6.4.3 正余弦定理的实际运用（精讲）（解析版）

1、正余弦定理的实际运用(精讲)思维导图解三角形 与三角函 数综合问 题平面图 形应用后仆 Lf正询万届留底 威福i美五 商而初五： -：角关系合理地将向堰转化为三角的数的问题：,0、用定理、公L二后而正彝定理、不反运理、二番角公工、辅防： 式、性质用公式等进行三角形中边角关系的互化一- 厂利雨三%窗面X 5而:云灯舷内福丽 得结论 ：知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论：I.三角脸数的趋本性质等；(1)把所提供的平面图形拆分成假设干个三角形，然后在各个三角形 内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果视线仰角 俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水

2、平线 上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角正余弦定理的应用方位角从指北方向顺时针转到目标方向 线的水平角，如B点的方位角为a实际应用方向角相对于某一正方向的水平角北偏东Q,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向理解18意，分清与未知，画出示意图媪石用* n 金G加$芯。藐 wi ：中在有关的三角形中，建片 个解三角形的数学模型利用正弦定理和余弦定时行序地解三角形，求得数学：模型的解,%口冰正装 让而应也至口彳金赤金天反而乱而一;实际向1K的解AB AD sin ZADB sin B3匹那么正凝铲二得=3故答案为：逑； sin B V322. （20

3、20 成都市第十八中学校高一期中）在A48C中，点。在边A3上，NACO = , AD = 4DB =，6（1）假设C = 4,求ACjrtt（2）假设8 =生,求sin（2A +上）的值36【答案】（1） 8： （2）O【解析】（1）在ZMCO中，由余弦定理得，（46）2=AC2+422x4-AC-cos,即AC2-4AC-32 = 0,解得，AC = 8（负值舍去）.V 5 = -, ZACD = - , ：. ZBCD = -A, 333DC _ 4x/3在AOC中，由正弦定理得sin 4=.兀， Z）C = 8sinA,S1D 一3DC 6 一二 3在8CO中，由正弦定理得.兀一.（兀

4、八，9 . fn 八,sin- sin -A2sin -?13 U ）13 J即立sin Acos/!-sin2 A =, 2216Asin 2A +-cos 2 A1 _ 3 4 16sin2A + -cos2A = -228/. sin 2A + I 63. (2020 株洲市九方中学高一月考)如图，在圆内接A48C中，内角儿8,。所对的边分别为a, b, c, 满足 rz cos C+ccos A = 2b cos B.(1)求 B；(2)假设点是劣弧上一点，A片2,叱3,力介1,求四边形力腼的面积【答案】(1) B = g (2) 2G. J【解析】(1)由正弦定理得 sin Acos

5、C+sinCcosA = 2sinBcos8,得 sin 8 = 2sin Bcos B因为0/3 3那么 AE= AB= , CF=BC=-,2222，四边形4完的面积5=第侬+5片!-8= X3X （巫 + 3&-3）= 26-9 .22224考法四正余弦定理在实际生活中的运用【例4】（1） （2020 江苏高一课时练习）如图，设A、5两点在水库的两岸，测量者在A的同侧的库边选定一点C ,测出AC的距离为100m, ZACB = 75， ZCAB = 60。，就可以计算出C、B两点的距离为（）505/6 m5073 mI). 50(V3 + l)m（2） （2020 安徽亳州市涡阳四中高一

6、月考（理）如图，无人机在离地面高200nl的A处，观测到山顶用处的仰角为15、山脚。处的俯角为45 ,NMCN = 60,那么山的高度MN为（）A. 150 x/3/wB. 200百，C. 300Gm D. 300m【答案】A (2) D【解析】(1) ABC中，ZACB = 75, ZC4B = 60, ZB = 180-(ZACB+ZC4B)= 45.乂ABC中，AC = 100m,由正弦定理可得:由正弦定理可得:AC CB sin B sin NCAB那么CB =ACsinZCABsin 8100 x3=l 2 = 505/6 m.应选:A.(2) ADHBC、：, ZACB = ZDA

