一端固定一端弹簧支承的梁的振动特性

1、振动力学课程设计任务书课程设计的内容及要求：基本要求1、学会查阅资料和使用相关设计手册；2、学习运用Matlab等数学软件；3、熟练掌握梁结构弯曲自由振动的分析过程；4、按照课程设计相关规定编写设计说明书。课设内容设定均匀梁的具体参数(长度；单位体积的质量；抗弯刚度，弹簧刚度)；根据给定的参数运用数学物理方法建立一端固定一端弹簧支承均匀梁的弯曲振动运 动微分方程；然后根据振动运动微分方程，通过边界条件求解梁的固有频率和振型；分析弹簧刚度对梁的固有频率和振型的影响；最后写出本次课程设计的总结。主要参考书、金基铎，王克明，机械振动基础M,沈阳：沈阳航空工业学院，2001年2月;、方同，薛璞，振动理

2、论及应用M，西安：西北工业大学出版社，1998年5月；、蒲俊，Matlab工程数学解题指导M，上海：浦东电子出版社，2001年7月；、罗建军，杨琦，MATLAB教程M，北京：电子工业出版社，2005年7月评语（五）成绩负责教师学生签名振动力学课程设计说明书一端固定一端弹簧支承的均匀梁的弯曲振动特性沈阳航空航天大学2011年1月摘要目前，振动分析已成为工程设计与研究中必不可少的环节。本文采用了理论分析的方 法，对一端固定一端弹簧支承均匀梁的振动特性进行研究，求出它的固有频率和主振型， 并计算受迫响应，在理论和实用上都具有重要意义。在本文中，只讨论梁的弯曲振动，讨 论了一些参数对梁固有频率和主振型

3、的影响。关键词 一端固定一端弹簧支承均匀梁弯曲自由振动主振型固有频率目录 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 第1章引言l HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 第2章固有特性的理论分析2 HYPERLINK l bookmark49 o Current Document 2.1 均匀梁参数设定2 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 2.2均匀梁的弯曲自由振动的微分方程及解2 HYPERLINK l bookmark145 o

4、 Current Document 2.3 赋值求解6 HYPERLINK l bookmark196 o Current Document 2.4振型函数的正交性11 HYPERLINK l bookmark235 o Current Document 2.5 梁对初始干扰的响应 13 HYPERLINK l bookmark253 o Current Document 第3章分析参数对系统的影响1519 HYPERLINK l bookmark259 o Current Document 第4章结论18参考文献第1章引言机械振动是工程中普遍存在的一种机械运动现象，它不仅影响结构的性能，缩短

5、结构 的寿命，甚至会造成重大的事故。随着现代工程朝着高速、重载、精密、超大型（超小型） 方向发展，对机械结构动态性能的要求也越来越高，所提出的振动问题也越来越复杂和多 样化，振动分析已成为工程设计与研究中必不可少的环节。工程中的许多振动问题背景非常复杂，对其进行理论分析是必不可少的，但是随着结 构的自由度的增加，计算量也会迅速增大，而且工程上又不总是需要求出振动系统所有各 阶的固有特性，再加上在有的情况下，我们并不能求得振动系统的固有特性的精确解答， 而只能采用近似的方法去求解。所以在实际工程中采用近似计算的解法是很重要的，其意 义也是很重大的。本文主要对悬臂梁的弯曲自由振动进行了研究。梁是工

6、程中普遍存在的结构。严格地 说，它是由质量和刚度连续分布的弹性体组成，其运动需要用无限多个坐标来描述，因而， 它实际上是个无限多个自由度系统，其运动方程将是偏微分方程。为了使问题简单化，我 们常常将其离散为有限个自由度的系统来计算，但是在某些情况下，工程设计上要求将结 构按弹性体作振动分析，不允许进行离散化处理。所以，按弹性体理论对梁进行分析在工 程设计中也是有很大意义的。第2章固有频率的理论分析2.1均匀梁参数设定设有一端固定，一端以弹簧支承的均匀梁，长度为L，单位体积的质量为 抗弯刚度 为EJ，弹簧刚度为K，如图所示:EJL图2.1均匀梁系统示意图2.2.均匀梁的弯曲自由振动的微分方程及解

