三角形及其性质基础资料

1、三角形及其性质( 基础 ) 知识讲解【学习目标】理解三角形及与三角形有关的概念，掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法理解三角形内角和定理的证明方法；学握并矣把三角形按边和角分类学握并矣应用三角形三边之间的关系 .理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学矣它们的画法 .【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 .要点诠释：三角形的基本元素：三角形的边：即组成三角形的线段；三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；三角形的顶点：即相邻两边的公共端点 .三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾

2、顺次相接”三角形的表示：三角形用符号表示，顶点为 A、 B、 C 的三角形记作“ABC” ,读作“三角形ABC,注意单独的没有意义；AABC的三边可以用大写字母 AB、BC、AC来表示，也可以用 小写字母 a、 b、 c 来表示，边BC 用 a 表示，边 AC 、 AB 分别用 b、 c 表示 .要点二、三角形的内角和三角形内角和定理： 三角形的内角和为180 ?要点诠释： 应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：在三角形中巳知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；巳知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；求一个三角形中各角之间的关系 .要点三、三角形的分类1 . 按角分类：直角三角

3、形斜三角形钝角三角形三角形勺 锐角三角形要点删 :三个内角都是锐角的三角形 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形有一个内角为钝角的三角形 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形2? 按边分类: 不等边三角形: 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形边三角形要点诠释：不等边三角形：三边都不相等的三角形； 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角； 等边三角形：三边都相等的三角形.要点四、三用形的三边关系定理：三角形任意两边之和大干第三边？推论：三角形任意两边之差小干第三边. 要点诠释：(1)理论依据：两点之间线段最

4、短.(2)三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大干最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当巳知三角形两边长，可求第三边长的取值X围.(3)证明线段之间的不等关系.要点五、三角形的三条W要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段,列表如下线段名 称三角形的商三角形的中线三角形的角平分线文字语 言从三角形的一个顶点向它的对 边所在的直线作垂线，顶点和 垂足之间的线段.三角形中，连接一个顶点 和它对边中

5、点的线段.三角形一个内角的平分线 与 它的对边相交，这个角 的顶点 与交点之间的线段.图形语 言作图语 言过点A作AD BCT点D.取BC边的中点D,连接AD.作ZBAC的平分线AD,交BC干点D.林小图 形符号语 言1?八。是A ABC的商.2? AD 是A ABC 中 BC 边 上的高.3? AD BC 于点 D.4. ZADC = 90, ZADB =90 .(或 Z ADC = Z ADB = 90 )1? AD是AABC的中线.2? AD 是 ZXABC 中BC边上的中线.3? BD=DC=1BC24.点D是BC边的中点.1.AD是AABC的角平分线.2? AD 平分 ZBAC,交

6、BC 于点D.3? Z 1 = /2= - ZBAC ?2推理语 言因为AD是AABC的高，所以 AD，BC.(或 Z ADB = Z ADC = 90 )因为AD是AABC的中 线，所以BD = DC = BC?因为AD平分ZBAC,所以Zl = /2=lzBAC ?2用途举 例1.线段垂直.2?角度相等.21.线段相等.2?面积相等.角度相等.让息事 项.与边的垂线不同.不一定在三角形内.与角的平分线不同.重要特 征三角形的三条商（或它们的 延 长线）交什点.一个三角形有三条中 线， 它们交干二角形内一点？一个三角形有三条角平分线， 它们交干二角形内一点？类型一、三角形的内角和1.证明：三

7、角形的内角和为180【答案与解析】解：巳知：如图，巳知 ABC,求证：ZA+ZB+ZC=180证法1 ：如图1所示，延长BC到E,作CD/AB.因为AB/CD （巳作），所以Z 1 = /A （两直线平行，内错角相等），ZB=/2（两直线平行，同位角相等）.又 ZACB+/1 + Z2=180 （平角定义），所以ZACB+ZA+ZB=180（等量代换）.证法2:如图2所示，在BC边上任取一点D,作DE/AB, 交AC于E, DF/AC, 交AB于点F.因为DFII AC （巳作），所以Z1 = ZC （两直线平行，同位角相等），Z 2=Z DEC（两直线平行，内错角相等）.因为DE II AB