7、C = 45，, AC = 6AB = 2()() X ZMCA = 180 - 60 - 45 = 75, NM4C = 150 + 450 = 60。，A Z4MC = 45%在AMC中,MC ACsin/MAC - sin/AMC“ 二 221 = 200鬲, MN = MCsinNMCN = 200sin60 = 300,n.应选：I）.【一隅三反】（2020 江苏高一课时练习）某快递公司在我市的三个门店月，B,。分别位于一个三角形的三个顶点处， 其中门店4, 6与门店C都相距akm,而门店力位于门店C的北偏东50方向上，门店5位于门店C的北偏 西70方向上，那么门店4 4间的距离为（

8、）A. akmB. &4kmC. JiakmD. 2akm【答案】C【解析】由题意知力仁而三心如ZACB=50 +70 =120 , 由余弦定理得，AB2 = AC2 + BC2 - 2AC - BCcos ZACB=a2 + a2 2a2 x （） = 3a2,所以 A8 = JJa，即门店4 8间的距离为技km.应选：C.（2020 北京二十中高一期末）2020年5月1日起，新版北京市生活垃圾管理条例实施，根据该条 例：小区内需设置可回收物圾桶和有害垃圾桶.李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北 方向走了 80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60方向走了 30米，到达可回收物垃圾

9、桶，那么他回到自 家楼下至少还需走（ ）A. 50 米B. 57 米C. 64 米D. 70 米【答案】D【解析】由题意，设李华家为A，有害垃圾点为4,可I可收垃圾点为C,那么李华的行走路线，如下图， 在3c中，因为 A3 = 80,8C = 30,3 = 60 ,由余弦定理可得:AC = yjAB2 + BC2-2AB BCcos60 = 802 + 302 - 2 x 80 x 30 x1 =70即李华回到自家楼下至少还需走70米.应选：（2020 浙江杭州市高一期末）如图，地面四个5G中继站力、B、C、D,CO = （ + &）km , TOC o 1-5 h z ZADB = ZCDB

10、 = 30, /KX = 45。，ZACB = 60,那么力、6两个中继站的距离是（）A. 4GkmB. 2/rdkm C. ViokmD. 6/2km【答案】C【解析】由题意可得NZMC = 75。，Z）BC = 45,在ADC中，由正弦定理得ac = C也幺曳二任;= 2百， sin ZDACsin 75CD sin NBDC+在BDC中，由正弦定理得8C = =7=- = V3 + 1 ,sin Z.DBC90。，根据余弦定理可得：AC1+ BC-AB2 0，即(u + 10 + y2-3+20)20,解得一 10uv30,又要满足三角形三边关系，即可得：AB-BC10.故P的取值范围是

11、(10,30).故答案为：(10,30)考法一正余弦定理的综合运用【例1-1(2020 内蒙古赤峰市)在A3C的中，角A，B,。的对边分别为a, b, c,且 a sin A+Z?(sin A+sin B)-csin C = O (1)求角C；(2)假设c = 2,求+力的取值范围.【答案】(1) C = ； (2)3【解析】(1)由asin A + Z?(sin A + sinB) csinC = O,及正弦定理得标+治+从一=0 ,2ab2ab2ab 2由余弦定理得cosC =( 一 =:2二L 又0C2 = c,所以2a + W迪，3所以Q+力的取值范围为所以Q+力的取值范围为119【例

12、1-2.(2020 全国高一)在c = 7, cosA二一一，cosA =-，cosB二一.这两个条件中任选一 7816个,补充在下面问题中:在AABC中，它的内角A，3 , C的对边分别为。，c ,。+匕=11,.求,b的值.【答案】答案见解析.【解析】选择条件 c = 7, cosA = - , a+b = 1,7v a2 =b2 +c2 -2hccosA a2 =(1 l-a)2 +72 - 2(11q = 8, h = 3 TOC o 1-5 h z 9i 3 R选择条件: cos A = ； , cos B = , A，zg(O,), sin A = vl-cos2 4 =,8168

13、厂a _-asin B = Jl -cos? B = 由正弦定理得:=3775 不，,。=6, b = 5.16sin A sin 3o lo【一隅三反】（2020 江苏南京市南京师大附中高一期末）在AABC中，设角A及c的对边分别为出Ac,cos2 A = sin2 3 +cos? C + sin Asin B.(i)求角C的大小；(2)假设。=G，求AA3C周长的取值范围.【答案】(1) ?： (2)仅6,2 +间【解析】(1)由题意知1一5访24 = 11124+1皿2。+ 510/45抽8,即 sin2/ + sin2B-sin2C = -sia4sin，由正弦定理.得a? +h2 -

