数据同化基础知识和理论

1、数据同化基础知识和理论一、基础理论知识1高斯概率分布函数1_1（X-K）2V2to其中，壬=匸;pzx，匚匸=pd仝2两个相互独立的联合高斯概率分布函数P(AOB)=P(A)P(B)3N个相互独立的联合高斯概率分布函数P(AlnA2nA3-OAn)=P(A1P(A2)-P(A3P(An)4点的最优估计假设每组观测都是无偏的，则有对X的最优估计就是使P达到最大值，即达到最小值,1对x求导，可得di2XX)2(x2_x)2(x3x)dx_2On刃求I的最小值，则求得畚+畚+畚+”+討点+吉+击+击一个点的最优估计与观测值的方差有关。5条件概率和贝叶斯理论(BayesTheorem)P(A|B)=P

2、甞;；)TP(AnB)=PCA|B).PtB)PCBIA)P(AnB)PA)TP(AnB)=P(B|A)PAP(A|B)=P(B|A)P(A/P(B)假设：A：t时刻的模式值疋B：0到t时的所有观测值二则P(AB：j：给定到t时刻的所有观测值后，t时刻模式值的概率分布P(BAj：给定t时刻的模式值后，0到t时刻所有观测值的概率分布。相当于给定0到t-1时刻的所有观测值后得到模式值的情况下，t时刻观测值的概率分布刊冥彳P加：给定0到t-1时刻的所有观测值后，t时刻模式值的概率分布P何瓯)P(Bi：给定0到t-1时刻的所有观测值后，t时刻观测值的概率分布P(园口：P侃恨)=P可阳P崗军0/P优|口

3、二、最优插值(OptimalInterpolation)假定有三个变量3X.，两个观测值门。变量的分析值为xf=対十対）十视1（玮诸）Xt=+W12（y?-yJ）+W22（y?-y=需十W13（y；-y?）+W23（y?-y求土的最优估计，即方差亿空-x：j.：最小xf-xl=卅-旳十-対）十W21（y-轴）（環-x疔=（xj-旳+Wtl（y?-外）十W2丄（期-弟）=（x-x；y十W（y-疳十临（阴-y射2+2WM-劝（y?-舛）十2W21（X?-盘（晒-诸）+2W11W21（y?-y（y-y因为yf-y?=（yf-yl）-（y?-yl）y2-y2=（y2-y2）-（yz-y2）代入上式，可

4、得（x；-x；y=応-X疔+w（y?-yj）2+W（y-y須十2Wtl盘-xj）（y?yD-2W11（x?-xj）（yf-外）十2凤山対O盹砖）2视盘（时砖）+2W11W21（y?-y（y-y=（Cx?-X：戸十w盒（y?-y?）2）十（y?-诸）3+2W1:1（xJ-x；）（yf-yj）-2%（街-x；）（y?-yj）+2W2J対x；）S-yD）-2W2x（卅-盘显-砖）+2WtlWU（就井）（遊垃）（1）模式值与观测值是独立的，所以有卅-盘耗-y；=o出-盘y别=。-外）=晋+晋（対诸门=管十冒3-対）（爲-轴）=曲-yD-駅-曲舵-砖）-显-弟）=賓-yDS-旳+时-必少-y=cov（y

5、yRcov（yty）把以上五个式子代入（1）式，可得（xf-xl2）=2-2W11cov（x?fy2W21covfx,诸）+2W11V1cov（yy+cov（yy）十WA（皿2十厝）十WA（毎+窃）上式对求导：方差左一丘T哒到最小，则d(xf-x)2)d(xf-xiy)dW1dW21即W21cov(y?朋)十c”(州卅)+(皤十晋)二cov(xf,yf)昵JoM乳玮)+cov(yty+W21(of+靑)=covfxy写成矩阵形式为定义(B-Foy-W=b全矩阵形式：定义壬：代表模式变量的N维列向量产：代表观测值的K维列向量0：同化观测值前的模式状态向量，称为背景状态/：同化观测值后的模式状态向

6、量，称为分析状态責：沁K维的权重系数矩阵E：把模式格点值投影到观测点的映射矩阵，又称为观测算子，维数为:J：.一个状态向量的分析值可表示为三、卡曼滤波(KalmanFilter)假设分析方程存在上标f表示预报(forecast)。对于一个高斯分布的状态量，概率分布函数(PDF)表示为使讥/：；达到最大值，相当于令方差最小，所以K=WT=b(B+O)-1B=(0-费0-P)T)=(H?H?)(H?H?)T)=Hp-?)(x?-x?)T)HT=HCfHTb=其中J=(x-xb)TC-1(x-xb)+(y-Hx叩RT(y。Hxa)C为背景误差协方差，R为观测误差协方差。C可以从模式的历史数据时间序列得到。如果C是预先给定的，则三维变分只是最优插值的另外一种表达形式，也可称为静态卡曼滤波(stationaryKalmanFilter)五、例子模式：LORENZ63方法：最优插值(OptimalInterpolation)x104100