同济大学朱慈勉-结构力学-第10章-结构动习题答案

1、同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动.习题答案10-1试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？10-2试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？10-3什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的动力自由度？10-4将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？10-5试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。(a)(b)分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y,申。(c)(d)在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四

2、个自由度。10-6建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？10-7单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？10-8图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m，B处有一弹性支座(刚度系数为k)，C处有一阻尼器(阻尼系数为C),梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。解：1）刚度法该体系仅有一个自由度。可设A截面转角a为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为mla。取A点隔离体，取A点隔离体，A结点力矩为:21M=-xm1ax1x1=ma13I233由动力荷载引起的力矩为：占q由动力荷载引起的力矩为：占

3、q2(t)33(t)由弹性恢复力所引起的弯矩为：kyJ1+ca12根据A结点力矩平衡条件M+M+M=0可得:3ma13+色12+ca12弧整理得:ka3cama+一+整理得:ka3cama+一+3ll2）力法iac解：取AC杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移a。根据几何关系，虚功方程113（）33为：一q12a一一lak一la-la-1ac-f1m3（）33则同样有：TOC o 1-5 h zka3caq()则同样有：ma+=W311110-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量m，A处转动弹簧铰的刚度系数为k&，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c,试建立体系自由

4、振动时的运动方程。解：取DF隔离体，工M=0：Ff3R-2a=J2amx2adx+ka2a023nR=2ma2a+kaa4取AE隔离体：工M=0Aka+J3amx2adx+ca2a+4ka2a+3Ra=000将R代入，整理得:25R=15ma3a+ka2a+ka,=04010-10试建立图示各体系的运动方程。(a)li_2一li_2一m解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。mla2mla2画出怜和M1图（在B点处作用一附加约束）(t)3EI13）列出刚度法方程113EI，R1113EI，R1p=13&-M(t)24ka+R=

5、0TOC o 1-5 h z111p代入R、k的值，整理得：1p11ma+72EIa=竺l4l3(b):fp)EI2解：M1图M1图M2图试用柔度法解题此体系自由度为1。设质量集中处的竖向位移y为坐标。y是由动力荷载卩卩（f）和惯性力矩叫共同引起的。y=8M+aF11112p(t)由图乘法：8112EI133EI88112EI133EI8121/26EI2251348EI惯性力矩为-my113y13y=3EI-my1k+孔F48EIp(t)经整理得，体系运动方程为：.3EI5my+y=F1316P(t)10-11试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。(a)(a)(a)(a)E/二常数2

6、a解：Mi图EI-1a2a22xxMi图EI-1a2a22xxaxxx+2x2axaxa(b)解：此体系为静定结构，内力容易求得。5a36EI在集中质量处施加垂直力P,使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为|。由此根据弯矩平衡可求得p=4k。2323(c)EIEIEIEA=82EI解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。上简支梁柔度系数为下简支梁柔度系数为l348EI6EIl396EI于是两者并联的柔度系数为8l36EI+96EI102EIl3卜卜16丿2解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。30EI30EI水平支杆中力为，即k=13l31113l3

7、旷,30EI=it=m13ml3(e)忽略水平位移MM图x2x竺+1x3a=込EA2EA(f)解：Mi图31621(31233132316213八1x1XX1+11XX1+XX123323221933219364丿EIEI(32=8.17210-12为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构哪些固有量有关？关系如何？10-13试说明有阻尼自由振动位移时程曲线的主要特点。此时质量往复一周所用的时间与无阻尼时相比如何？10-14什么是阻尼系数、临界阻尼系数、阻尼比和振幅的对数递减率？为什么阻尼对体系在冲击荷载作用下的动力响应影响很小？10-15设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188m

8、m减小至0.060mm,试求该结构的阻尼比1y11.188解.guIni=In=0.0475解：2n兀y20兀0.06k+n10-16设有阻尼比=0.2的单自由度结构受简谐荷载Fp(t)=Fsin91作用，且有0=0.75。若阻尼比降低至=0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？解.m2解.m2+4g2已知g从0.2降低至0.02.0=0.75,F=Fsin01,A不变。FTF2+FTF2+4-0.22.216+4-0.022.2_16nF=0.827F21F简谐荷载的幅值应调整到0.827F。10-17试说明动力系数的含义及其影响因素。单自由度体系质量动位移的动力系数与