14、c2 =-ab由余弦定理得cos。=/+一 =2ablab 2乂 0 C v 肛C =. 3Cl = b = - = = 2,a = 2sin4, = 2sin8 sinA sinB sinC Q.网3那么AA AC的周长L = a + Z? + c = 2(sirbA + sin8)+ G = 2L = a + Z? + c = 2(sirbA + sin8)+ G = 2sirtA + sinA +(3)71g = 2sin(A +。+G.sin| A + 1,I 3j八 ，万冗，万2万/30 A 一,二. 一 A H ,3333225/3 /3 W 2 + /3 ,.AA8C周长的取值范

15、围是（26,2 +百（2020 吉林白城市白城一中高一期末（文）aABC的内角A，B, C的对边分别为。，b , c （2c - a）cos B - bcos 4 = 0.（1）求角B的大小；（2）假设4 + c = l,求力的取值范围.【答案】（1）y; （2） b.【解析】（1）,/ （2c-a）cos B -bcosA = 0,由正弦定理可得：2sinCcos4-sin Acos4-sin3cosA = 0,可得 2sin Ceos B = sin(A + B) = sin C ,C为三角形内角，sinCwO,可得cosB=!, 2) ： B = , a + c = 1 ,由余弦定理可得

16、 =/+c?-ac = 3 + cf-3ac.(a + c)2-3x(!)2 =, 324b. , ba + c = *,*一 Z? sin 4cosC = (2sin B-sinC)cosA,=sin(A + C) = 2sin Bcos A ,=sin 8 = 2sin 8cos A,A1= cos A =,271A = 3cos /I =- 2cos /I =- 2b2+c2-921jc-9lbc一 2bc0be9 ,S = be sin A/3 sin xcos x+sin2 x - cos2 x（1）求函数/（x）取最大值时x的取值集合；（2）设第用A5C的角4，B,。所对的边分别为

17、。，b, c, /（C） = l, c = 6 求A5C的面积S的最大值.【答案】（1）=+（2） 6 + 班34【解析】（1） / （x） = 2/3 sin xcos x + sin2 x - cos2 x = /3 sin 2x - cos 2x = 2 sin 2x- -k 6令2x三=兼兀+三、keZ、即x =丘+工（攵 Z）时，/（%）取最大值；623所以，此时工的取值集合是工工二攵+ 3，攵2 ,；(2)由 C)= 1,得sin(2C-7)= g,因为0C工，所以一二v2C 二/3sin卜 + 斗 cosx = 63inx + 4sxI 3j 22-cosxsinx4cosx22

18、二singI 6 J又 X0,；r|,所以 X +71 7466所以当x+f=?即1=不时，/(工)取得最小值, 66所以“ L= j(2)因为f(8)= sin8 + / = l, Bg(O,),71 所以3=, 334巴=58又894二三，所以sinA = w，所以由正弦定理有q& ,所以。=8.52(2020 甘肃省民乐县第一中学高三期中(理)函数/(x) = 26sinxcosx-3sin? x-cos? x + 2.(1)当(),y时，求/(幻的值域；(2)假设AABC的内角A，B, C的对边分别为，c且满足空空9 =2 + 2cos(A + C), asin A求/(的值.【答案】

19、1.【解析】(1) / (x) = 25/3sinAC0sir -3sin2x-cos2x+2 = V3sin2x-2sin2x +1=Gsin 2x + cos2x = 2sin I2x+ 八兀xe 0, 27T 7不Isin 2x + / e -,1 , A/(x)g-1,2.6 J2 (2) 由题意可得sinA+(A+C) = 2sinA+2sinAcos(A+C)W sinAcos(A + C)+cosAsin(A+ C) = 2sinA + 2sinAcos(A + C),a2 +4a2 -3a2 _ 1la 2a 2a2 +4a2 -3a2 _ 1la 2a 2化简可得：sinC = 2sioA，由正弦定理可得：c = 2a, b = 3a，余弦定理可得：cosB=a +(, h 2ac08l-l,那么/(x)的最小值是一2，最小正周期 (2) /(C) = sin 2C- -1=0,那么sin 2C-工=1,0 v C v %， 0 2c 27r, 2C /l -sin2 C