(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

1、 高中数学基本不等式的巧用一基本不等式a2 b21.（1）若 , ，则a b 2ab (2)若 , ，则（当且仅当 时取“=”）a ba b R22a b Rab 2a b2. (1)若a,b R* ，则(2)若a,b R 2 a b* ，则a b ab （当且仅当 时取“=”）ab22 a b (3)若a,b R* ，则ab (当且仅当a b 时取“=”）211 03.若x ，则x 2x 1 x 0 x 2(当且仅当x 1时取“=”）(当且仅当 时取“=”）(当且仅当 时取“=”）(当且仅当 时取“=”）;若 ，则xx111 0若x ，则a bx 2即x 2或x -2xxx 03.若ab ，

2、则a ba b 2b aa ba ba b 0a b(当且仅当 时取“=”）若ab ，则 b a2即 或 2-2b ab aa ba2 b24.若a,b R ，则 b（当且仅当a 时取“=”）() 222注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求下列函数的值域12x（2）yx1x（1）y3x 2211解：（1）y3x 2 3x 6 值域为 6 ，

3、+）222x2x2211（2）当x0 时，yx 2 x 2；xx111当x0 时， yx = （ x ）2 x =2xxx值域为（，22，+）解题技巧：技巧一：凑项51例 1：已知x ，求函数的最大值。y 4x 2 44x 51解：因4x 5 0 ，所以首先要“调整”符号，又(4x 2)不是常数，所以对4x 2 要进行拆、凑项，4x 5511 2 3 1x ,5 4x 0， y 4x 2 5 4x 34x4 55 4x 1当且仅当5 4x x 1，即 时，上式等号成立，故当 时， 。x 1y 15 4xmax1 例 1. 当解析：由时，求 y的最大值。知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积

4、为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8为定值，故只需将 y x(8 2x)凑上一个系数即可。 x(8 2x)的最大值为 8。当，即 x2 时取等号 当 x2 时， y评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。3，求函数y 4x(3 2x)的最大值。232解：0 x 3 2x 0 4 (3 2 ) 2 2 (3 2 ) 2 yxxxx223即 x时等号成立。当且仅当4x2y 解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。4 5 9（当且仅当 x1 时取“”号）。当,即x

5、 1解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。422y =ttt4当（当 t=2 即 x1 时取“”号）。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最Ay mg(x) B(A 0,B 0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。值。即化为g(x)a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 fxx2例：求函数 y的值域。x211解：令 x2 4 t(t 2)，则xy 2x2 4t11 0,t 1，但t 因t，故等号不成立，考虑单调性。tt1因为 y在区间单调递增，

6、所以在其子区间。t2 5,所以，所求函数的值域为。2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.11x2 3x 1,( x 0)x(3)y 2sin x , x 3, x(0, )（2）y 2x （1）ysin xx323y x(1x)y x(23x) 的最大值.2已知0 x 1，求函数条件求最值的最大值.；30 x ，求函数1.若实数满足a b 2，则3 3的最小值是.ab3 3a分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，b3 和3a3 3 2 3 3 2 3 6解：都是正数，a bbabab3 3aa b 2 3 3 a b 1即当a b 1时，

7、3 3的最小值是 6当时等号成立，由及得babab1 1x ylog x log y 2变式：若，求的最小值.并求x,y的值44技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。1 92：已知x 0, y 0 ，且 1x yx y，求 的最小值。1 9 12 1 9 9 x y 20, y 0错解： x，且 1，x y故 x y。x y 2 xy 12min x y xy错因：解法中两次连用基本不等式，在x y 2 xyx y等号成立条件是 ，在等号成立1 99 2x yxy1 9x y即y 9x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理

8、问题时，列出条件是等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。1 9 1 9 9x y正解： 0, 0, 1， 10 610 16xyx y x y x y x y x y9x1 9 x yy 161x y 4, y 12当且仅当时，上式等号成立，又，可得x时， x y。min变式： （1）若x, y R 且2x y 11 1，求 的最小值xy 1，求x y的最小值a,b, x, y R a b(2)已知且x yy2技巧七、已知x，y为正实数，且x 1，求x 1y 的最大值.2223 a b22分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。211y21 y 2 x 2

9、 222同时还应化简 1y 中y 前面的系数为 ， x 1y x 222221 y2下面将x， 分别看成两个因式：2 21 yx ( ) x y 122221 y2 222 2 31 y322 x 2 2 即x 1y 2 x2242 2 421技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y 的最小值.ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

10、302bb1302bb12 b 30b2法一：a，a bbb1由a0 得，0b152t 34t3116t16t16t2令tb+1，1t16，ab2（t ）34t 2 t 8t1 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立。18法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab令u ab 则u2 2 u300， 5 2 u3 22 ab 3 2 ，ab18，y118a b ab（a,b R ）点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等2式ab a 2b 3 0（a,b R ） 出发求得 的范围，关键是寻找到a b ab之间的关系，由此想到

11、不等 与aba b a b（a,b R ）式，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.2变式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W 3x 2y 的最值.ab a b22解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ，本题很简单223x 2y 2 （ 3x ）（ 2y ） 2 3x2y 2 522解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W3x2y2 3x 2y 102 3x 2

12、y 10( 3x ) ( 2y ) 10(3x2y)20222 W 20 2 515变式: 求函数的最大值。y 2x 1 5 2x( x )224 2x 1 5 2x与解析：注意到的和为定值。y ( 2x 1 5 2x) 4 2 (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 822 0又y ，所以0 y 2 2322x 1 5 2x=，即x y 2 2时取等号。 故 。当且仅当max评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。应用二：利

13、用基本不等式证明不等式1已知a,b,c 为两两不相等的实数，求证：a b c ab bc ca2221）正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc111 Ra b c 1。求证： 111 8例 6：已知a、b、c ，且 a b c 分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“ 2 ”连乘，又11 a b c 2 bc，可由此变形入手。1 aaaa11 a b c 2 bc12 ac12ab R a b c 1解： a、b、c ，。1。同理1， 1。aaaabbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得11112 bc 2 ac 2 ab b c 111 8 。当且仅当a时取等号。3 a b c abc应用三：基本不等式与恒成立问题1 9例：已知x 0, y 0 且 1，求使不等式x y mx y恒成立的实数 的取值范围。m1 9x y 9x 9y10 y 9xx y k