9、杆件内力的动力系数是否相同？10-18什么是共振现象，如何防止结构发生共振？10-19试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值，并绘制最大动力弯矩图。设9：吧。(a)Fsin91EI解：由力法可知，单位荷载作用在b点引起3e-位移。3EI1y%)9211y%)921-2sin91mW2F/33EIsin9t即幅值为Fl33EI当幅值最大时，弯矩也最大。(b)解：221）求结构运动方程如所示弯矩图，图乘后，1124EI22ff3EI12215l348EIy(t)cfF+fFsin91f11I1211m+fFsin911224EIy+忒ysin912m33E

10、I128333EI1283其中2=24EI,P*=-Fml32稳态解：P*P*y=(t)cmro2sin011匹ro22Fl32Fl35Fl3所示结构的运动方程为y（t）C咼sin01-sin0124E/114业sin0136EIc点最大动位移幅值为3E36EI2）求B点的动位移反应y（t）y（t）B=fF+fPsin01=f21I2221(、-my(t)B丿+fPsin0122=_P*_m=_P*_mro2sin0tro2y(t)B-0y(t)B-02P*mro21-3sin0t(t(t)C02P*-ro21+Pf22J211-?iro2丿-Fl336EIsin01y(t)Bsin0tsin

11、sin0tTOC o 1-5 h z5l3502-P-48EI2ro2l3+P1-023EIro2=Pl3=3EI250232ro21-03ro2+1sin01丿sin01-702=Pl-32ro2sin01、ro2Pl31214.n-sin01121Pl3288EIsin01222210211021-210211021-2B点的动位移幅值为121P13288EI3)绘制最大动力弯矩图M图121Pl33EI5Pl312EI281M=x+x=PlA(max)288EI1236EI1296M=皿xM=皿x迴C(max)288EI212121192P110-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用

12、下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。q(t)=qsin01tutHiBEI=-解：1321解：13219若q(t)为静力荷载，弹簧中反力为q1。已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角a为坐标。建立动力方程：TOC o 1-5 h z.131m3a31,ama+a-1+ka1-a1=J2qaxdx22320.9.9ama12+ka212=aq12nma+ka=q8819则弹簧支座的最大动反力为討813210-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6X106N.m2,t=0.1s,Fp0=8X1

13、O4N。(a)解：求排架自振频率,横梁无限刚性,则各排架水平侧移相同。解：求排架自振频率,横梁无限刚性,则各排架水平侧移相同。可将排架柱视为三个并联的弹簧。边柱刚度柔数k=k边柱刚度柔数k=k3EIh36EI中柱k2=百12EIk=并12EIk=并h33:12x6x106N-m263m3-8000 x102N=0.645rad/s兰=9.73兰=9.73s3数值很小t=0.1=1数值很小T=973=973所以认为当FpC)作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得：mvmvt1=-Ftn8x105v21t1=-x8x104x0.12nv=5x10-3m/st1再根据势能

14、守恒得：1mv221mv22=1ky2n1x8x105xSx10-3=1x1x106x112max223y2stny=0.0077mstF=yk=0.0077xx106=1283NQ中st中6F=1F=642NQ边2Q中(b)10-22设图a所示排架横梁为无限刚性，并有图b所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。(a)解：在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。第一阶段(0tt1）因为不受外力作用所以横梁以时刻的位移和速度为初始值做自由振动。(b)(b)10-23设题10-22图a所示刚架m=4000kg,h=4m，刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率尸

15、0.10。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5%,试求刚架柱子的弯曲刚度EI至少为何值。解：（1）求周期数。o.。5y=ye-Yn-n=瞥=30m求k：tn=n2气-i02nk=(2m=314159X型X4.x103=1421.223x103N/i02t2n两柱并联2EI-12=knEI=3.79x10eN-m2h310-24设某单自由度体系在简谐荷载Fp（t）=Fsin91作用下作有阻尼强迫振动，试问简谐荷载频率9分别为何值时,体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大？解：在简谐荷载解：在简谐荷载Fp(t)=Fsin01作用下，稳态位移响应可表示为yc)Asin(6t-a)解：在简谐荷