7、均匀梁弯曲自由振动的运动微分方程(a)图2. 2对微单元受力分析在梁上距左端为x处取微段dx,其受力情况如图2.2(b)所示。根据达朗伯原理有：Q-Q-|-pAM = OOX初2M +dx8M 7 八 i 6Q . 1 dy dx M HYPERLINK l bookmark58 o Current Document ax-M-Qax-dxdx- pAax=0dx初 2 2(2. 1)略去dx的二次项，简化后得: HYPERLINK l bookmark61 o Current Document ,d2y dQ 八 pA + = 0 初2dx(2.2)将(2. 2)式代入(2.1)式中,得:

8、HYPERLINK l bookmark64 o Current Document Qiy 82MpA - += 0初 23X2(2.3)由材料力学知:M = EJ*办2将上式代入(2.3)式，得: TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark91 o Current Document PA 竺 + EJ 竺=0dt 2dx 4或竺 + a2 竺=0(2.4)dt 2dx 4其中，a 2 = EJ / p A。(2.4)式就是梁做弯曲振动的运动微分方程。下面用分离变量法来求解。设其解为： HYPERLINK l bookmark97 o Current Document

9、 y(x, t) = Y (x)T (t)(2.5)将(2.5)式对t取二次偏导数，对x区四次偏导数，然后代入(2.4)式中，得：d 2T (t)a 2 d 4Y (x)=一 (2.0) T(t)dt 2Y (x) dx 4(2.6)式两边应等于同一个负常数，设其为-3 2，则得： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark107 o Current Document d 2T (t) +3 2T( x) = 0(2.7)dt 2 HYPERLINK l bookmark110 o Current Document 耳乎-三 Y(x) = 0(2.8)由(2.7)式得

10、梁弯曲自由振动的规律为： HYPERLINK l bookmark113 o Current Document T(t) = A sin 3t + B cos 3t(2.9)令P 4 =-32a2则(2.8)式可改写为：d4Y(x)-P 4Y(x) = 0(2.10)dx 4按n阶常系数齐次微分方程的解法，设其解为:Y （x） = erx代入（2.10）式中，得特征方程为：r4 -p 4 = 0（2.11）特征方程的四个根为：r = pr = +ip于是（2.10）式的解为：Y （x） = De Px + D2 e-Px + D3 eiPx + D4 e-收（2.12）因为：e 土博=chPx

11、 shPxe i博=cos Px i sin Px所以（2.12）可写成如下的常用形式：Y（x） = C sin Px + C cos Px + C shPx + C chPx（2.13）其中C1、C2、C3、C4是待定常数将（2.9）式和（2.13）式代回（2.5）式，得偏微分方程（2.4）的解为：（2.14）y(x, t) = (C sin Px + C cos Px + C shPx + C chPx)( A sin ot + B cos wt) 其中C1、C2、C3、C4、A、B、o都是待定常数，由边界条件和初始条件决定。一端固定的边界条件.梁的挠度和转角等于零YG)= 0 ，x=0冬

12、=0，dx 2 _x=ldY G)dxx=0EJd 3Y G)dx 3x=l=KY G)x=l将上述边界条件代入（2.13）式及其对x的一、二、三阶导数中得:Y，(x)= C PY(x)= -C PY ”(x)=-C1Psin Pl + shPlP 3 cos Pl + P 3chPl + h sin Pl - hshPlcos Pl + chPlP 3shPl - P 3 sin Pl + h cos Pl - hchPlcos Px - C P sin Px + C chx + C PhPx234sin Px - C P 2 cos Px + C P 2shPx + C P 2chPx23