8、 （巳作）.所以Z3=/B, ZDEC=/A（两直线平行，同位角相等）.所以ZA=Z2 （等量代换）.又Zl + Z2+Z3=180 （平角定义），所以ZA+ZB+ZC=180（等量代换）.2?在 ABC 中，巳知 ZA+ZB = 80 , ZC = 2/B, 试求/A, ZB 和/C 的度数.【思路点拨】题中给出两个条件：ZA+ZB = 80 , ZC = 2/B,再根据三角形的内角和 等于180 即ZA+ZB+ZC=180 就可以求出/A, ZB 和/C的度数.【答案与解析】解：由 ZA+ZB = 80 及 ZA+ZB+ZC=180,知 ZC=100.又 TZC = 2ZB,.-.ZB =

9、 50./.ZA=80 -ZB = 80-50 =30 .【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件-x, ZC = 2x 建立方程求解.ZA+ZB+ZC=180 ? 本题可以设 ZB=x,则 ZA = 80 【变式】巳知，如图，在 AABC中，ZC=/ABC=2ZA, BD是AC边上的高，求/DBC 的度数.【答案】解：巳知 AABC 中，ZC=ZABC=2/A 设上 A=x 贝巾上 C=ZABC=2xx+2x+2x=l80 解得：x=36 /.ZC=2x=72 在 ZBDC 中，BD 是 AC 边上的高，AZBDC=90, , /.ZDBC=180-90 -72 =18 类翌二、三角形的分类

10、3?一个三角形的三个内角分别是75 . 30、 75 ,这个三角形是（）A锐角三角形B等腰三角形C等腰锐角三角形【答案】C【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍,这个三角形是（）三角形A锐角B直角C钝角D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180以及巳知条件，可以得到其中较大内角的度数为120 ,所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的三边关系4. （XXXX）三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是 （） TOC o 1-5 h z 2cm ？ 2cm2cm 2cm5cnv?-?4cm2cm i 3cm? 3cm?5cm C2cm?4cm ?” D【思路点拨】

11、三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边， 任意两边之差 小于第三边. 注意这里有“两边”指的是任意的两边， 对于“两边之差”它可能是正数， 也可能是负数，一般取“差” 的绝对值.【答案J D【解析】要构成一个三角形.必须满足任意两边之和大干第三边.在运用时习惯于检查较短 的两边之和 是否大干第三边.A、B、C三个选项中，较短两边之和小干或等干第三边.故 不能组成三角形.D选项 中，2cm+3cm4cm. 故能够组成三角形.【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：判断出较长的一边； 看较短的 两边之和是否大干较长的一边，大干则能够成三角形，不大干则不能够成三角形

12、 举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.（1） 3, 4, 5;（2） 3, 5, 9 ;（3） 5, 5, 8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.5?若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值X围是.【答案】5c9【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值X围是I 2-7 | c2+7, 即5cS2 B. S VS2 C. S! = S 2D.以上三种情况都有可能. 若AABC的ZA = 60 ,且ZB:/C = 2:1, 那么ZB的度数为()A. 40 B. 80 C. 60 D. 120 二、填空题.三角形的三边关系是，由这个定理我们可以得到三角形的两

13、边之差 第三边，所以，三角形的一边小于 并且大于 ?.如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm,第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为 cm.巳知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm,则这个三角形的周长为?.如图，人。是A ABC的角平分线，则Z=Z=-Z;BE是AABC2的中线，则=7 ; CF是A ABC的高，则Z =22=90 , CF AB,.如图，AD、AE分别是AABC的商和中线，E知AD = 5cm, CE = 6cmt则AABE 和AABC的面积分别为.15?在 AABC 中，若 ZA: ZB : ZC=1:2:3,则/A=, /B =, /C =，此三角形为 三角形； 若ZA大干ZB+/C,则此三角形为 三角形.三、解答题16.判断下列所给的三条线段是否能围成三角形？5cm, 5cm, a cm(0a 10);a+l, a+2, a+3; (3) 三条线段之比为 2:3:5.17. 如图，在 AABC 中，ZBAD=/CAD, AE=CE, AG BC, AD 与 BE 相交干点 F,试指出