16、载解：在简谐荷载Fp(t)=Fsin01作用下，稳态位移响应可表示为yc)Asin(6t-a)认认6232丿认认6232丿A=旦m32=yH2点62st+4g2一322-a=tan-11-332(1)使动位移最大，即使卩最大，从而得出1一62最小。32设f0)=2+4g2332f6)=-41-2_L+4g23232使f(6)=0，则6=31-2g2(2)y；)=6Acos(6t-a)设g紛二.iI1-如果使速度响应最大，则g(力如果使速度响应最大，则g(力最大，设g)=.63丿12赢，显然要求g1(6)最f161(111.63丿.6232丿=0得6=。小。使：g1(6)=23)=-62Asin

17、(6t-a)h=(6)62令h1(6)=1-32132丿if12+冬3262显然要求(6)最小。1111则仏)=0解的：e=v;1-2210-25结构自振频率的个数取决于何种因素？求解结构自振频率的问题在数学上属于何类问题？10-26试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。(a)解：1)M1图M2图1)M1图M2图EIf111l2l1ll2l=2xxlxxx+x2xxxxnf223222232ii134EIEIf22lEIf22l2lll=2xxlxxx+xxlnf23222225/312El2)振型方程1712)振型方程17131)m-(4El2丿A+0-A=012(5l321)2m

18、-12El2丿12El令人=，频率方程为:ml323-九010-九11111111n(X-3)-10)=0n九=10,X=3112EIEI=：竺L=1.095J竺10ml3ml312EI7EI=2.3ml3ml3ml323)振型图如下第二振型(b)第一振型解：体系具有两个自由度。先求柔度系数，做出单位弯矩图，由图乘法可得：5二丄f11-1-21+11.迈l?lEI(2323丿+2b33EI5=52112冋36E722）振型方程22）振型方程522EIJ222l36EI得振型方程：A+16EImA=02TOC o 1-5 h zA+16EImA=02m-3EIo2丿迈13(迈131)mA+1m-

19、6EI1(6EIo2丿13EI令-=k2ml32.414九0.7070.7070.7070.7070.707-九由频率方程D=0解得：3EI二ml3-0.4535二“76解得：3EI二ml3-0.4535二“76、：亦1.060；亘ml3-2.6675ml33EIml3A2.414-k-2.77321=1=A0.7071112.414-kA120.70720.3581(c)=mEIk=EI=ml3EIk=EI=ml3EI解：l313l3f1广22125l33EI12EI2112EIMM1图M2图1-221-2217A+5l3m1.12EI,-A=02131、m2/5l313l3c1m-A+2m

20、.12EI,1.12EI2(3EI频率方程为：A=0212EI令九=一ml324九513-九nM17九+5225=0nM=15.227,M=1.773112EIEI12=0.888.旦ml3:15.227ml3=丄EL=2.602旦1.773ml3ml33)当M=M=15.227时，设A=1nA11需=0.7227当M=M=1.773时，2=1nA2221=0.622710第一振型(d)设A12第二振型mEI=8EIEI1112226EI=52111a348EI48EI+-/k11a348EI频率方程为：11f12m221fm-丄222=ma,m=0=Jma3代入整理得:44亍入+40a2=0

21、其中-48EIa32入=11.045a,入=3.625aroro48EI11.045a4m=2.085EI48EI3.625a4m=3.639EI振型方程为：-A+511ro2122122ro21i=l(i=1,2)代入(a)式中的第一个方程中,21丄-5ro2ro21112一51112绘出振型图如下：0.2301ma4EIa20.2292ma4EI1-48EI3ma33.625一11ma448a248EI3EI一22.1250.135ma30.135第二振型解：1)l3l311221221l32EI2EI336EI2)振型方程(1(13(1(13131-A+-m一12EId2(13A+0A=

22、023131-A+-m一12EId2(13A+0A=023CD4,九=九3EI,D2ml33EI=ml3(1(1(0、a=1a=1A=010丿20丿3詁丿23振型图如下：11第一振型1第二振型第三振型A+(y、13m16EI-A+0-A=0231)m(2EID2丿0-A+0-A+12令h=，频率方程为:九3-九2-九(f)解：1)M1图113EI4mE/二常数M2图M3图a3,8222)振型方程为：a33EIa3,833a3,8EI=821126EIa3,8=81423323EIa3,831=8133EIa3D=(5a34a3”)A+m-A+-4m16EI23EIm3-A=0(8a31(14a