13、4cos Px + C P 3 sin Px + C P 3chPx + C P 3shPx由Y(0)= 0得：C2 + C4 = 0 艮P C4 =-C2Yr(0)= 0得：C1 + C3 = 0 艮P C3 =-C1y0= 0得:-C P 2 sin P l- C2P 2 cos Pl + C3 P 2shPl + C4P 2chPl = 0 = 即:in P l + shP l)C + (cos Pl + chP l )C = 0。34Ym()= C P 3 cos Pl - C P 3 sin Pl + C P 3chPl + C P 3shPl着(一 C3sin 印 一 C 4 +

14、C3 shP/ + C 4 湖l)令h = K,则有：EJC3(P 3 cos Pl + P 3chPl) + h(sin Pl - shPl) + C4(P 3shPl - P 3 sin Pl) + h(cos Pl - chPl) = 0要使C3、C4具有非零解，必须有:将此行列式展开并整理，得:cos PlchPl +1 =KEJP 3(cos PlshPl - sin PlchPl)(2.15)这就是梁的频率方程2.3赋值求解令 K=4000Nm,E=210Gpa,l=1m,J=64/3 X 10-8 m 4 ，梁 的横截面边长 a=4cm ,P = 7.9 x 10 3 kg /

15、m 3。则频率方程就可以转化为：(2.16)cos lehl +1 = - 56- (cos lshl - sin lehl)图2.3.方程(2.16)的求解示意图再以Pl为横坐标，作-5(cos Plshpl -s? PlehPl) +土和cos Pl曲线，如图所示。两曲线 56P3ehplehpl的各交点的横坐标就是频率方程的特征根。从图可以清楚的看出各特征根的分布规律和粗略值。再用数值法求出满足一定要求的各特征值，前几个P l值： IPJp21p31.89504.88508.1400由P 4=3 2 /a 2，可以求得各固有频率为:EJ=p.命(i=1. 2、3);(2.17)其振型图如

16、下:Y (x) = sinh( P x) - sin( P x) 一 a cosh( P x) 一 cos( P x)0.060 10.150.20.260.30.350.40.450.图2.4.第一阶振型图Y (x)二 sinh( P x) - sin( P x) 一 a cosh( P x) 一 cos( P x)图2.5.第二阶振型图:二二二二二二二二二二一00.10.20.30.40.50.60.70.80.91X图2.6.第三阶振型图Ej、求解固有频率：=p.2 E (i=1、2、3)根据已知条件可得：359 :EJ=一9 =3.59 x 59.53 = 213.7112 pA23.

17、86 EJ=23.86 x 59.53 = 1420.5812pA=626 旦=66.26 x 59.53 = 3944.4612pA画出前三阶振型的程序：x=0.01:pi/100:1;y=-cos(1.895*x)+cosh(1.895*x)+0.7342*(sin(1.895*x)-sinh(1.895*x);*x)-sinh(2.2091*x);plot(x,y)grid on ylim(0 5) x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(4.8850*x)+cosh(4.885*x)+1.02*(sin(4.89*x)-sinh(4.89*x);plot(x,y)grid on

18、ylim(-5 5)x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(8.14*x)+cosh(8.14*x) + (sin(8.14*x)-sinh(8.14*x);plot(x,y)grid onylim(-5 5)x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(8.14*x)+cosh(8.14*x) + (sin(8.14*x)-sinh(8.14*x);plot(x,y)grid onylim(-5 5)2.4振型函数的正交性讨论多自由度系统的振动时，我们曾证明过系统的主振型是正交的。正是这种正交性，使 我们可以利用主振型矩阵进行变换，以使振动微分方程组解耦，将多自由地系统的振动问 题

