灵敏度分析-奶制品生产问题

1、灵敏度分析一一奶制品生产问灵敏度分析一一奶制品生产问题【例题】一奶制品加工厂用牛奶生产Al, A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车 间用12小时加工成3公斤Ai,或者在乙车间用8小时加工成4公斤Aio根据 市场需求，生产的Ai, A2全部能售出，且每公斤Ai获利24元，每公斤A2获利 16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间 480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤Ai,乙车间的加工能力可以认 为没有限制（即加工的能力足够大）。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利 最大。并进一步讨论以下三个问题。.若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购

2、买多 少桶牛奶？.若可以鞫用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时 几元？.由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？2.线性规划模型这个问题的目标是使每天的获利最大，要做的决策时生产计划，即每天用 多少桶牛奶生产Ai,用多少桶牛奶生产A2。决策受到三个条件限制：原料（牛 奶）供应、劳动时间、甲车间的加工能力。故求解该问题的线性规划模型建立 如下。决策变量：设每天用xi桶牛奶生产Ai,用*2桶牛奶生产A2。目标函数：设每天获利为z （元），xi桶牛奶生产3xi公斤Ai,获利24x3xi, X2桶牛奶生产4X2公斤A2,获利16x4x2,故z = 72n

3、+ 64x2.约束条件：原料供应:生产A1,A2的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即xi + X2W50 （桶）；劳动时间：生产Ai,A2的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间， 即12x1 + 8x2*80 （h）；设备能力：A1的产量不得超过甲车间设备每天的加工能力，即3xE100；非负约束：XI, X2均不能为负值，即XI,工2川.综上可得max z = 72xi + 64x2：s.t. XI + X25012xi + 8x24480 3xi0.Lingo程序：max=72*xl+64*x2;xl+x2=50;12*xl+8*x2=480;3*xl=100;3.结果分析用Lin

4、go计算结果如下：Global optimal solution found at iteration:2Objective value:3360.000Ranges in which the basisVariableValueReduced CostXI20.()00000.000000X230.000000.000000Row Slack or SurplusDual Price13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.000000is unchanged: Objective Coefficient Ra

5、nges CurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseXI72.0000024.000008.000000X264.000008.000000Righthand Side Ranges16.00000RowCurrentAllowableRHSIncreaseAllowableDecrease250.000()010.000006.6666673480.000053.3333380.000004100.0000INFINITY40.00000从以上运行结果来看，这个线性规划的最优解为xi=20, X2=30,最优值为

6、z=3360,即用20桶牛奶生产Ai, 30桶牛奶生产A2,可获最大利润3360元。目标函数可以看作“效益”，成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益”必然跟 着增长。以上计算结果中DUAL PRICES给出这3种资源在最优解下“资源”增 加1个单位时“效益”的增量：原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长48（元）, 劳动时间增加1个单位（1小时）时利润增长2 （元），而增加非紧约束车间甲 的能力显然不会使利润增长。这里，“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值, 经济学上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子价 格为2元，车间甲的影子价格为零。用影子价格的概念很容易知道，用

7、35元可 以买到1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子价格48,当然应该作这项投资。同理，聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价 格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。Lingo计算结果给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围：Xi 的系数为（72-8, 72+24） = （64, 96）； X2 的系数为（64-16, 64+8） = （48, 72）。 注意：xi系数的允许范围需要X2系数64不变，反之亦然。由于目标函数的费用 系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但 最优值变化。用这个结果很容易知道，若每公斤A1的获利增加到30元，则x

8、l 系数变为30 x3=90,在允许范围内，所以不应改变生产计划，但最优值变为 90 x20+64x30=3720o下面对“资源”的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量）是 有限制的。每增加1桶牛奶利润增长48元（影子价格），但是，从上面的计算 结果可以看出，约束的右端项（CURRENT RHS）的“允许增力口”（ALLOWABLE INCREASE）和“允许减少” （ALLOWABLE DECREASE）给出了影子价 格有意义条件下约束右端的限制范围（因为此时最优基不变，所以影子价格才 有意义；如果最优基已经变了，那么结果中给出的影子价格也

9、就不正确了）。具体来说：milk原料最多增加10 （桶牛奶），time劳动时间最多增加53 （小时）。现在可以回答问题（1）的第2问：虽然应该批准用35元买1桶牛奶的投 资，但每天最多购买10桶牛奶。顺便地说，可以用低于每小时2元/h的工资聘 用临时工人以增加劳动时间，但最多增加53.3333小时。需要注意的是：灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不 一定是必要条件。比如对于上面的问题，“原料最多增加10 （桶牛奶）”的含义 只能是“原料增加10 （桶牛奶）”时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即 利润的增加大于牛奶的投资。反过来，原料增加超过10 （桶牛奶），最优基是否 一定改

10、变？影子价格是否一定没有意义？ 一般来说，这是不能从灵敏性分析报 告中直接得到的。此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做出判断。所 以严格来说，我们上面回答“原料最多增加10 （桶牛奶）”并不是完全科学的。【习题】已知某工厂计划生产L II, III三种产品， 各产品需要在A, B, C设备上加工，有关数据 见表4.24 o表424产品IIIIII设备有效台映月）A8210300B1058400C21310420单位产品利淌千寿322.9请回答:（1）如何发挥设备能力,使生产盈利最大?（2）若为了增加产量，可借用其他工厂的 设备B,每月可借用60台时，租金为L8万元, 是否划算？（3）若另有两种新产品IV, V,其中IV 需用A设备12台时，B设备5台时，C设备10 台时，单位产