23、s)-A+-mA+-4m13EIro223EIro23-A=0m-A+(14a3-A+(9a3.1)m-m-4m丿113EI丿2:EIro2丿A=0h3EI36EI，频率方程为：ml3ro23216-X112=028216-XnX=231.8,X=1.936,X=0.23171=0.1612rET(1(1(0、a=3.469a=1.390A=0.6871、6.640丿20.219丿3、0.052丿nro1ma3,roma3210-27试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。(a)解：24EI12k22k图图MM1248EI1124-2424EIl221-2448-2yy=7.029,y

24、12o=2.651a=(b)12=40.971EIml3l222l2mo213EI=6.401EIml3(0.707丿(-0.707丿振型图如下：11I0.707第一振型11解：k11=k22k21EA2lEAk11F1图EAEA2+=lF2图=k2i212122、QeA2-4l振型方程：丑A+4l12EAEA一2mA+A-04l丿EAro2mA-02令入=如4，频率方程为:EA4九=4,九=4+2込n入、丿(c)振型图如下：振型图如下：振型图如下：振型图如下：JEZ/3M1图作出附加连杆移动单位位移的弯矩图3i4EIk=+k=11l2l3k=kEI12k=kEI1221l3,34EIk=+k

25、=22l2l3列出频率方程：k一k一mw2D=11ik2112k一mw2222解得：w21w21w22ml35EIml3结构自振频率分别为：w1w2w1w2求第一振型：令A=1得A=11121求第二振型：令A=1得A=一11222结构的振型向量形式为：A（i）=A（2）=1111振型图如下：振型图如下：振型图如下：振型图如下：(d)解：k12第二振型12lk22=k=0,k21111M1图15i,k2l2228il2列振型方程：（*）2ml3O2列振型方程：（*）2ml3O2(16-y)A=0其中2列频率方程并求解：15-y0016-y=0n(15-y)(16-y)=0y=15,y=1612E

26、I|ejo=2.739,o=2.8281ml32ml3ml3求振型将y=15,A111=1代入方程组（*）中得：A=0，即A21将y=16,A222=1代入方程组（*）中得：A=0，即A（2）=22第一振型第二振型10-28试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程（10-66）和（10-71）时，对动力荷载的性质特点和作用位置分别有何要求？10-29试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上，按静力学方法计算体系的动内力幅值。10-30试求图示结构B点的最大竖向动位移A，并绘制最大动力弯矩图。设均布简谐荷载频率yB（max）9=巴,B点处弹性支座的刚度系数k=E，忽略阻尼的影

27、响。ma3a3Iaa解：44画M,M图1p111ElI1a2a)2xx111ElI1a2a)2xxaxxxI2232丿111+xx=22k5a312EI1pEI11)xqa2+34”丿1qa24111+xqax=24k4EI列出方程得：5a3、5a3、12EI、a3EI丿333331185-2=31185-2=32231185-2=31185-2=322解得：I=qa1731a31a313qa3A=qaxx+qax=yB（max）72El4El28EI根据公式M根据公式M=M11+M画出最大动力弯矩图。11p10-31图示结构在B点处有水平简谐荷载Fp(t)=1kN-sin91作用，试求集中质

28、量处的最大水平位移和竖向位移，并绘制最大动力弯矩图。忽略阻尼的影响。FsjnOEIEI2m1M2图P2132EIEI3EI=512EI竖向位移，并绘制最大动力弯矩图。忽略阻尼的影响。FsjnOEIEI2m1M2图P2132EIEI3EI=512EI2EIEI2EI23EI1p=丄1p=丄2F22=4FEI2EI3EIA=丄-2F-2-2=8F2pEI23EI代入惯性力幅值方程：、3EImEI丿I+、3EImEI丿I+I1EI2+处=0EI土I+EI1、3EImEI丿I+丝=023EI185解得：I=-KN,I=-KN117217A=-=-0.941mm,A=-=-0.261mm1m022m02

29、将以上求得最大惯性力I、I和动力荷载，同时作用于结构，可得最大动力弯矩图：17l=5m,10-32图示刚架各横梁为无限刚性，试求横梁处的位移幅值和柱端弯矩幅值。已知ml=5m,EI=5X105kN.m2；简谐荷载幅值F=30kN，每分钟振动240次；忽略阻尼的影响。m,=m解：31211232m,=m解：3121123233231333231324EI层间刚度设为k,k=k=k=2k=k=2k,k=k=k11221221230=2兀n=2兀x240=60=6032=k,k=k33F=30KNl=5m动位移幅值方程为：(48EI小cL:(48EI小cL:2m02A丿(48EII1324EIA+l

