主成分分析和MATLAB应用

1、主成分分析类型：一种处理高维数据的方法。降维思想：在实际问题的研究中，往往会涉及众多有关的变量。但是，变量太多不但会增加计算的复杂性，而且也会给合理地分析问题和解释问题带来困难。一般说来，虽然每个变量都提供了一定的信息，但其重要性有所不同，而在很多情况下，变量间有一定的相关性，从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠。因而人们希望对这些变量加以“改造”，用为数极少的互补相关的新变量来反映原变量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的。一、总体主成分1.1定义设X,X,，X为某实际问题所涉及的p个随机变量。记X=(X,X；,Xp)T,其协方差矩阵为12,=()=E(XE

2、(X)(XE(X)t,ypxp它是一个p阶非负定矩阵。设 HYPERLINK l bookmark0=ItX=IX+1X+1X111111221pp HYPERLINK l bookmark2=ItX=IX+1X+1X222112222pp(1)则有第i个主成分：一般地,在约束条件Y=ItX=1X+1X+ppp11p22Var(Y)=Var(1tX)=It,1iiii,i=h2.,p.Cov(Y,Y)=Cov(1tX,1tX)=It,1,j=1,2,p.ijijij1T1=1iiCov(Y,Y)=1T,1=0,k=1,2,i1ikik下，求l使Var(Y)达到最大，由此l所确定的iiiY=1T

3、Xii称为X，X，X的第i个主成分。1.2总体主成分的计算(2)设,是X=(X,X,X)t的协方差矩阵，,的特征值及相应的正交单位化特征向量分12p别为九九XX*2交单位特征向量。其中九*1n九*0为p的特征值,pe*=(e*,e*l1112,e*)t为相应于特征值X*的正ipi并且(8)Uvar(Y*)=另九*戈必(X*)=p,iil=1l=1i=1第i个主成分的贡献率：4*P前m个主成分的累计贡献率:艺九*l1；pY*与X*的相关系数为p=jX*e*。liY*,X*“ijij二、样本主成分前面讨论的是总体主成分，但在实际问题中，一般（或p）是未知的，需要通过样本来估计。设x，(x,x,x)

4、卩,i，1,2,.,n.ii1i2ip为取自X，（X,X,X）T12p的一个容量为n的简单随机样本，则样本协方差矩阵及样本相关矩阵分别为s，G)可pxpR，(r)ijpxpn1(x一x)(x一x)T9)k，1，1xniji=1其中x，(x,x,x)T,x12psij1区(x一x)(x一x),i,j，1,2,.,pn一1kiikjjk，1分别以S和R作为和p的估计，然后按总体主成分分析的方法作样本主成分分析。三、例题某市为了全面分析机械类个企业的经济效益，选择了8个不同的利润指标，14企业关于这8个指标的统计数据如下表所示，试进行主成分分析。表114家企业的利润指标的统计数据变量企业序号净产值利

5、润率（%）xi1固定资产利润率（%）xi2总产值利润率（%）xi2销售收入利润率（%）xi3产品成本利润率（%）xi5物耗利润率（%）xi6人均利润率x（千i7元/人）流动资金利润率（%）xi8140.424.77.26.18.38.72.44220.0225.012.711.211.012.920.23.5429.1313.23.33.94.34.45.50.5783.6422.36.75.63.76.07.40.1767.3534.311.87.17.18.08.91.72627.5635.612.516.416.722.829.33.01726.6722.07.89.910.212.61

6、7.60.84710.6848.413.410.99.910.913.91.77217.8940.619.119.819.029.739.62.44935.81024.88.09.88.911.916.20.78913.71112.59.74.24.24.66.50.8743.9121.80.60.70.70.81.10.0561.01332.313.99.48.39.813.32.12617.11438.59.111.39.512.216.41.32711.6解：样本均值向量为：元(2797910.95091008.54311.06414.6141.55214.686)t,样本协方差矩阵为：

7、168.33360.35745.75741.21557.90671.6728.602101.62037.20716.82515.50523.53529.0294.78544.02324.84324.33536.47849.2783.62939.410S24.42336.28349.1463.67538.71856.04675.4045.00259.723103.0186.82174.5231.1376.722102.707168.3360.35745.75841.21657.90671.6728.602101.6260.35737.20716.82515.50523.53529.0294.78

8、4644.02345.75816.82524.84324.33536.47849.2783.62939.4141.21615.50524.33524.42336.28349.1463.674738.71857.90623.53536.47836.28356.04675.4045.002259.72371.67229.02949.27849.14675.404103.026.821574.5238.6024.78463.6293.67475.00226.82151.1376.7217101.6244.02339.4138.71859.72374.5236.7217102.71R0.762660.

