三角形中的最值问题教学设计

1、第42课三角形中的最值问题考占提要.掌握三角形的概念与基本性质.能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题.基础自测.(1) ABC 中，cosA 73 J3sinA,则 A 的值为 30 或 90 TOC o 1-5 h z BC3(2) 4ABC中，当A= 一 时，cosA 2cos取得最大值一 .3 -2_2一，1.在 ABC中，sin A:sin B : sinC m:(m 1): 2m,则 m 的取值范围是 _m -一 2 一解 由 sin A: sin B :sin C a : b : c m:(m 1): 2m ,1令 a mk,b (m 1)k,c 2mk，由

2、 a b c,a c b ,得 m -. 2.锐角三角形 ABC中，若A=2B,则B的取值范围是300V Bv 45o .设R, r分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则工的最大值为 J2 1 .R2.在 ABC中，内角A, B, C所对边的边长分别是 a,b,c,若b 3ac,则B的取值范围是 0VBW12。.在4ABC中，若 AB,则下列不等式中，正确的为. sinAsinB； cosAsin2B ； cos2Ab ab 2Rsin A2RsinBsin Asin B ,故正确；cosAcosBsin( A)B,故正确(或由余弦函数22在(0,)上的单调性知 正确)；2 _._ .

3、2_由 cos2Acos2B1 2sin Asin BAB,故正确.知识梳理.直角 ABC中，内角A, B, C所对边的边长分别是 a,b,c, C=90,若内切圆的半径.在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用.它们在处 理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用.例题解析已知直角三角形的周长为 1,求其面积的最大值.3,解析方法一设直角三角形的三边K为口、仇CfC 为斜边，则 口 = u sinA * & = c，cosA , 义仃 + c = 1 .J* MminA+qm,4+1)=.三角形面积S =Jf=t sin

4、ArosAsinAc口辿2（in/V卜号4 卜 1）”令 Z = si n,A -i- cos.4-JJsin（A十予）-11T丁 AE(0.与).故a+9e(4豹，61,4、44 z40+1 产 4（f+l）4故当7?时面积，4。一/ 方法二设直角三角形的三边长为门，儿一/为斜边.则n + S+c=l,即力+人+ J正+心=】.: 1 =ab 滔午/舟+.解之得岫匕辔,-MIQ 一，八西故三角形面积5=会收勺足 当且仅当时等号成立.点评例2 已知4ABC中，a 1,b 2 .(1)求最小内角的最大值；(2)若4ABC是锐角三角形，求第三边c的取值范围.1 2 c,解（1）由三角形三边关系得第

5、三边c满足2 c 1,解得1 c 3,故最小内角为A.1 c 2,又 cosA.222b c ac2 32bc4c1313 、3(c -)- 2jc (当且仅当4c4, c2c 73时等号成立），所以AW30。，即最小内角的最大值为30.（2）因为4ABC是锐角三角形，即 A, B, C三个角均为锐角，又因为 avb,所以Av B,故只需说明B, C为锐角即可.01c2 40 cosB 1,2c由B, C为锐角得,即2c0 cosC 1,1 4 c20 4_解得邪c索.1,点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件.另外要注意变形的等价性，如“内角 A为锐角 0 /

6、1 cos2 B ,根据余弦定理得cosBAB2 BC2 AC22AB BC224 x 2x4x4 x24x代入上式得Sabc = x/1 (土2-)24x128 (x2 12)216由三角形三边关系有、2x x 2,x 2.2x,解得2 -2 2故当x2 12, x 2近 时S ABC取最大值J 272 .点评例4如图，已知/A=30,巳Q分别在/ A的两边上，PQ=2.当P, Q处于什么位置时, APQ的面积最大并求出 APQ的最大面积.(1) ABC的面积S的最大值；(2)uur uuu uuu解 设|85,2人|,丛8|依次为a, b, c,a c 6 b由 b Vac得 0 b 22