30、3124EIA+l3124EIA1l321.5m02AI13*丿(24EI、m02A=0丿=024EIa=f2l33将具体数值代入，解得：A=0.1353mm,A=0.0926mm,A=0.2710mm112EIM=Ax1113M=(A-A22112EIM=Ax33132底柱柱端弯矩幅值：中柱柱端弯矩幅值：顶柱柱端弯矩幅值：53解：该结构有两个自由度,使用刚度法。21,103EIEIEIk=,k=k=-k=-,k=7117l31221l322l3k的求解过程：11ir16EI,115,256t3t23txlxxl+2xlxlx_xl216316117l396EITOC o 1-5 h z,19

31、6EIki=517l3,96EIEI103EIk=ki+k=+=117l3l37l3k的求解过程：2212r1左构件52=丄lx2lx二x二x二lEI,2l3232丿6EIl3k=k2+k=竺卄EI7l322l3l3将上述刚度系数，质量值及荷载幅值代入位移幅值方程，并计9=2EIml3103103EI4EIA,7l3A-旦A=01l32r7EI4EIFl3Fl3解得：Ai=0.032汗A2=0344-求解过程：对于AB杆件，相当于在中点作用一集中力96F=A-ki=0.032xF=0.439FAB17对于CD杆件，相当于在中点作用一集中力F=A-k2=0.344x6F=2.064FCD210-

32、34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性？10-35试用振型分解法计算题10-32。解：_2k-k0一2m00-刚度矩阵k=-k2k-k质量矩阵M=01.5m00-kk00m其中k=96x106N-m-i,m=1x105Kgl3由刚度矩阵和质量矩阵可得：-0.31150.57740.2639A=-0.5278A=-0.5278-0.62300-0.6230-0.57740.5278=12.11s-1,=30.98s-1,=45.75s-1123-0.3115_T_200-0.3115_m1=A（1）TMA（1）=m-0.527801.50-0

33、.5278=m=1x105kg-0.6230001-0.6230m2=A（2）TMA（2）=m=1x105kgm3=A（3）TMA（3）=m=1x105kg843843843843_0.3115-0.52780.6230T_0一F00.5774-T0一0F0.57740sin01=15.83sin01KNsin01=0FP。）=叫（t）气（t）=A讥）0.2639_T0一0.6230F0.52780sin01=18.695sin01KNFP3(t)=A(3)TFP(t)则yi（f）应满足方程Fp.（t）m115.8315.83x103y1(t)()sin01y1(t)1x105,2.112-(

34、8冗)2丿同理：y同理：y2(t)=0y3(t)显然最大位移y3(t)显然最大位移y=0.1354mm1max-0.31150.057740.2639-0.3264_-0.1354_-0.52780-0.6230sin0t=0.0926sin0tmm-0.6230.057740.52780.12790.2708y=0.0926mm2maxy=0.2708mm3max与10-32题的答案基本一致。(8.69X1卡in01=0.1279sin01mm1x105U5.752-(8冗”10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比g=g2=0.10。解

35、：32刚度矩阵k32刚度矩阵k=El0.2143-0.3214-0.32140.8571质量矩阵M=m1-0.41420.41421co=0.28481m1=A(1)TMA(1)=1-1716mm2=A(2)TMA(2)=l1716mFP(t)=a(1FP(t)=a(1)t-FP(t)0.4142丿丿(-0.4142AT(0AF=P(t)J丿J丿、T-Fsin01=Fsin01(0A1Fp2(t)=A(2)T-Fsin01=0.4142Fsin01正则坐标yKt)应满足方程:y+2goy+o2y=Fp1(t)m1m1其稳态响应为：y1(t)=Asin(0t-a)110.4142x1031.1716mo21=0.8133mmIo12丿02(21O21(代0A正=tan-1=tan-1=tan-1(-0.4587)=-0.4301T1-0-I12丿同理可得：y2(t)=Asin(0t-a)221X1031.1716m22=0.1092mm=tan-1于是(十0A21-匹=t