19、转化为多个单自由度系统问题来处理。对于弹性体来说，振型函数也是具有正交性。杆 的纵向振动和轴的扭转振动，因其振型函数都是三角函数，故它们的正交性是不言而喻的。 而梁的弯曲振动，因在某些边界条件下振型函数中还包括双曲函数，故其正交性还必须进 行证明。将与不同频率1和2对应的振型函数分别记为Y.(x)和Yj(x)，根据(2.8)式有：Y(4)(x)=写 Y (x)ia 2 i(2.18)(2.19)用Yj（x）dx乘（2.18）式，用Yi（x）dx乘（2.19）式，然后都沿梁的长度】积分，得:Y (x)Y (x)dxY(4)Y (x)dx = 1i ja 2 0jl0Y(4)Y (x)dx = 2

20、 j ji气Jl a2 0Y (x)Y (x)dx将上述方程的左边分部积分两次后，得:Y(x)Y (x)i - Y(x)Y(x)i + j 1Y(x)Y (x)dx =i j 0 i j 00 i j勺a2 01 Y (x)Y (x)dx(2.20)Y (x)Y (x)dx（2.21）Y(3) (x)Y (x)1 - Y(x)Y(x)i + j 1Y (x)Y (x)dx = 1 j1j i 0 j i 00 j ia 2 0根据前面已讨论的边界条件，可知（2.20），（2.21）两式中等号左边的第二项为零，而第 一项可用边界条件中的剪力替代化简。因此，两式相减，得：22（-）/ Y （x）Y

21、 （x）dx = 0（2.22）a 2 a 2 0 i j当i。j时，.u，由（2.22）式知，必有：j1 Y （x）Y （x）dx = 0（2.23）把（2.23）式代入（2.20）式或（2.21）式，可得：j1 Y （x ）Y（ x ）dx = 0（2.24）当，（2.23）式和（2.24）式的积分在一般情况下是一个正数，令：(2.25)j1 Y(x)2 dx - K0 11(2.26)式中Mi称为第i阶振型的广义质量；K.称为第i阶振型的广义刚度。将（2.25）式和（2.26）式代入（2.20）式，得:a 2 jl Y(x)2 dxkll Y 2( x )dxM i0 1方程（2.23）

22、和（2.24）就是等截面梁振型函数正交性的表达式2.5梁对初始干扰的响应前面我们已经讨论了梁的固有频率和振型函数，得到了解为:y(x, t)=芝 Y (x)(A sin t + B cos t)ii i iii=1(2.27)（2.27）式中A.、8的是由初始条件决定的常数，设t = 0时，梁的位移和速度分别为:y (x,0) = f (x)(2.28)学=g (x)dtt=0(2.29)将（2.28）式和（2.29）式代入（2.27）式，得:f (x) = BY (x)i ii=1g (x) = A w Y (x)i=1(2.30)用Y （x）d（x）乘（2.30）式的两边，并从0到l积分，

23、得: iilf 5. (x)dx =B j1 Y 2 (x)dx 011 0 ll g (x)Y (x)dx -A w j Y 2(x)dx0 ll 1 01由此两式得:jl g (x)Y (x)dxA - -0rl1 w JlY2(x)dxl 0 1jl f (x )Y. (x) dx1lY 2( x) dx0 l将A.、B/弋入(2.27)式中，便得系统对初始干扰的响应。根据前式，我们可以得到梁的振型：y(x, t) - (ch1.895r - cos1.895c+0.7342(sin1.8如sh1.895c)(0.0749cos213.7f) +(ch4.855r - cos4.855r

24、+1.02(sin4.855r-sh4.855r)(0.0712cos1423.49+(ch7.85位-cos7.855v+(sin7.855r-sh7.855r)(0.0106cos394443第3章分析参数对系统的影响以第一阶固有频率为例，编写程序考虑弹簧刚度对均匀梁固有频率的影响: i=i；E=210*109;J=64/3*10”(-8);a=0.04;p=7.9*103;n=1;A=a*a;for k=1:1000:1000000for x=0.01:0.001:piy=(k*l3/E/J./x.”3.*(cos(x).*sinh(x)-sin(x).*cosh(x)T)./cosh(x);if cos(x)yw(n)=x2/l2*sqrt(E*J/p/A);n=n+1;breakendendendk=1:1000:1000000