7、22.2又由余弦定理得 cos B a一c2aca=c时，等号成立)，故有0 B -3-11 . 21S acsin B b sin B (当且仅当2ac2ac 222叱b即，a (当且仅当b2(a c)2 2ac b22uuu uuurQ0 b 2, 2 1, TOC o 1-5 h z 一 一一3,. 3 HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 由得a 1 ,得 1 a 3,得aw 1或a,故2 wa 3. 22.已知四边形 ABCD的对角线 AC与BD相交于点O,若 &aob=9, 0cod=16,则四边形面积的最小值是49】解析假设OA =

8、o,OH= b ,OC=c QD= d 由5白心* =9得0后11=9且上4OH西 l 18故 b：-asina由 = 16 得4）日腐=16,有 d =,csihlq而S相汨1 + S&jc =万（。寸+8匕）* si tin=告（等+.）24,（当且仅当警二华时，取等号）故四边形的面积的最小值是9+16 + 24 = 49.9. （2006全国）用长度分别为 2、3、4、5、6 （单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断）能够得到的三角形的最大面积为6-J10 cm2.解由题意可围成以下几种三角形.图（1）中,cos1 一，sin44届；图（2）中,AD2 10,si

9、n2.107，图（3）中,cos1 . ,sin 210石.比较上述几种情况可知,能够得到三角形的最大面积为6.10 cm2.点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大.这是等周问题中的一个基本结论.可见，面积最大的三角形应该这样构成:2+5, 3+4, 6.，2 C 2 A 3.10.在 ABC中，已知 acos - ccos 一 一b.222（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）求角B的取值范围.U)由已知条件可得3 .,江 (1 + cosC) r ( 1 - CO 5A):.aci (iicosC+ t cosA)=4i+ r X丁7+ cX-= 3o=Zab/机q + r=28故

10、摩、成等差数列.工 工 f(1 +匚 江 +c -(2)* 8与3 =-Zac3(a1 + c2 2ac6口c 2由cSac当且仅当w=e时等号成立.且了 = cosi在（0*#）内是减函数11.如图，正方形 ABCD的边长为a, E、 求4AEF面积的最小值.解设4AEF的面积为S, / BAE二F分别是边 BC CD上的动点，/EAF=30,(15ow 45o)则由/ EAF=30得/ DAF=60o正方形 ABCD的边长为a,在 RtA BAE 中,AEABD在 RtA DAF 中,AFcoscosADcos(60o)cos(60o)sinEAF-1S AE AF22 coscos(60

11、o一 sin30o)2a4cos cos(60o )14cos (-cos吏 sin )22cos223sin cos2acos2 . 3sin22a.32(-cos2 sin2 ) 122acos2 一 3sin2 12a132(-cos2 一sin2222a 2sin(230o)2sin(2 30o 30o) 112. (2008四川延考)在 AABC中,内角 A, B, C对边的边长分别是 a,b,c,已知2b2.(1)求内角A与C的大小;(2) 解2,求ABC面积的最大值.(1)由题设及正弦定理，有 sin2 A sin2C故sin2 C cos2 A .因A为钝角，所以2sin2 s

12、inCB 1 .cosA.由 cosA cos(C),可得 sin Csin(4C)C=8a=5-8(2)由余弦定理及条件b22、c ),有 cos B4ac由于AABC面积一acsin B ,又 ac w 一(a 22c2) 4,sinB 在2C时，两个不等式中等号同时成立，所以 ABC面积的最大值为备用题I.直角 ABC的斜边AB=2,内切圆的半径为r,则r的最大值为 _ J2 1_.3.在 4ABC中，已知 sin2A + sin2B = 5sin2C,求证：sinC 0, C为锐角，而5c2= a2+b22ab , 故 4c2=2abcosCw 5c2cosC.cosC5 ,sinCw .55点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过 程中.3,已知 4ABC的内角满足 sin B sin C sin A(cosB cosC).(1)求A;(2)若