9、707580.642810.596170.544260.621780.7728510.553410.514340.515380.468880.735620.7121410.987930.97760.974090.682820.7801910.980710.97980.697350.7730610.992350.626630.7871810.63030.7244910.622021由于S中主对角线元素差异较大，因此我们样本相关矩阵R出发进行主成分分析。样本相关矩阵R为：1矩阵R的特征值及相应的特征向量分别为:特征值特征向量6.13660.321130.295160.389120.384720.3

10、79550.370870.319960.355461.0421-0.4151-0.597660.229740.278690.316320.37151-0.27814-0.156840.43595-0.451230.10303-0.0398950.053874-0.0372920.0751860.77059-0.424780.22037-0.668170.36336-0.22596-0.110810.148740.069353-0.134950.559490.15191-0.0382170.624350.12273-0.0369090.159280.21062-0.43006-0.581050.

11、0088274-0.101670.13584-0.158110.86226-0.25204-0.34506-0.13934-0.0265570.00296240.1596-0.061134-0.539660.0466060.7609-0.278090.06203-0.131260.00122380.19295-0.031987-0.641760.11002-0.253970.68791-0.006045-0.0054031R的特征值及贡献率见下表特征值贡献率()累计贝献率()6.13660.767080.767081.04210.130270.897340.435950.0544940.951

12、840.220370.0275470.979380.151910.0189880.998370.00882740.00110340.999480.00296240.00037030.999850.00122380.000152971前3个标准化样本主成分类及贡献率已达到95.184%,故只需取前三个主成分即可。前3个标准化样本主成分中各标准化变量x*=X二i(i=1,2,8)前的系数即为i反*II对应特征向量,由此得到3个标准化样本主成分为，y=0.32113x*+029516x*+0.38912x*+0.38472x*+0.37955x*+0.37087x*+0.31996x*+0.3554

13、6x*12345678y=-0.4151x*-0.59766x*+0.22974x*+0.27869x*+0.31632x*+0.37151x*-0.27814x*-0.15684x*12345678y=-0.45123x*+0.10303x*-0.039895x*+0.053874x*-0.037292x*+0.075186x*+0.77059x*-0.42478x*12345678注意到，y近似是8个标准化变量x*=Xi_i-(i=1,2,S)的等权重之和，是反映各企1頁ii业总效应大小的综合指标，y的值越大，则企业的效益越好。由于y的贡献率高达1176.708%,故若用y的得分值对各企业

14、进行排序，能从整体上反映企业之间的效应差别。1将S中s的值及x中各元的值以及各iii企业关于X的观测值代入y勺表达式中，可求得各企业y勺得分及其按其得分由大到小的排序结果。企业序号得分12-0.973544-0.648563-0.6274311-0.4855810-0.219497-0.18914-0.00480350.01687980.17711130.1892510.2935120.6531560.8556690.96285所以，第9家企业的效益最好，第12家企业的效益最差。Matlab程序：coeff,score,latent二princomp(X)注：该函数使用协方差阵作主成分分析。主

15、成分分析程序a=;b二corrcoef(zscore(a)%计算相关系数矩阵D二tril(b)%得到三角矩阵d,v二eig(b)%计算特征值和特征向量y1=zscore(a)*d(:,7)%计算第一主成分数值f1,i1=sort(y1);f2,i2=sort(i1);flipud(il),flipud(fl),f2%第一主成分得分排序y2=zscore(a)*d(:,6)%计算第二主成分数值f1,i1=sort(y2);f2,i2=sort(i1);flipud(il),flipud(fl),f2%第二主成分得分排序y3=zscore(a)*d(:,5)%计算第三主成分数值f1,i1=sort(y3);f2,i2=sort(i1);flipud(il),flipud(fl),f2%第三主成分得分排序y4=zscore(a)*d(:,4)%计算第三主成分数值f1,i1=sort(y4);f2,i2=sort(i1);flipud(il),flipud(fl),f2%第si主成分得分排序y5二zscore(a)*d(:,3)%计算第一主成分数值f1,i1=sort(y1);f2,i2=sort(i1);flipud(il),flipud(fl),f2%第一主成