)A2)A5/2,P1/(h1*h1+x*x)A3/2-3*P1*h1*h1/(h1*h1+x*x)A5/2)结果：X = (2A(1/2)*P2*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)(2A(1/2)*P2*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8) TOC o 1-5 h z (2A(1/2)*P2

10、*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8) (舍)(2A(1/2)*P2*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8) (舍)-(2A(1/2)*P2*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8) (舍)-(2A(1/2)*P2*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8) (舍)-(2A(1/2)*P2*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8) (舍)-(2A(1/2)*P2*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8) (舍)h1 =X + 2A(1/2)*h2X + 2A(

11、1/2)*h2X + 2A(1/2)*h2 (舍)X + 2A(1/2)*h2 (舍)X - 2A(1/2)*h2 (舍)X - 2A(1/2)*h2 (舍)X - 2A(1/2)*h2 (舍)X - 2A(1/2)*h2 (舍)h2=(2A(1/2)*P2*(3A(1/2)-(2A(1/2)*P2*(P1A2+XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)*(P1A2+X A2)A5)/(243*P1*X*h2A8)A( 1/2)(-(2A(1/2)*P2*(3A(1/2)+(2A(1/2)*P2*(P1A2+XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)*(P1A2+ XA2)A5)/(2

12、43*P1*X*h2A8)A(1/2)-(2A(1/2)*P2*(3A(1/2)-(2A(1/2)*P2*(P1A2+XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)A(1/2) (舍)-(-(2A(1/2)*P2*(3A(1/2)+(2A(1/2)*P2*(P1A2+XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)A(1/2)(-(2A(1/2)*P2*(3A(1/2)+(2A(1/2)*P2*(P1A2+XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)*( TOC o

13、1-5 h z P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)A(1/2) (舍)(2A(1/2)*P2*(3A(1/2)-(2A(1/2)*P2*(P1A2+XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)A(1/2) (舍)-(-(2A(1/2)*P2*(3A(1/2)+(2A(1/2)*P2*(P1A2+XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)*(P 1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)A(1/2) (舍)-(2A(1/2)*P2*(3A(1/2)-(2A(1/2)*P2*(P1A2+

14、XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)*(P1 A2+ XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)A(1/2) (舍)由于X,h,七均大于0,则有X = (2A(1/2)*P2*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8) (2A(1/2)*P2*(P1A2 + XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8) h1 =X + 2A(1/2)*h2X + 2A(1/2)*h2 h2=(2A(1/2)*P2*(3A(1/2)-(2A(1/2)*P2*(P1A2+XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)*(P1A2+X A2)A5)/(243*P1*X*h2A8)

15、A( 1/2)(-(2A(1/2)*P2*(3A(1/2)+(2A(1/2)*P2*(P1A2+XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)*(P1A2 +XA2)A5)/(243*P1*X*h2A8)A(1/2)经查阅物理知识，照明强度直接影响可见度，只有照明强度不低于某定值 c 0 时，才能认为物体可见。在这里认为对所有物体c0均为20%2。则有c(x)=c， 将两组数据代入，取使C%的数据，按该数据设计路灯，在满足照明需求的情 况下，节约能源，避免浪费。六、模型评价优点：在该模型中，通过查阅资料，得到题目中未给出的路灯光照强度计算 公式，使得问题变得简单化，这是该模型得以成立的基础。问题二及问题三不断 深化，增强了实际