《等差数列》教学导案

1、等差数列教案作者:日期:等差数列(一)学习目标：.明确等差数列的定义，探索并掌握等差数列的通项公式；.会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题；.通过与一次函数的图像类比，探索等差数列的通项公式的图像特征与一次函数 之间的联系。教学重,点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点： 等差数列的性质教学方法： 探究、交流、实验、观察、分析内容分析：本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两

2、点可以决定一条直线)教学过程：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法 一一列举法、通项公式法、递推公式法、图象法和前n项和公式这些方法从不同的角度反映了数列的特点。 现在我们先看下面这些问题：.回忆数列的概念，数列有哪几种表示方法？.(1)小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只有yes、no、you、me、he 5个,他决定从今天起每天背记 10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5,15, 25, 35,问：多少天后他的单词量达到 3000?(2)小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了，结果不知不

3、觉地每天忘掉 5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减， 依次为： 3000, 2995, 2990, 2985,问：多少天后她那3000个单词全部忘光？从上面两例中，我们分别得到两个数列：5, 15, 25, 35,3000, 2995, 2990, 2985,观察以上两个数列，看看它们有什么共同特征？.根据以上两个数列，每人能举出2个与其特征相同的数列吗？.什么是等差数列？这样理解等差数列？其中的关键字词是什么？.以上两个数列存在通项公式吗？如果存在，分别是什么？.怎样推导等差数列的通项公式？学生讨论、分析以上几个问题引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列，从第2项起，每一项与前

4、一项的差都等于10 ;对于数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-5 ;共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（PS.每相邻两项的差相等一一应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字一一等差数列二、讲解新课:1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 公克 （常用字母“ d”表示）.注息：.名称：等差数列，首项（a，公差（d）,若d 0 则该数列为常数列.公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（3）.对于数列an,若an an 1=

5、d （与n无关的数或字母），n2, n N ,则此数 列是等差数列，d为公差.那么对于以上两组等差数列，它们的首相分别是5和3000,公差分别是10和-10。.等差数列的通项公式：an a1 （n 1）d【或an am （n m）d】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列 an的首项是a1,公 TOC o 1-5 h z 差是d,则据其定义可得： a2a1d即：a2a1da3a2d即：a3a2da12d32Ia4a3d即：a4a3da13d由此归纳等差数列的通项公式可得：an a1 （n 1）d已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项 an*(n (n

6、 1) 10 10n 5 (n1)如数列 5, 15, 25, 35,；an 5数列 3000, 2995, 2990, 2985,； an 3000 (n 1) ( 5)30052n (n1)数列1 2 3 4 l 5555an1, 八1 n ,、(n 1) _(n1)555由上述关系还可得：am a1 (m 1)d即：a1 am (m 1)d则：ana1(n 1)d=a则：ana1即等差数列的第二通项公式an am 即等差数列的第二通项公式an am (n m)d，am and=m n如：a5 a4 d a3 2da2 3d a1 4d三、例题讲解例1求等差数列8, 5, 2的第20项-4

7、01是不是等差数列-5, -9, -13的项？如果是，是第几项? TOC o 1-5 h z 解：由 a18,d 5 8 2 53n=20,得 a2。8 (20 1) ( 3)49由 a15,d9 ( 5)4得数列通项公式为：an 5 4(n 1)由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n,使得由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n,使得 4015 4(n1)成立解之得n=100,即-401是这个数列的第 100项.例2在等差数列 an中，已知a510, a1231,求 a1，d ,a20,an TOC o 1-5 h z 解法一：: a5 10, a1231,则a1 4d 10aa1 4d

8、10a1 11d 31an a1 (n 1)d 3n 5d 3a20 a1 19d55解法二：: a12 a5 7d 31 10 7d a20a128d 55an a12 (n 12)d 3n 5,小结：第二通项公式an am (n m)d四、课堂练习：.(1)求等差数列3, 7, 11,的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前 3项求得首项和公差， 写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a=3,d=73=4.，该数列的通项公式为：an =3+ (n1) X4,即 an=4n1 (n1,nCN*)a4=4 X4 1=15, a10 =4 X 10 1=39.评述：关键是求出

9、通项公式 .(2)求等差数列10, 8, 6,的第20项.解：根据题意可知：a二10,d=810= 2.，该数列的通项公式为：an =10+ (n1) x ( 2),即：an = 2n+12,-a2。= 2 X 20+12= 28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.100是不是等差数列2, 9, 16, 的项？如果是，是第几项？如果 不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.解：根据题意可得：a=2,d=9 2=7.，此数列通项公式为：an =2+ (n 1) X7=7n5.令7n- 5=100,解得：n=15,100

10、是这个数列的第 15项.20是不是等差数列 0, -31 , 7,的项？如果是， 是第几项？如果不是，2说明理由. TOC o 1-5 h z 77斛：由题思可知：a1=0,d= 3- ，此数列的通项公式为：an = n+,22令7 n+7 =20，解得 n=47227因为7 n+7 =20没有正整数解，所以 20不是这个数列的项. 222.在等差数列an中，(1)已知a4=10,a7=19，求a1与d;(2)已知 a3=9, a9=3,求 a12.解：(1)由题意得:ai 3d 10a1 6d 19解之得:ai 1d 3 .aa111d 1(2)解法一：由题意可得:a12d 9,解之得a18

11、d 3，该数列的通项公式为：an =11+ (n1) x ( 1) =12 n,a12 =0解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,，d=1又 aI2 = a9 +3d, - a2 =3+3 x( 1)=0.五、课堂小结通过本节学习，首先，要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式:an - an 1 =d , (n 2, n C N ).其次，要会推导等差数列的通项公式:an a1(n 1)d，并掌握其基本应用最后，还要注意一重要关系式：an am (n m)d和an=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.六、课后作业：一、选择题：.等差数列an中,4 a4 a7 39自 a6

12、a 27,则数列an前9项的和S9等于(A. 66B. 99C. 144D. 297.若lg2,lg(2x 1),lg(2x 3)成等差数列，则x的值等于()A. 1A. 1B. 0或32C. 32D. log2 5.在等差数列 an中，若S41, Sg4,则aa18a19 a2o的值为().已知数列an,满足 a1=1 , an=a1+2a2+3a3+- - +(n 1)an 1(n2),则 n2 时,an=.已知关于x的方程x2 3x+a=0和x23x+b=0(awb)的四个根组成首项为 3的等差数列,4求a + b的值.七、设计感想本教案设计突出了重点概念的教学，突出了等差数列的定义和对通项公式的认识与应用。等差数列是特殊数列， 定义恰恰是其特殊性也是本