离散型随机变量分布列期望及方差

1、百度文库-让每个人平等地提升自我离散型随机变量分布列、期望及方差高三数学徐建勋 2010-1-30教学目标：1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性 2、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题教学重点：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差教学难点：离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质教学过程：/ /【知识梳理】1、随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且 X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量 X

2、叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、丫、 表示。如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.2、离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X可能取得的值为 工卜七，L, X取得每一个值的概率为田支,则称表XXi 甘工hPi 为离散型随机变量 X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列.离散型随机变量 X的分布列的性质：（1）月之0/ = 12红 巧+为+8+L =1一般的，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之 和。3、二点分布如果随机变量x的分布列为，其中口=,则称离散型随机变量X服从参数为百的二点分布.XL0lhpPq4、超几何分布一

3、般的，设有总数为 N件的两类物品，其中一类有 n件，从所有物品中任取 M件（M WN）,这M件中所含这类物品的件数 X是一个离散型随机变量，它取值为/ m时的概率为我们称离散型随机变量 X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N,M, n的超几何分布./5、条件概率/一般地，设A, B为两个事件，且F（上）0 ,在事件a发生的条件下，事件 B发生的 条件概率记为1百度文库-让每个人平等地提升自我6、独立重复试验户 户一般地，在相同条件下，重复地做n次试验称为n次独立重复试验.在n次独立重复试验中，事件 A恰好发生k次的概率为 P仅-小琮巴1-p尸, k = 0, 1, 2,，n,其

4、中p是一次试验中该事件发生的概率。7、二项分布若将事件A发生的次数设为 X ,事件A不发生的概率设为 1-P ,那么在n次独 立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是汽X二幻二(其中k = 0,1,2, n),于是得到/X的分布列:X01页 nPC 口 则称这样的离散型随机变量X服从参数为n, p的二项分布，记为 乂双也的。8、期望设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 工I,这些值对应的概率是尸卜尸N .外，则*二工】外+巧巧+L +工缶叫做这个离散型随机变量 X的均值或数学期望(简称 期望).当离散型随机变量时,E(X) = ；左二迎当离散型随机变量 X服从参数为N, M, n的超几何分布

5、时，则N 。9、方差设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 MJ小,这些值对应的概率是外，科工品，则 * 17=值-颜幻用z叫做这个离散型随机变量 X的方差。(3)方差的性质：若X服从二点分布，则D91); TOC o 1-5 h z 当离散型随机变量 X服从参数为N, M, n的超几何分布时，则N 。若X服从二项分布则乂一以乩切，口8 =辑敢S = 1-券。/【典型例题】例1. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6,现从中随机取出3个 球，以X表示取出球的最大号码，求 X的分布列./分析：随机取出3个球的最大号码 X的所有可能取值为 3, 4, 5, 6,

6、“X = 3”对应事 件“取出的3个球的编号为1, 2, , 3 ； “X = 4”对应事件“取出的 3个球中恰取到4 号球和1 , 2, 3号球中的2个”；“ X = 5”对应事件“取出的 3个球中恰取到5号球和1, 2, 3, 4号球中的2个”；“ X = 6”对应事件“取出的 3个球中恰取到6号球及1, 2, 3, 4, 5号球中的2个”.而要求其概率则要利用等可能事件的概率公式和排列组合知识来求解，从而获得X的分布列.百度文库-让每个人平等地提升自我解析：随机变量X的可能取值为3, 4, 5, 6。从袋中随机地取 3个球，包含的基本事件总数为 章，事件“X=3 ”包含的基本事件总数为

7、名， 事件“ X= 4”包含的基本事件总数为 4.事件“ x=5 ”包含的基本事件总数为 叩；;P仅工 从而有力弱，事件“ X=6”包含的基本事件总数为“富;里px)零 或叫I10 ?d以2,，随机变量X的分布列为X3456PL 303203L02点评：确定离散型随机变量 X的分布列的关键是要搞清 X取每一个值对应的随机事件.进一步利用排列组合知识求出X取每个值的概率.例2. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗1遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是3。(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，

8、求 Y的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.1解析：(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为3 ,且每次试验结果是相互独立的，-5(6,-)故3 ,以此为基础求X的分布列.由 3 ,所以X的分布列为己， k=0, 1, 2, 3, 4, 5,(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量,/其取值为0, 1, 2, 3, 4, 5。其中： = ) *=1234表示前k个路口没有遇上乡T灯，但在第k+1个路口 遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.而丫0表示一路没有遇上红灯，/P(Y=6)=-故其概率为1-,百度文库-让每个人平等地提升自

9、我因此Y的分布列为:Y0123456P 31 3 |2L自丫1住丫 30(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为区之1)=6=1或又=减.一或又=叽所以其概率为 TOC o 1-5 h z 4臼、&WV/729。点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布，像本例中随机变量X表示遇到红灯次数，而每次遇到红灯是相互独立的，因此这是一个独立重复事件，符合二项分布，即。分布列能完整地刻画随机变量X等相应概率的变化情况，在分布列中第一行表示X的所有可取值，第二行对应的各个值(概率值)必须都是非负实数且满足其和为1。例3英语考试有

10、100道选择题，每题 4个选项，选对得1分，否则得0分，学生甲会其中 的20道，学生乙会其中的 80道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的期望.分析：甲、乙分别会20道和80道，故甲、乙分别从剩下的 80道和20道中随机选择， 因为有4个选项，只有一个答案正确并且每一个选项被选出的概率相等，故甲、乙剩下不会题的猜对个数(猜对分数)是随机变量，分别设为X, Y,可知 尤,F耳侬。2解析：设甲、乙不会题得分分别为随机变量X和Y.由题意知， ),故项=8伽Q.25 = 2(U=2似。,25 = 5 这样甲、乙期望成绩分别为 40分和85分.%例4.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，

11、且野生动物的种类和数量也大致相等，这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为甲K0121 3P0 3asa 20,乙士XD1P6155仇4试评定这两个保护区的管理水平.分析：要比较两个保护区的管理水平，可先比较甲、乙两个保护区的平均管理水平，然 后再看它们管理水平的稳定性.解析：甲保护区的违规次数 Xi的数学期望和方差为：百度文库-让每个人平等地提升自我D（X1）-（Q-lJ）ax0.34（l-13）3x0 3 + 2-1.3）ax0 2+（3-L3）aK0.2-1.21 o乙保护区的违规次数区口的数学期望和方差为：E区”口口十1他5十2犬口,41.3 ,D（X（0- 1.3） kO.U 1-1,3）2 xO 5 +（2-1 S）3 乂 0.4= 0.41 o/因为成苞）二/苍,0（X）5匹）,所以两个保护区内每季度发生的违规平均次