双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明

1、 双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明（一）双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长22证法一（坐标法）：设双曲线x2占1（a0,b0）焦点为F（c,O），ab一条渐近线为l:ybx即bxay0，aF（c,0）到I的距离为d|bc2a022双曲线占爲22双曲线占爲1(a0,b0)的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),ab与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程7a2b2c证法二（几何法）：过实轴端点A作实轴垂线AD交渐近线于点D，则DAbab，又ODa2b2cOF，a所以F（c,0）到I的距离FHDAb。（等腰三角形两腰上的高相等）（二）双曲线中，PT平分

2、焦点厶PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点证明：延长FiH到M,交PF2于M,则PMPF,又|PF|PF2|2a,IF2M|2a又H、0为MF1、F1F2中点，1-OHF2M|OH|a2H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点（三）设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则PF1F2的内切圆,必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.证明：设AA2切X轴于点A，与PR切于M,PF2切于N|PF,|PF2|2a|PM|MFj|PN|NF2|2a/|PM|=|PN|,|MF1|,|NF2|=|AF2|-|FA|AF2|2a又|FA|A

3、F2|2c-|AF21ca|A，F2|,A与A重合注：可知，圆心在直线xa或直线xa上.双曲线焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径MF2为直径的圆的半径为ri，圆心为Oi;以MFi为直径的圆的半径为2，圆心为02,由双曲线定义知|MF,|MF2|AB|.11|0。1I2IF1M|_(|MF2|AB|)1a,圆0i与圆0外切又IMFIIAB|IMF2I.11-I002IIF2MI(IMF1IIABI)qa,22ny22maXoannyoyony2222nymamaxny22maXoannyoyony2222nymamaxoax0aamXdama

4、x0a2又mra2nb72nb*2*2n2amb22?a2yo22Xoab22aXo2ayob22即X2ab2(六)若Fo(Xo,y。)在双曲线2X2a2yb221(ao,bo)上,则过R的双曲线的切线方程是X；yo2y1ab证明：求导可得：兮呼oyXob22,abyoa切线方程yyo2(XXo)XoX2yoy,21yoaab22(七)若P0(x),yo)在双曲线abi(ao，b0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为Pl、P2，则切点弦P1P2的直线方程是xoxyoy1a2b2证明：设P(x,y),巳区2)，则过PPa切线分别为ii：孚巴y1，abl：x2xy?y1TPo在h、I2上1二过P

5、P2方程TPo在h、I2上1二过PP2方程XoXyoy过原点的弦,M为AB的中点，贝VkoMkABb22.a证明：设A(XA,yA),B(Xb,yB)，则M(XAyXByA2*),KOMKAByAyByAXaXbXa2222又Xa2yA.2Xb2yB.2ababb2KomKab2ayB2yA2yB22XbXaXb2222XaXdyAyB2.2ab22(九)若F0(X),y0)在双曲线-2-1(a0,bab0)内，则过P0的2弦中点的轨迹方程是2a证明：设弦与双曲线交于y2X0Xyy222.bab2X2屮2X22y2K(X1X2)b2mb2ny02,22,2KP1P、22KPOSabab(y1y

6、2)anamX02,2,22222m2nmyymbmbX0nanay。2.22,2?ababP(X,y1),F2(X2,y2)，中点S(m,n)2即X-2ay2b2X0X2ay0yb222Xya2b21（a0,b0）上任一点A（X0,y。）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且b2X0（十）过双曲线kBC2ay。（常数）k一y1y0X1X0b222X1y12X22y222xy2XX0屮y0孑孑2-a孑产kACy2y0X2X0b2X2X0y2y0a由题意得=一y1y0(X2X0)b2y2yXX）b2XX0y2y02,aX2X0屮y02a展开(yyyy2y。22y)ab

7、2(x1x2X0X2X0X1X0(y2yy1yy2y：)a22b(X1X2X0X1X0X2X02)0*y2b2x2KBC（定值）XX2ay0证明：设两直线与双曲线交于点（心丫丿化小），则22（十一）双曲线x2y21（aab点P为双曲线上异于顶点任意一点形的面积为|PF|pf2|2bcos0,b0）的左右焦点分别为Fi,F2,F1PF2SF1PF2，则双曲线的焦点三角b2tan2证明：设|PR|m,|PF2|2n2mncosn,|m24cn|2a，24a4b22b2mn(cos1)|PFiIIPF2|(m2b222n)4b，1cos1SVF1PF2mn2sinb22sinbcos1.tan222

8、(十一)右P为双曲线221(a0,b0)右(或左)支上除ab顶点外的任一点,F1,F2是焦点，PF1F2cacatancot(或tancot).ca22ca22证明：设P在左支，|PF2|PF1|2a,|F1F212cPF2F1，则oF,02(十四)已知双曲线；2kx中a2(十四)已知双曲线；2kx中a2y中y中b2kb2y1(a0,b0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x,0),则X)或x0两点,证明:设A为(x,yj,证明:设A为(x,yj,为区2)，由点差法得:0y中xx中x0ky中x中,由得ba2a或x0显然或x0(十五)双曲线离心率为e,其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则me|BAILFB1LFB!IF1BIIF2BIIF1PIIF2PI2ce2aykx2x1(a0,b0)和2aBIF1BIIF2BIIF1PIIF2PI2ce2aykx2x1(a0,b0)和2aB、C、D四点,代入双曲线方程2I(01),b则|ABI=|CDI.2km2kmx2mb*2(a22yb21视作1的特殊情况弦中点坐标xDx1X22二D(x,yo)与无关，AD、BC的中点同为T,|AT|DT|且|AB|